Kod pengulangan ditinjau semula

Seterusnya, kita akan melihat semula kod pengulangan 3-bit, kali ini merumuskannya dari segi operasi Pauli. Ini akan menjadi contoh pertama kita bagi kod penstabil.

Boleh-cerap Pauli untuk kod pengulangan

Ingat kembali bahawa apabila kita menggunakan kod pengulangan 3-bit pada qubit, vektor keadaan qubit $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ dikodkan sebagai

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Sebarang keadaan $\vert\psi\rangle$ dalam bentuk ini adalah pengekodan 3-qubit yang sah bagi suatu keadaan qubit — tetapi jika kita mempunyai keadaan yang kita tidak pasti tentangnya, kita boleh mengesahkan bahawa kita mempunyai pengekodan yang sah dengan menyemak dua persamaan berikut.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Persamaan pertama menyatakan bahawa menggunakan operasi $Z$ pada dua qubit paling kiri bagi $\vert\psi\rangle$ tidak memberikan kesan, yang bermaksud $\vert\psi\rangle$ adalah vektor eigen bagi $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dengan nilai eigen $1$. Persamaan kedua adalah serupa kecuali operasi $Z$ digunakan pada dua qubit paling kanan. Ideanya ialah, jika kita memikirkan $\vert\psi\rangle$ sebagai gabungan linear keadaan asas piawai, maka persamaan pertama bermakna kita hanya boleh mempunyai pekali bukan sifar untuk keadaan asas piawai di mana dua bit paling kiri mempunyai pariti genap (atau, secara setara, adalah sama), dan persamaan kedua bermakna kita hanya boleh mempunyai pekali bukan sifar untuk keadaan asas piawai di mana dua bit paling kanan mempunyai pariti genap.

Secara setara, jika kita melihat dua operasi Pauli $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ sebagai boleh-cerap, dan mengukur kedua-duanya menggunakan litar yang dicadangkan di hujung bahagian sebelumnya, maka kita pasti akan memperoleh hasil pengukuran yang sepadan dengan nilai eigen $+1$, kerana $\vert\psi\rangle$ adalah vektor eigen bagi kedua-dua boleh-cerap dengan nilai eigen $1$. Tetapi, versi dipermudah litar (gabungan) untuk mengukur kedua-dua boleh-cerap secara bebas, yang ditunjukkan di sini, tidak lain adalah litar semakan pariti untuk kod pengulangan 3-bit.

Oleh itu, dua persamaan di atas menunjukkan bahawa litar semakan pariti menghasilkan $00$, yang merupakan sindrom yang menunjukkan tiada ralat dikesan.

Operasi Pauli 3-qubit $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ dipanggil penjana penstabil untuk kod ini, dan penstabil kod ialah set yang dijana oleh penjana penstabil.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Penstabil adalah objek matematik yang sangat penting yang dikaitkan dengan kod ini, dan peranan yang dimainkannya akan dibincangkan semasa pelajaran berlangsung. Buat masa ini, mari kita perhatikan bahawa kita boleh membuat pilihan yang berbeza untuk penjana dan semakan pariti yang sepadan, khususnya dengan mengambil $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ sebagai ganti mana-mana penjana yang kita pilih, tetapi penstabil dan kod itu sendiri tidak akan berubah akibatnya.

Pengesanan ralat

Seterusnya, kita akan mempertimbangkan pengesanan pembalikan bit untuk kod pengulangan 3-bit, dengan tumpuan pada interaksi dan hubungan antara operasi Pauli yang terlibat: penjana penstabil dan ralat itu sendiri.

Andaikan kita telah mengodkan qubit menggunakan kod pengulangan 3-bit, dan ralat pembalikan bit berlaku pada qubit paling kiri. Ini menyebabkan keadaan $\vert\psi\rangle$ berubah mengikut tindakan operasi $X$ (atau ralat $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Ralat ini boleh dikesan dengan melakukan semakan pariti untuk kod pengulangan 3-bit, seperti yang dibincangkan dalam pelajaran sebelumnya, yang bersamaan dengan mengukur penjana penstabil $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ sebagai boleh-cerap secara tidak merosakkan.

Mari kita mulakan dengan penjana penstabil pertama. Keadaan $\vert\psi\rangle$ telah dipengaruhi oleh ralat $X$ pada qubit paling kiri, dan matlamat kita ialah memahami bagaimana pengukuran penjana penstabil ini, sebagai boleh-cerap, dipengaruhi oleh ralat ini. Kerana $X$ dan $Z$ anti-berkalis tukar, manakala setiap matriks berkalis tukar dengan matriks identiti, maka $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ anti-berkalis tukar dengan $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Sementara itu, kerana $\vert\psi\rangle$ adalah pengekodan sah bagi sebuah qubit, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ bertindak secara trivial pada $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Oleh itu, $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ adalah vektor eigen bagi $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dengan nilai eigen $-1.$ Apabila pengukuran yang dikaitkan dengan boleh-cerap $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dilakukan pada keadaan $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ hasilnya pasti adalah yang dikaitkan dengan nilai eigen $-1.$

Penaakulan yang serupa boleh digunakan untuk penjana penstabil kedua, tetapi kali ini ralat berkalis tukar dengan penjana penstabil dan bukan anti-berkalis tukar, jadi hasil untuk pengukuran ini adalah yang dikaitkan dengan nilai eigen $+1$.

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Apa yang kita dapati apabila mempertimbangkan persamaan-persamaan ini ialah, tanpa mengira keadaan asal kita $\vert\psi\rangle$, keadaan rosak adalah vektor eigen bagi kedua-dua penjana penstabil, dan sama ada nilai eigen $+1$ atau $-1$ ditentukan oleh sama ada ralat berkalis tukar atau anti-berkalis tukar dengan setiap penjana penstabil. Untuk ralat yang diwakili oleh operasi Pauli, ia sentiasa akan menjadi salah satu atau yang lain, kerana mana-mana dua operasi Pauli sama ada berkalis tukar atau anti-berkalis tukar. Sementara itu, keadaan sebenar $\vert\psi\rangle$ tidak memainkan peranan penting, kecuali kerana penjana penstabil bertindak secara trivial pada keadaan ini.

Atas sebab ini, kita sebenarnya tidak perlu mengambil berat secara amnya tentang keadaan terkodkan tertentu yang kita sedang kerjakan. Yang penting ialah sama ada ralat berkalis tukar atau anti-berkalis tukar dengan setiap penjana penstabil. Khususnya, ini adalah persamaan yang relevan berkenaan ralat tertentu ini untuk kod ini.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Berikut ialah jadual dengan satu baris untuk setiap penjana penstabil dan satu lajur untuk setiap ralat. Entri dalam jadual adalah sama ada $+1$ atau $-1$ bergantung pada sama ada ralat dan penjana penstabil berkalis tukar atau anti-berkalis tukar. Jadual hanya memasukkan lajur untuk ralat yang sepadan dengan satu pembalikan bit, serta tiada ralat sama sekali, yang diterangkan oleh identiti yang ditensor dengan dirinya sendiri tiga kali. Kita boleh menambah lebih banyak lajur untuk ralat lain, tetapi buat masa ini tumpuan kita hanya pada ralat-ralat ini sahaja.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Untuk setiap ralat dalam jadual, lajur yang sepadan mendedahkan bagaimana ralat itu mengubah sebarang pengekodan menjadi vektor eigen $+1$ atau $-1$ bagi setiap penjana penstabil. Secara setara, lajur-lajur itu menerangkan sindrom yang akan kita peroleh daripada semakan pariti, yang bersamaan dengan pengukuran tidak merosakkan penjana penstabil sebagai boleh-cerap. Tentunya, jadual mempunyai entri $+1$ dan $-1$ dan bukan entri $0$ dan $1$ — dan adalah lazim untuk memikirkan sindrom sebagai rentetan perduaan dan bukan lajur entri $+1$ dan $-1$ — tetapi kita juga boleh menganggap vektor dengan entri $+1$ dan $-1$ ini sebagai sindrom untuk menghubungkannya secara langsung dengan nilai eigen penjana penstabil. Secara amnya, sindrom memberitahu kita sesuatu tentang apa jua ralat yang berlaku, dan jika kita tahu bahawa salah satu daripada empat ralat yang disenaraikan dalam jadual telah berlaku, sindrom menunjukkan ralat mana yang berlaku.

Sindrom

Pengekodan untuk kod pengulangan 3-bit adalah keadaan 3-qubit, jadi ia adalah vektor unit dalam ruang vektor kompleks berdimensi 8. Empat sindrom yang mungkin secara berkesan membahagikan ruang berdimensi 8 ini kepada empat subruang berdimensi 2, di mana vektor keadaan kuantum dalam setiap subruang sentiasa menghasilkan sindrom yang sama. Rajah berikut menggambarkan secara khusus bagaimana ruang berdimensi 8 dibahagikan oleh dua penjana penstabil.

Setiap penjana penstabil membahagikan ruang kepada dua subruang berdimensi sama, iaitu ruang vektor eigen $+1$ dan ruang vektor eigen $-1$ untuk boleh-cerap tersebut. Sebagai contoh, vektor eigen $+1$ bagi $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ adalah gabungan linear keadaan asas piawai di mana dua bit paling kiri mempunyai pariti genap, dan vektor eigen $-1$ adalah gabungan linear keadaan asas piawai di mana dua bit paling kiri mempunyai pariti ganjil. Keadaan adalah serupa untuk penjana penstabil yang lain, kecuali bahawa untuk yang ini ia adalah dua bit paling kanan dan bukan dua bit paling kiri.

Empat subruang berdimensi 2 yang sepadan dengan empat sindrom yang mungkin mudah diterangkan dalam kes ini, disebabkan fakta bahawa ini adalah kod yang sangat mudah. Khususnya, subruang yang sepadan dengan sindrom $(+1,+1)$ adalah ruang yang direntangi oleh $\vert 000\rangle$ dan $\vert 111\rangle$, iaitu ruang pengekodan yang sah (juga dikenali sebagai ruang kod), dan secara amnya ruang-ruang itu direntangi oleh asas piawai yang ditunjukkan dalam petak yang sepadan.

Sindrom juga memisahkan semua operasi Pauli 3-qubit kepada 4 koleksi bersaiz sama, bergantung pada sindrom mana yang akan dihasilkan oleh operasi itu (sebagai ralat). Sebagai contoh, sebarang operasi Pauli yang berkalis tukar dengan kedua-dua penjana penstabil menghasilkan sindrom $(+1,+1),$ dan antara 64 operasi Pauli 3-qubit yang mungkin, terdapat tepat 16 daripadanya dalam kategori ini (termasuk $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ dan $X\otimes X\otimes X$ misalnya), dan begitu juga untuk 3 sindrom yang lain.

Kedua-dua sifat ini — bahawa sindrom memisahkan ruang keadaan tempat pengekodan berada dan semua operasi Pauli pada ruang ini kepada koleksi bersaiz sama — adalah benar secara amnya untuk kod penstabil, yang akan kita takrifkan dengan tepat dalam bahagian seterusnya.

Walaupun ini kebanyakannya adalah catatan sampingan pada ketika ini, ada baiknya menyebutkan bahawa operasi Pauli yang berkalis tukar dengan kedua-dua penjana penstabil, atau secara setara operasi Pauli yang menghasilkan sindrom $(+1,+1),$ tetapi bukan berkadar dengan elemen penstabil itu sendiri, ternyata berkelakuan seperti operasi Pauli satu-qubit pada qubit terkodkan (iaitu, qubit logik) untuk kod ini. Sebagai contoh, $X\otimes X \otimes X$ berkalis tukar dengan kedua-dua penjana penstabil, tetapi bukan berkadar dengan mana-mana elemen dalam penstabil itu sendiri, dan memang kesan operasi ini pada pengekodan bersamaan dengan gate $X$ pada qubit logik yang sedang dikodkan.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Sekali lagi, ini ialah fenomena yang boleh digeneralisasikan kepada semua kod penstabil.