Kod penstabil

Sekarang kita akan takrifkan kod penstabil secara umum. Kita juga akan bincangkan beberapa sifat asasnya dan cara ia berfungsi, termasuk bagaimana keadaan boleh dikodkan dan bagaimana ralat dikesan serta dibetulkan menggunakan kod-kod ini.

Takrifan kod penstabil

Kod penstabil $n$-Qubit ditentukan oleh senarai operasi Pauli $n$-Qubit, $P_1,\ldots,P_r.$ Operasi-operasi ini dipanggil penjana penstabil dalam konteks ini, dan ia mesti memenuhi tiga sifat berikut.

1. Semua penjana penstabil kalis tukar tertib antara satu sama lain.

   $$P_j P_k = P_k P_j \qquad \text{(untuk semua $j,k\in\{1,\ldots,r\}$)}$$

2. Penjana penstabil membentuk set penjana minimum.

   $$P_k \notin \langle P_1,\ldots,P_{k-1},P_{k+1},\ldots,P_r\rangle \qquad \text{(untuk semua $k\in\{1,\ldots,r\}$)}$$

3. Sekurang-kurangnya satu vektor keadaan kuantum ditetapkan oleh semua penjana penstabil.

   $$-\mathbb{I}^{\otimes n} \notin \langle P_1,\ldots, P_r\rangle$$

   (Ia tidak jelas bahawa kewujudan vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang ditetapkan oleh semua penjana penstabil, bermaksud $P_1 \vert\psi\rangle = \cdots = P_r \vert\psi\rangle = \vert\psi\rangle,$ adalah setara dengan $-\mathbb{I}^{\otimes n} \notin \langle P_1,\ldots, P_r\rangle,$ tetapi memang begitulah, dan kita akan lihat sebabnya sedikit kemudian dalam pelajaran ini.)

Dengan mengandaikan kita mempunyai senarai $P_1,\ldots,P_r$ seperti itu, ruang kod yang ditakrifkan oleh penjana penstabil ini ialah subruang $\mathcal{C}$ yang mengandungi setiap vektor keadaan kuantum $n$-Qubit yang ditetapkan oleh kesemua $r$ penjana penstabil ini.

$$\mathcal{C} = \bigl\{ \vert\psi\rangle \,:\, P_1 \vert\psi\rangle = \cdots = P_r \vert\psi\rangle = \vert\psi\rangle \bigr\}$$

Vektor keadaan kuantum dalam subruang ini adalah tepat vektor yang boleh dilihat sebagai pengekodan sah bagi keadaan kuantum. Kita akan bincangkan proses pengekodan sebenar kemudian.

Akhirnya, penstabil bagi kod yang ditakrifkan oleh penjana penstabil $P_1, \ldots, P_r$ ialah set yang dijana oleh operasi-operasi ini:

$$\langle P_1,\ldots,P_r\rangle.$$

Cara semula jadi untuk memahami kod penstabil ialah dengan melihat penjana penstabil sebagai boleh pemerhatian, dan mentafsirkan secara kolektif hasil ukuran yang berkaitan dengan boleh pemerhatian ini sebagai sindrom ralat. Pengekodan sah ialah vektor keadaan kuantum $n$-Qubit di mana hasil ukuran, sebagai nilai eigen, semua dijamin bernilai $+1.$ Sebarang sindrom lain, di mana sekurang-kurangnya satu hasil ukuran $-1$ berlaku, memberi isyarat bahawa ralat telah dikesan.

Kita akan lihat beberapa contoh tidak lama lagi, tetapi dahulu ada beberapa catatan mengenai tiga syarat pada penjana penstabil.

Syarat pertama adalah semula jadi, mengambil kira tafsiran penjana penstabil sebagai boleh pemerhatian, kerana ia membayangkan bahawa tidak kira dalam urutan mana ukuran dilakukan: boleh pemerhatian kalis tukar tertib, jadi ukuran pun kalis tukar tertib. Ini secara semula jadi mengenakan kekangan algebra tertentu pada kod penstabil yang penting kepada cara ia berfungsi.

Syarat kedua memerlukan penjana penstabil membentuk set penjana minimum, bermaksud mengeluarkan mana-mana satu daripadanya akan menghasilkan penstabil yang lebih kecil. Secara ketatnya, syarat ini sebenarnya tidak penting kepada cara kod penstabil berfungsi dalam erti kata operasi — dan, seperti yang akan kita lihat dalam pelajaran seterusnya, ada kalanya masuk akal untuk memikirkan set penjana penstabil bagi kod yang sebenarnya tidak memenuhi syarat ini. Walau bagaimanapun, untuk tujuan menganalisis kod penstabil dan menerangkan sifatnya, kita akan mengandaikan syarat ini wujud. Ringkasnya, syarat ini memastikan setiap boleh pemerhatian yang kita ukur untuk mendapatkan sindrom ralat menambah maklumat tentang kemungkinan ralat, dan bukannya berlebihan serta menghasilkan keputusan yang boleh disimpulkan daripada ukuran penjana penstabil lain.

Syarat ketiga memerlukan sekurang-kurangnya satu vektor bukan sifar ditetapkan oleh semua penjana penstabil, yang bersamaan dengan $-\mathbb{I}^{\otimes n}$ tidak terkandung dalam penstabil. Keperluan syarat ini timbul daripada hakikat bahawa sebenarnya mungkin untuk memilih set penjana minimum operasi Pauli $n$-Qubit yang semuanya kalis tukar tertib antara satu sama lain, namun tiada vektor bukan sifar yang ditetapkan oleh setiap operasi tersebut. Kita tidak berminat dengan "kod" yang tiada pengekodan sah, jadi kita menolak kemungkinan ini dengan mewajibkan syarat ini sebagai sebahagian daripada takrifan.

Contoh-contoh

Berikut adalah beberapa contoh kod penstabil untuk nilai $n$ yang kecil. Kita akan lihat lebih banyak contoh, termasuk yang mana $n$ boleh menjadi lebih besar, dalam pelajaran seterusnya.

Kod ulangan 3-bit

Kod ulangan 3-bit adalah contoh kod penstabil, di mana penjana penstabil kita ialah $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z.$

Kita boleh semak dengan mudah bahawa kedua-dua penjana penstabil ini memenuhi syarat yang diperlukan. Pertama, kedua-dua penjana penstabil $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z$ kalis tukar tertib antara satu sama lain.

$$(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) = Z \otimes \mathbb{I} \otimes Z = (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})$$

Kedua, kita mempunyai set penjana minimum (agak mudah dalam kes ini).

$$\begin{aligned} Z \otimes Z \otimes \mathbb{I} \notin \langle\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z\rangle & = \{\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z\}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z \notin \langle Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}\rangle & = \{\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}\} \end{aligned}$$

Dan ketiga, kita sudah tahu bahawa $\vert 000\rangle$ dan $\vert 111\rangle,$ serta sebarang gabungan linear vektor-vektor ini, ditetapkan oleh kedua-dua $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z.$ Sebagai alternatif, kita boleh menyimpulkan ini menggunakan syarat setara daripada takrifan.

$$-\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\notin \langle Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}, \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Syarat-syarat ini boleh menjadi jauh lebih sukar untuk disemak bagi kod penstabil yang lebih rumit.

Kod ulangan 3-bit yang diubahsuai

Dalam pelajaran sebelumnya, kita melihat bahawa adalah mungkin untuk mengubah suai kod ulangan 3-bit supaya ia melindungi terhadap ralat pembalikan fasa dan bukannya ralat pembalikan bit. Sebagai kod penstabil, kod baru ini mudah diterangkan: penjana penstabilnya ialah $X \otimes X \otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I} \otimes X \otimes X.$

Kali ini penjana penstabil mewakili boleh pemerhatian $X\otimes X$ dan bukannya boleh pemerhatian $Z\otimes Z$, jadi pada dasarnya ia adalah semakan pariti dalam asas tambah/tolak dan bukannya asas piawai. Tiga syarat yang diperlukan pada penjana penstabil mudah disahkan, mengikut garis yang sama seperti kod ulangan 3-bit biasa.

Kod Shor 9-Qubit

Berikut adalah kod Shor 9-Qubit, yang juga merupakan kod penstabil, dinyatakan dengan penjana penstabil.

$$\begin{gathered} Z \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes Z\\[1mm] X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \otimes X \end{gathered}$$

Dalam kes ini, kita pada dasarnya mempunyai tiga salinan kod ulangan 3-bit, satu untuk setiap tiga blok tiga Qubit, serta dua penjana penstabil terakhir, yang mengambil bentuk yang mengingatkan kita kepada litar untuk mengesan pembalikan fasa bagi kod ini.

Cara alternatif untuk memahami dua penjana penstabil terakhir ialah bahawa mereka mengambil bentuk yang sama seperti kod ulangan 3-bit untuk pembalikan fasa, kecuali $X\otimes X\otimes X$ digantikan dengan $X,$ yang konsisten dengan hakikat bahawa $X\otimes X\otimes X$ berpadanan dengan operasi $X$ pada Qubit logik yang dikodkan menggunakan kod ulangan 3-bit.

Sebelum kita beralih ke contoh lain, perlu diperhatikan bahawa simbol hasil darab tensor sering ditinggalkan apabila menerangkan kod penstabil dengan senarai penjana penstabil, kerana ia cenderung memudahkan pembacaan dan penglihatan polanya. Sebagai contoh, penjana penstabil yang sama seperti di atas untuk kod Shor 9-Qubit kelihatan seperti ini tanpa simbol hasil darab tensor ditulis secara eksplisit.

$$\begin{array}{ccccccccc} Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z\\[1mm] X & X & X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}\\[1mm] \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I}& X & X & X & X & X & X \end{array}$$

Kod Steane 7-Qubit

Berikut adalah contoh lain kod penstabil, yang dikenali sebagai kod Steane 7-Qubit. Ia mempunyai beberapa ciri yang luar biasa, dan kita akan kembali kepada kod ini dari semasa ke semasa sepanjang pelajaran-pelajaran selebihnya dalam kursus ini.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Buat masa ini, mari kita perhatikan sahaja bahawa ini adalah kod penstabil yang sah. Tiga penjana penstabil pertama jelas kalis tukar tertib antara satu sama lain, kerana $Z$ kalis tukar tertib dengan dirinya sendiri dan identiti kalis tukar tertib dengan segalanya, dan situasi serupa bagi tiga penjana penstabil terakhir. Yang tinggal ialah menyemak bahawa jika kita ambil satu penjana $Z$ (iaitu salah satu daripada tiga yang pertama) dan satu penjana $X$ (iaitu salah satu daripada tiga yang terakhir), maka kedua-dua penjana ini kalis tukar tertib, dan seseorang boleh melalui 9 kemungkinan pasangan untuk menyemaknya. Dalam semua kes ini, matriks Pauli $X$ dan $Z$ sentiasa berjajar pada kedudukan yang sama dengan bilangan genap, jadi kedua-dua penjana akan kalis tukar tertib, sama seperti $X\otimes X$ dan $Z\otimes Z$ kalis tukar tertib. Ini juga merupakan set penjana minimum, dan ia menakrifkan ruang kod yang tidak trivial, yang merupakan fakta-fakta yang diserahkan kepada anda untuk direnungkan.

Kod Steane 7-Qubit menyerupai kod Shor 9-Qubit kerana ia mengekodkan satu Qubit dan membolehkan pembetulan ralat sewenang-wenangnya pada satu Qubit, tetapi hanya memerlukan 7 Qubit dan bukannya 9.

Kod 5-Qubit

Tujuh bukanlah bilangan Qubit paling sedikit yang diperlukan untuk mengekodkan satu Qubit dan melindunginya daripada ralat sewenang-wenangnya pada satu Qubit — berikut adalah kod penstabil yang melakukan ini menggunakan hanya 5 Qubit.

$$\begin{array}{ccccc} X & Z & Z & X & \mathbb{I} \\[1mm] \mathbb{I} & X & Z & Z & X \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & Z & Z \\[1mm] Z & X & \mathbb{I} & X & Z \\[1mm] \end{array}$$

Kod ini biasanya dipanggil kod 5-Qubit. Ini adalah bilangan Qubit minimum dalam kod pembetulan ralat kuantum yang boleh membolehkan pembetulan ralat sewenang-wenangnya pada satu Qubit.

Kod penstabil satu dimensi

Berikut adalah contoh lain kod penstabil, walaupun sebenarnya ia tidak mengekodkan sebarang Qubit: ruang kodnya berdimensi satu. Namun demikian, ia masih merupakan kod penstabil yang sah mengikut takrifan.

$$\begin{array}{cc} Z & Z \\[1mm] X & X \end{array}$$

Khususnya, ruang kod ialah ruang satu dimensi yang direntangi oleh e-bit $\vert\phi^+\rangle.$

Berikut adalah contoh berkaitan kod penstabil yang ruang kodnya ialah ruang satu dimensi yang direntangi oleh keadaan GHZ $(\vert 000\rangle + \vert 111\rangle)/\sqrt{2}.$

$$\begin{array}{cc} Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] \mathbb{I} & Z & Z \\[1mm] X & X & X \end{array}$$

Dimensi ruang kod

Andaikan kita mempunyai kod penstabil, yang diterangkan oleh penjana penstabil $n$-Qubit $P_1,\ldots,P_r.$ Mungkin soalan pertama yang terlintas di fikiran mengenai kod ini ialah, "Berapa banyak Qubit yang dikodkannya?"

Soalan ini mempunyai jawapan yang mudah. Dengan mengandaikan bahawa penjana penstabil $n$-Qubit $P_1, \ldots, P_r$ memenuhi tiga keperluan takrifan (iaitu, penjana penstabil semuanya kalis tukar tertib antara satu sama lain, ini adalah set penjana minimum, dan ruang kod tidak kosong), maka ruang kod bagi kod penstabil ini mesti berdimensi $2^{n-r},$ jadi $n-r$ Qubit boleh dikodkan menggunakan kod ini.

Secara intuitif, kita mempunyai $n$ Qubit untuk digunakan dalam pengekodan ini, dan setiap penjana penstabil secara berkesan "mengambil satu Qubit" dari segi berapa banyak Qubit yang boleh kita kodkan. Perlu diingat bahawa ini bukan tentang ralat mana atau berapa banyak yang boleh dikesan atau dibetulkan, ia hanyalah pernyataan tentang dimensi ruang kod.

Sebagai contoh, untuk kedua-dua kod ulangan 3-bit dan versi yang diubah suai untuk ralat pembalikan fasa, kita mempunyai $n=3$ Qubit dan $r=2$ penjana penstabil, dan oleh itu setiap kod ini boleh mengekodkan 1 Qubit. Sebagai contoh lain, pertimbangkan kod 5-Qubit: kita mempunyai 5 Qubit dan 4 penjana penstabil, jadi sekali lagi ruang kod berdimensi 2, bermaksud satu Qubit boleh dikodkan menggunakan kod ini. Untuk satu contoh terakhir, kod yang penjana penstabilnya ialah $X\otimes X$ dan $Z\otimes Z$ mempunyai ruang kod satu dimensi, yang direntangi oleh keadaan $\vert\phi^+\rangle,$ yang konsisten dengan mempunyai $n=2$ Qubit dan $r=2$ penjana penstabil.

Sekarang mari kita lihat bagaimana fakta ini boleh dibuktikan. Langkah pertama ialah memerhatikan bahawa, kerana penjana penstabil kalis tukar tertib, dan kerana setiap operasi Pauli adalah songsangannya sendiri, setiap elemen dalam penstabil boleh dinyatakan sebagai hasil darab

$$P_1^{a_1} \cdots P_r^{a_r},$$

di mana $a_1,\ldots,a_r\in\{0,1\}.$ Secara setara, setiap elemen penstabil diperoleh dengan mendarabkan beberapa subset penjana penstabil bersama-sama. Sememangnya, setiap elemen penstabil boleh dinyatakan secara unik dengan cara ini, disebabkan syarat bahawa $\{P_1,\ldots,P_r\}$ adalah set penjana minimum.

Seterusnya, takrifkan $\Pi_k$ sebagai unjuran ke atas ruang vektor eigen $+1$ bagi $P_k,$ untuk setiap $k\in\{1,\ldots,r\}.$ Unjuran-unjuran ini boleh diperoleh dengan mengambil purata operasi Pauli yang berpadanan dengan operasi identiti seperti berikut.

$$\Pi_k = \frac{\mathbb{I}^{\otimes n} + P_k}{2}$$

Ruang kod $\mathcal{C}$ ialah subruang semua vektor yang ditetapkan oleh kesemua $r$ penjana penstabil $P_1,\ldots,P_r,$ atau setaranya, kesemua $r$ unjuran $\Pi_1,\ldots,\Pi_r.$

Memandangkan penjana penstabil semuanya kalis tukar tertib antara satu sama lain, unjuran $\Pi_1,\ldots,\Pi_r$ juga mestilah kalis tukar tertib. Ini membolehkan kita menggunakan fakta dari algebra linear, iaitu hasil darab unjuran-unjuran ini adalah unjuran ke atas persilangan subruang yang berpadanan dengan unjuran individu. Dengan kata lain, hasil darab $\Pi_1\cdots\Pi_r$ adalah unjuran ke atas ruang kod $\mathcal{C}.$

Kita kini boleh kembangkan hasil darab $\Pi_1\cdots\Pi_r$ menggunakan formula untuk unjuran-unjuran ini untuk mendapatkan ungkapan berikut.

$$\Pi_1\cdots\Pi_r = \biggl(\frac{\mathbb{I}^{\otimes n} + P_1}{2}\biggr)\cdots\biggl(\frac{\mathbb{I}^{\otimes n} + P_r}{2}\biggr) = \frac{1}{2^r}\sum_{a_1,\ldots,a_r \in \{0,1\}} P_1^{a_1}\cdots P_r^{a_r}$$

Dalam kata-kata, unjuran ke atas ruang kod bagi kod penstabil adalah sama, sebagai matriks, dengan purata ke atas semua elemen dalam penstabil kod tersebut.

Akhirnya, kita boleh mengira dimensi ruang kod dengan menggunakan fakta bahawa dimensi mana-mana subruang adalah sama dengan jejak unjuran ke atas subruang tersebut. Oleh itu, dimensi ruang kod $\mathcal{C}$ diberikan oleh formula berikut.

$$\operatorname{dim}(\mathcal{C}) = \operatorname{Tr}(\Pi_1\cdots\Pi_r) = \frac{1}{2^r} \sum_{a_1,\ldots,a_r \in \{0,1\}} \operatorname{Tr}(P_1^{a_1}\cdots P_r^{a_r})$$

Kita boleh menilai ungkapan ini dengan menggunakan beberapa fakta asas.

• Kita mempunyai $P_1^0 \cdots P_r^0 = \mathbb{I}^{\otimes n}$ dan oleh itu

  $$\operatorname{Tr}(P_1^{0}\cdots P_r^{0}) = 2^n.$$

• Untuk $(a_1,\ldots,a_r) \neq (0,\ldots,0),$ hasil darab $P_1^{a_1}\cdots P_r^{a_r}$ mestilah $\pm 1$ kali operasi Pauli — tetapi kita tidak boleh mendapat $\mathbb{I}^{\otimes n}$ kerana ini akan bercanggah dengan keminimuman set $\{P_1,\ldots,P_r\},$ dan kita tidak boleh mendapat $-\mathbb{I}^{\otimes n}$ kerana syarat ketiga pada penjana penstabil melarangnya. Oleh itu, kerana jejak setiap operasi Pauli bukan identiti adalah sifar, kita mendapat

  $$\operatorname{Tr}(P_1^{a_1}\cdots P_r^{a_r}) = 0.$$

Dimensi ruang kod oleh itu adalah $2^{n-r}$ seperti yang dituntut:

$$\begin{aligned} \operatorname{dim}(\mathcal{C}) & = \frac{1}{2^r} \sum_{a_1,\ldots,a_r \in \{0,1\}} \operatorname{Tr}(P_1^{a_1}\cdots P_r^{a_r}) \\ & = \frac{1}{2^r} \operatorname{Tr}(P_1^{0}\cdots P_r^{0}) \\ & = 2^{n-r}. \end{aligned}$$

Sebagai catatan, kita kini dapat melihat bahawa andaian bahawa $-\mathbb{I}^{\otimes n}$ tidak terkandung dalam penstabil membayangkan bahawa ruang kod mesti mengandungi sekurang-kurangnya satu vektor keadaan kuantum. Ini kerana, seperti yang baru kita sahkan, andaian ini membayangkan bahawa ruang kod berdimensi $2^{n-r},$ yang tidak boleh sifar. Implikasi sebaliknya kebetulan adalah trivial: jika $-\mathbb{I}^{\otimes n}$ terkandung dalam penstabil, maka ruang kod tidak mungkin mengandungi sebarang vektor keadaan kuantum, kerana tiada vektor bukan sifar yang ditetapkan oleh operasi ini.

Operasi Clifford dan pengekodan

Seterusnya, kita akan membincangkan secara ringkas bagaimana Qubit boleh dikodkan menggunakan kod penstabil, tetapi untuk melakukan itu kita perlu memperkenalkan operasi Clifford terlebih dahulu.

Operasi Clifford

Operasi Clifford adalah operasi uniter, pada sebarang bilangan Qubit, yang boleh dilaksanakan oleh Circuit kuantum dengan set Gate yang terhad:

• Gate Hadamard
• Gate $S$
• Gate CNOT

Perhatikan bahawa Gate $T$ tidak disertakan, begitu juga Gate Toffoli dan Gate Fredkin. Bukan sahaja gate-gate tersebut tidak disertakan dalam senarai, malah tidak mungkin untuk melaksanakan gate-gate itu menggunakan yang disenaraikan di sini; ia bukan operasi Clifford. Operasi Pauli, sebaliknya, adalah operasi Clifford kerana ia boleh dilaksanakan dengan jujukan gate Hadamard dan gate $S$.

Itulah cara mudah untuk mendefinisikan operasi Clifford, tetapi ia tidak menerangkan mengapa ia didefinisikan seperti ini atau apa yang istimewa tentang koleksi gate tertentu ini. Sebab sebenar operasi Clifford didefinisikan seperti ini adalah kerana, sehingga faktor fasa global, operasi Clifford adalah tepat operasi uniter yang sentiasa mengubah operasi Pauli kepada operasi Pauli melalui konjugasi. Untuk lebih tepat, operasi uniter $n$-Qubit $U$ adalah setara dengan operasi Clifford sehingga faktor fasa jika, dan hanya jika, untuk setiap operasi Pauli $n$-Qubit $P,$ kita ada

$$U P U^{\dagger} = \pm Q$$

untuk sesetengah operasi Pauli $n$-Qubit $Q.$

(Perhatikan bahawa tidak mungkin untuk mempunyai $U P U^{\dagger} = \alpha Q$ untuk $\alpha\notin\{+1,-1\}$ apabila $U$ adalah uniter dan $P$ dan $Q$ adalah operasi Pauli. Ini mengikuti dari fakta bahawa matriks di sebelah kiri persamaan tersebut adalah uniter dan Hermitian, dan $+1$ serta $-1$ adalah satu-satunya pilihan untuk $\alpha$ yang membolehkan sebelah kanan menjadi uniter dan Hermitian juga.)

Adalah mudah untuk mengesahkan sifat konjugasi yang baru diterangkan apabila $U$ adalah gate Hadamard, $S,$ atau CNOT. Khususnya, ini mudah untuk gate Hadamard,

$$H X H^{\dagger} = Z, \qquad H Y H^{\dagger} = -Y, \qquad H Z H^{\dagger} = X,$$

dan gate $S$,

$$S X S^{\dagger} = Y, \qquad S Y S^{\dagger} = -X, \qquad S Z S^{\dagger} = Z.$$

Untuk gate CNOT, terdapat 15 operasi Pauli bukan identiti pada dua Qubit yang perlu diperiksa. Secara semula jadi, ia boleh diperiksa secara individu — tetapi hubungan antara gate CNOT dan gate $X$ serta $Z$ yang disenaraikan (dalam bentuk circuit) dalam pelajaran sebelumnya, bersama dengan peraturan pendaraban matriks Pauli, menawarkan jalan pintas kepada kesimpulan yang sama.

Setelah kita tahu sifat konjugasi ini benar untuk gate Hadamard, $S,$ dan CNOT, kita boleh segera menyimpulkan bahawa ia benar untuk circuit yang terdiri daripada gate-gate ini — iaitu, semua operasi Clifford.

Lebih sukar untuk membuktikan bahawa hubungan ini berfungsi dalam arah yang lain, iaitu bahawa jika operasi uniter tertentu $U$ memenuhi sifat konjugasi untuk operasi Pauli, maka ia mestilah mungkin untuk melaksanakannya (sehingga fasa global) menggunakan hanya gate Hadamard, $S,$ dan CNOT. Ini tidak akan diterangkan dalam pelajaran ini, tetapi ia adalah benar.

Operasi Clifford bukan universal untuk pengkomputeran kuantum; tidak seperti set gate universal, menghampiri operasi uniter sembarangan kepada sebarang tahap ketepatan dengan operasi Clifford adalah tidak mungkin. Malah, untuk nilai tertentu $n,$ hanya terdapat finit banyak operasi Clifford $n$-Qubit (sehingga faktor fasa). Melakukan operasi Clifford pada keadaan asas standard diikuti dengan pengukuran asas standard juga tidak boleh membenarkan kita melakukan pengiraan yang berada di luar jangkauan algoritma klasik — kerana kita boleh mensimulasikan dengan cekap pengiraan dalam bentuk ini secara klasik. Fakta ini dikenali sebagai teorem Gottesman-Knill.

Pengekod untuk kod penstabil

Kod penstabil mentakrifkan ruang kod berdimensi tertentu, dan kita mempunyai kebebasan untuk menggunakan ruang kod itu sebagaimana yang kita mahu — tiada apa yang memaksa kita untuk mengkodkan Qubit ke dalam ruang kod ini dengan cara yang khusus. Walau bagaimanapun, sentiasa mungkin untuk menggunakan operasi Clifford sebagai pengekod, jika kita memilih untuk berbuat demikian. Untuk lebih tepat, untuk sebarang kod penstabil yang membolehkan $m$ Qubit dikodkan ke dalam $n$ Qubit, terdapat operasi Clifford $n$-Qubit $U$ supaya, untuk sebarang vektor keadaan kuantum $m$-Qubit $\vert\phi\rangle,$ kita ada bahawa

$$\vert\psi\rangle = U \bigl(\vert 0^{n-m} \rangle \otimes \vert \phi\rangle\bigr)$$

adalah vektor keadaan kuantum dalam ruang kod kita yang boleh kita tafsirkan sebagai pengekodan $\vert\phi\rangle.$

Ini adalah baik kerana operasi Clifford adalah relatif mudah, berbanding dengan operasi uniter sembarangan, dan terdapat cara untuk mengoptimumkan pelaksanaannya menggunakan teknik yang serupa dengan yang ditemui dalam bukti teorem Gottesman-Knill. Akibatnya, circuit untuk mengkodkan keadaan menggunakan kod penstabil tidak perlu terlalu besar. Khususnya, sentiasa mungkin untuk melakukan pengekodan bagi kod penstabil $n$-Qubit menggunakan operasi Clifford yang memerlukan $O(n^2/\log(n))$ gate. Ini kerana setiap operasi Clifford pada $n$ Qubit boleh dilaksanakan oleh circuit bersaiz ini.

Sebagai contoh, berikut adalah pengekod untuk kod Steane 7-Qubit. Ia memang merupakan operasi Clifford, dan ternyata, yang ini tidak memerlukan gate $S$ pun.

Mengesan ralat

Untuk kod penstabil $n$-Qubit yang diterangkan oleh penjana penstabil $P_1,\ldots, P_r,$ pengesanan ralat berfungsi dengan cara berikut.

Untuk mengesan ralat, semua penjana penstabil diukur sebagai boleh diperhatikan. Terdapat $r$ penjana penstabil, dan oleh itu $r$ hasil pengukuran, setiap satu adalah $+1$ atau $-1$ (atau nilai binari jika kita memilih untuk mengaitkan $0$ dengan $+1$ dan $1$ dengan $-1,$ masing-masing). Kita mentafsirkan $r$ hasil secara kolektif, sebagai vektor atau rentetan, sebagai sindrom. Sindrom $(+1,\ldots,+1)$ menunjukkan bahawa tiada ralat telah dikesan, manakala sekurang-kurangnya satu $-1$ di mana-mana dalam sindrom menunjukkan bahawa ralat telah dikesan.

Andaikan, khususnya, bahawa $E$ adalah operasi Pauli $n$-Qubit, mewakili ralat hipotetikal. (Kita hanya mempertimbangkan operasi Pauli sebagai ralat, dengan cara, kerana pendiskretan ralat berfungsi dengan cara yang sama untuk kod penstabil sembarangan seperti untuk kod Shor 9-Qubit.) Terdapat tiga kes yang menentukan sama ada $E$ dikesan sebagai ralat atau tidak.

Kes-kes pengesanan ralat

1. Operasi $E$ adalah berkadar dengan elemen dalam penstabil.

   $$E = \pm Q \; \text{untuk sesetengah}\; Q \in \langle P_1,\ldots,P_r\rangle$$

   Dalam kes ini, $E$ mestilah tukar ganti dengan setiap penjana penstabil, jadi kita memperoleh sindrom $(+1,\ldots,+1).$ Ini bermakna $E$ tidak dikesan sebagai ralat.

2. Operasi $E$ tidak berkadar dengan elemen dalam penstabil, tetapi ia tetap tukar ganti dengan setiap penjana penstabil.

   $$E\neq \pm Q\; \text{untuk} \; Q \in \langle P_1,\ldots,P_r\rangle, \;\text{tetapi}\; E P_k = P_k E \;\text{untuk setiap}\; k\in\{1,\ldots,r\}$$

   Ini adalah ralat yang mengubah vektor dalam ruang kod dengan cara yang tidak trivial. Tetapi, kerana $E$ tukar ganti dengan setiap penjana penstabil, sindromnya adalah $(+1,\ldots,+1),$ jadi $E$ tidak dikesan oleh kod.

3. Operasi $E$ anti-tukar-ganti dengan sekurang-kurangnya satu daripada penjana penstabil.

   $$P_k E = -E P_k \; \text{untuk sekurang-kurangnya satu} \; k\in\{1,\ldots,r\}$$

   Sindromnya berbeza daripada $(+1,\ldots,+1),$ jadi ralat $E$ dikesan oleh kod.

Dalam kes pertama, ralat $E$ bukan kebimbangan kerana operasi ini tidak melakukan apa-apa pada vektor dalam ruang kod, kecuali mungkin menyuntik fasa global yang tidak relevan: $E \ket{\psi} = \pm\ket{\psi}$ untuk setiap keadaan terkod $\ket{\psi}.$ Pada dasarnya, ini bukan sebenarnya ralat — apa jua tindakan tidak trivial yang mungkin dilakukan oleh $E$ berlaku di luar ruang kod — jadi adalah baik bahawa $E$ tidak dikesan sebagai ralat, kerana tiada apa yang perlu dilakukan mengenainya.

Kes kedua, secara intuitif, adalah kes yang buruk. Ia adalah anti-pertukaran-giliran bagi ralat dengan penjana penstabil yang menyebabkan $-1$ muncul di mana-mana dalam sindrom, menandakan ralat, tetapi itu tidak berlaku dalam kes ini. Jadi, kita mempunyai ralat $E$ yang memang mengubah vektor dalam ruang kod dengan cara yang tidak trivial, tetapi ia tidak dikesan oleh kod. Sebagai contoh, untuk kod repetisi 3-bit, operasi $E = X\otimes X\otimes X$ termasuk dalam kategori ini.

Fakta bahawa ralat $E$ sedemikian mestilah mengubah beberapa vektor dalam ruang kod dengan cara yang tidak trivial boleh dihujahkan seperti berikut. Dengan andaian bahawa $E$ tukar ganti dengan $P_1,\ldots,P_r$ tetapi tidak berkadar dengan elemen penstabil, kita boleh menyimpulkan bahawa kita akan mendapat kod penstabil yang baru dan sah dengan memasukkan $E$ sebagai penjana penstabil bersama-sama dengan $P_1,\ldots,P_r.$ Ruang kod untuk kod baru ini, bagaimanapun, hanya mempunyai separuh dimensi daripada ruang kod asal, dari mana kita boleh menyimpulkan bahawa tindakan $E$ pada ruang kod asal tidak boleh berkadar dengan operasi identiti.

Untuk kes terakhir daripada tiga kes, iaitu ralat $E$ anti-tukar-ganti dengan sekurang-kurangnya satu penjana penstabil, sindromnya mempunyai sekurang-kurangnya satu $-1$ di dalamnya, yang menunjukkan bahawa ada sesuatu yang tidak kena. Seperti yang telah kita bincangkan, sindrom tidak akan mengenal pasti $E$ secara unik secara umum, jadi masih perlu memilih operasi pembetulan untuk setiap sindrom, yang mungkin atau mungkin tidak membetulkan ralat $E.$ Kita akan membincangkan langkah ini tidak lama lagi, dalam bahagian terakhir pelajaran.

Jarak kod penstabil

Sebagai terminologi, apabila kita merujuk kepada jarak kod penstabil, kita bermaksud berat minimum operasi Pauli $E$ yang termasuk dalam kategori kedua di atas — bermakna ia mengubah ruang kod dengan cara yang tidak trivial, tetapi kod tidak mengesannya. Apabila dikatakan bahawa kod penstabil adalah kod penstabil $[[n,m,d]]$, menggunakan kurungan segi empat sama berganda, ini bermakna yang berikut:

1. Pengekodan adalah $n$ Qubit panjangnya,
2. kod membolehkan pengekodan $m$ Qubit, dan
3. jarak kod adalah $d.$

Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan kod Steane 7-Qubit. Berikut adalah penjana penstabil untuk kod ini:

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Kod ini mempunyai jarak 3, dan kita boleh menghujahkan ini seperti berikut.

Pertama pertimbangkan sebarang operasi Pauli $E$ yang mempunyai berat paling banyak 2, dan andaikan operasi ini tukar ganti dengan semua enam penjana penstabil. Kita akan menyimpulkan bahawa $E$ mestilah operasi identiti, yang (seperti biasa) adalah elemen penstabil. Ini akan menunjukkan bahawa jarak kod adalah lebih besar daripada 2. Andaikan, khususnya, bahawa $E$ mengambil bentuk

$$E = P \otimes Q \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}$$

untuk $P$ dan $Q$ sebagai matriks Pauli yang mungkin bukan identiti. Ini hanyalah satu kes, dan perlu mengulangi hujah yang mengikuti untuk semua lokasi lain yang mungkin untuk matriks Pauli bukan identiti antara faktor tensor $E,$ tetapi hujahnya pada dasarnya sama untuk semua lokasi yang mungkin.

Operasi $E$ tukar ganti dengan semua enam penjana penstabil, jadi ia tukar ganti dengan dua ini khususnya:

$$\begin{gathered} Z \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes Z\\[1mm] X \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes X \end{gathered}$$

Faktor tensor $Q$ dalam ralat $E$ kita sejajar dengan matriks identiti dalam kedua-dua penjana penstabil ini (itulah sebabnya ia dipilih). Memandangkan kita mempunyai matriks identiti dalam 5 kedudukan paling kanan $E,$ kita menyimpulkan bahawa $P$ mestilah tukar ganti dengan $X$ dan $Z,$ kerana jika tidak $E$ akan anti-tukar-ganti dengan salah satu daripada dua penjana. Walau bagaimanapun, satu-satunya matriks Pauli yang tukar ganti dengan kedua-dua $X$ dan $Z$ adalah matriks identiti, jadi $P = \mathbb{I}.$

Sekarang setelah kita tahu ini, kita boleh memilih dua lagi penjana penstabil yang mempunyai $X$ dan $Z$ dalam kedudukan kedua dari kiri, dan kita membuat kesimpulan yang serupa: $Q = \mathbb{I}.$ Oleh itu, $E$ adalah operasi identiti.

Jadi, tidak ada cara bagi ralat yang mempunyai berat paling banyak 2 untuk tidak dikesan oleh kod ini, kecuali ralat itu adalah operasi identiti (yang ada dalam penstabil dan oleh itu bukan sebenarnya ralat). Sebaliknya, terdapat operasi Pauli berat 3 yang tukar ganti dengan semua enam penjana penstabil ini, tetapi tidak berkadar dengan elemen penstabil, seperti $\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes X\otimes X\otimes X$ dan $\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\otimes Z.$ Ini menetapkan bahawa kod ini mempunyai jarak 3, seperti yang diklaim.

Membetulkan ralat

Topik perbincangan terakhir untuk pelajaran ini adalah pembetulan ralat untuk kod penstabil. Seperti biasa, andaikan kita mempunyai kod penstabil yang dinyatakan oleh penjana penstabil $n$-Qubit $P_1, \ldots, P_r.$

Operasi Pauli $n$-Qubit, sebagai ralat yang boleh mempengaruhi keadaan yang dikodkan menggunakan kod ini, dibahagikan kepada koleksi bersaiz sama mengikut sindrom yang ia hasilkan. Terdapat $2^r$ sindrom yang berbeza dan $4^n$ operasi Pauli, yang bermaksud terdapat $4^n/2^r$ operasi Pauli yang menyebabkan setiap sindrom. Mana-mana satu daripada ralat ini boleh bertanggungjawab untuk sindrom yang bersesuaian.

Walau bagaimanapun, antara $4^n/2^r$ operasi Pauli yang menyebabkan setiap sindrom, terdapat beberapa yang patut dianggap setara. Khususnya, jika hasil darab dua operasi Pauli adalah berkadar dengan elemen penstabil, maka kedua-dua operasi tersebut secara berkesan setara sebagai ralat.

Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahawa jika kita menggunakan operasi pembetulan $C$ untuk cuba membetulkan ralat $E,$ maka pembetulan ini berjaya selagi komposisi $CE$ adalah berkadar dengan elemen penstabil. Memandangkan terdapat $2^r$ elemen dalam penstabil, ia mengikuti bahawa setiap operasi pembetulan $C$ membetulkan $2^r$ ralat Pauli yang berbeza. Ini meninggalkan $4^{n-r}$ kelas tidak setara operasi Pauli, dianggap sebagai ralat, yang konsisten dengan setiap sindrom yang mungkin.

Ini bermakna bahawa, kecuali $n=r$ (dalam hal ini kita mempunyai ruang kod satu dimensi yang trivial), kita tidak mungkin dapat membetulkan setiap ralat yang dikesan oleh kod penstabil. Yang perlu kita lakukan sebaliknya adalah memilih hanya satu operasi pembetulan untuk setiap sindrom, dengan harapan untuk membetulkan hanya satu kelas ralat setara yang menyebabkan sindrom ini.

Satu strategi semula jadi untuk memilih operasi pembetulan yang hendak dilakukan untuk setiap sindrom adalah memilih operasi Pauli berat terendah yang, sebagai ralat, menyebabkan sindrom tersebut. Mungkin terdapat beberapa operasi yang mempunyai berat ralat terendah yang konsisten dengan sindrom tertentu, dalam hal ini mana-mana satu daripadanya boleh dipilih. Ideanya adalah bahawa operasi Pauli berat lebih rendah mewakili penjelasan yang lebih mungkin untuk sindrom yang telah diukur. Ini mungkin sebenarnya bukan kes untuk sesetengah model bunyi, dan satu strategi alternatif adalah mengira ralat yang paling mungkin menyebabkan sindrom yang diberikan, berdasarkan model bunyi yang dipilih. Untuk pelajaran ini, bagaimanapun, kita akan memastikan perkara mudah dan hanya mempertimbangkan pembetulan berat terendah.

Untuk kod penstabil jarak $d$, strategi memilih operasi pembetulan sebagai operasi Pauli berat terendah yang konsisten dengan sindrom yang diukur sentiasa membolehkan pembetulan ralat yang mempunyai berat kurang daripada separuh $d$, atau dengan kata lain, berat paling banyak $(d-1)/2.$ Ini menunjukkan, sebagai contoh, bahawa kod Steane 7-Qubit boleh membetulkan sebarang ralat Pauli berat satu, dan oleh pendiskretan ralat, ini bermakna bahawa kod Steane boleh membetulkan ralat sembarangan pada satu Qubit.

Untuk melihat cara ini berfungsi, pertimbangkan gambar rajah di bawah. Bulatan di sebelah kiri mewakili semua operasi Pauli yang menghasilkan sindrom $(+1,\ldots,+1),$ yang merupakan sindrom yang mencadangkan bahawa tiada ralat berlaku dan tiada yang salah. Antara operasi ini kita mempunyai elemen penstabil (atau operasi yang berkadar dengan elemen penstabil, untuk lebih tepat) dan juga kita mempunyai ralat tidak trivial yang mengubah ruang kod dengan cara tertentu tetapi tidak dikesan oleh kod. Mengikut definisi jarak, setiap operasi Pauli dalam kategori ini mestilah mempunyai berat sekurang-kurangnya $d,$ kerana $d$ ditakrifkan sebagai berat minimum operasi ini.

Bulatan di sebelah kanan mewakili operasi Pauli yang menghasilkan sindrom berbeza $s\neq(+1,\ldots,+1),$ termasuk ralat $E$ yang mempunyai berat kurang daripada $d/2$ yang akan kita pertimbangkan.

Operasi pembetulan $C$ yang dipilih untuk sindrom $s$ adalah operasi Pauli berat terendah dalam koleksi yang diwakili oleh bulatan di sebelah kanan dalam gambar rajah (atau mana-mana satu daripadanya jika terdapat seri). Jadi, mungkin sahaja $C = E,$ tetapi tidak semestinya. Apa yang boleh kita katakan dengan pasti, bagaimanapun, adalah bahawa $C$ tidak boleh mempunyai berat yang lebih besar daripada berat $E,$ kerana $C$ mempunyai berat minimum antara operasi dalam koleksi ini — dan oleh itu $C$ mempunyai berat kurang daripada $d/2.$

Sekarang pertimbangkan apa yang berlaku apabila operasi pembetulan $C$ digunakan pada apa jua keadaan yang kita perolehi selepas ralat $E$ berlaku. Dengan mengandaikan pengekodan asal adalah $\vert\psi\rangle,$ kita ditinggalkan dengan $CE\vert\psi\rangle.$ Matlamat kita adalah untuk menunjukkan bahawa $CE$ adalah berkadar dengan elemen dalam penstabil, yang bermaksud pembetulan berjaya dan (sehingga fasa global) kita ditinggalkan dengan keadaan terkod asal $\vert\psi\rangle.$

Pertama, kerana $E$ dan $C$ menyebabkan sindrom yang sama, komposisi $CE$ mestilah tukar ganti dengan setiap penjana penstabil. Khususnya, jika $P_k$ adalah mana-mana satu daripada penjana penstabil, maka kita mestilah ada

$$P_k E = \alpha E P_k \quad\text{dan}\quad P_k C = \alpha C P_k$$

untuk nilai $\alpha\in\{+1,-1\}$ yang sama, kerana ini adalah entri ke-$k$ dalam sindrom $s$ yang dihasilkan oleh kedua-dua $C$ dan $E$. Oleh itu, kita ada

$$P_k (CE) = \alpha C P_k E = \alpha^2 (CE) P_k = (CE) P_k,$$

jadi $P_k$ tukar ganti dengan $CE.$ Dengan itu kita telah menunjukkan bahawa $CE$ termasuk dalam bulatan di sebelah kiri dalam gambar rajah, kerana ia menghasilkan sindrom $(+1,\ldots,+1).$

Kedua, komposisi $CE$ mestilah mempunyai berat paling banyak hasil tambah berat $C$ dan $E$ — yang mengikuti dari sejenak berfikir tentang hasil darab operasi Pauli — dan oleh itu berat $CE$ adalah kurang daripada $d.$ Ini bermakna $CE$ adalah berkadar dengan elemen dalam penstabil kod kita, yang itulah yang kita ingin tunjukkan. Dengan memilih operasi pembetulan kita sebagai wakil berat terendah bagi set ralat yang menghasilkan setiap sindrom, kita oleh itu dijamin untuk membetulkan sebarang ralat Pauli yang mempunyai berat kurang daripada separuh jarak kod.

Walau bagaimanapun, terdapat satu masalah. Untuk kod penstabil secara umum, ia adalah masalah yang sukar secara pengiraan untuk mengira operasi Pauli berat terendah yang menyebabkan sindrom tertentu. (Malah, ini benar walaupun untuk kod klasik, yang dalam konteks ini boleh kita fikirkan sebagai kod penstabil di mana hanya matriks $\mathbb{I}$ dan $Z$ muncul sebagai faktor tensor dalam penjana penstabil.) Jadi, tidak seperti langkah pengekodan, operasi Clifford tidak akan datang menyelamatkan kita kali ini.

Penyelesaiannya adalah memilih kod khusus yang pembetulan baik boleh dikira dengan cekap, yang tiada resipi mudah untuk itu. Secara ringkasnya, mereka bentuk kod penstabil yang operasi pembetulan baik boleh dikira dengan cekap adalah sebahagian daripada kesenian reka bentuk kod kuantum. Kita akan melihat kesenian ini dipamerkan dalam pelajaran seterusnya.