Operasi dan boleh-cela Pauli

Matriks Pauli memainkan peranan utama dalam formalisme penstabil. Kita akan mulakan pelajaran ini dengan perbincangan mengenai matriks Pauli, termasuk beberapa sifat algebra asasnya, dan kita juga akan membincangkan bagaimana matriks Pauli (dan hasil darab tensor matriks Pauli) boleh menggambarkan pengukuran.

Asas operasi Pauli

Berikut ialah matriks Pauli, termasuk matriks identiti $2\times 2$ dan tiga matriks Pauli bukan-identiti.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Sifat matriks Pauli

Kesemua empat matriks Pauli adalah unitari dan Hermitian. Kita menggunakan nama $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ dan $\sigma_z$ untuk merujuk kepada matriks Pauli bukan-identiti di awal siri ini, tetapi adalah lazim untuk menggunakan huruf besar $X,$ $Y,$ dan $Z$ dalam konteks pembetulan ralat. Konvensyen ini diikuti dalam pelajaran sebelumnya, dan kita akan terus berbuat demikian untuk pelajaran-pelajaran yang tinggal.

Matriks Pauli bukan-identiti yang berbeza anti-tukar ganti antara satu sama lain.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Hubungan anti-tukar ganti ini mudah dan boleh disahkan dengan melakukan pendaraban, tetapi ia sangat penting, dalam formalisme penstabil dan di tempat lain. Seperti yang akan kita lihat, tanda negatif yang muncul apabila susunan antara dua matriks Pauli bukan-identiti yang berbeza dibalikkan dalam hasil darab matriks sepadan tepat dengan pengesanan ralat dalam formalisme penstabil.

Kita juga mempunyai peraturan pendaraban yang disenaraikan di sini.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Iaitu, setiap matriks Pauli adalah inversnya sendiri (yang sentiasa benar untuk mana-mana matriks yang unitari dan Hermitian), dan mendarab dua matriks Pauli bukan-identiti yang berbeza sentiasa menghasilkan $\pm i$ kali matriks Pauli bukan-identiti yang tinggal. Khususnya, sehingga faktor fasa, $Y$ bersamaan dengan $X Z,$ yang menjelaskan tumpuan kita pada ralat $X$ dan $Z$ serta kekurangan minat terhadap ralat $Y$ dalam pembetulan ralat kuantum; $X$ mewakili balik-bit, $Z$ mewakili balik-fasa, dan jadi (sehingga faktor fasa global) $Y$ mewakili kedua-dua ralat itu berlaku serentak pada Qubit yang sama.

Operasi Pauli pada berbilang Qubit

Keempat-empat matriks Pauli mewakili operasi (yang boleh menjadi ralat) pada satu Qubit — dan dengan menghasilkan darab tensor antara mereka, kita memperoleh operasi pada berbilang Qubit. Sebagai istilah, apabila kita merujuk kepada operasi Pauli n-Qubit, kita bermaksud hasil darab tensor mana-mana $n$ matriks Pauli, seperti contoh-contoh yang ditunjukkan di sini, di mana $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Selalunya, istilah operasi Pauli merujuk kepada hasil darab tensor matriks Pauli bersama-sama faktor fasa, atau kadangkala hanya faktor fasa tertentu seperti $\pm 1$ dan $\pm i.$ Terdapat sebab-sebab yang baik untuk membenarkan faktor fasa seperti ini dari sudut pandang matematik — tetapi, untuk memastikan perkara mudah, kita akan menggunakan istilah operasi Pauli dalam kursus ini untuk merujuk kepada hasil darab tensor matriks Pauli tanpa kemungkinan faktor fasa selain 1.

Berat suatu operasi Pauli $n$-Qubit ialah bilangan matriks Pauli bukan-identiti dalam hasil darab tensor. Contohnya, contoh pertama di atas mempunyai berat $0,$ yang kedua mempunyai berat $2,$ dan yang ketiga mempunyai berat $6.$ Secara intuitif, berat suatu operasi Pauli $n$-Qubit ialah bilangan Qubit yang ia bertindak secara bukan-trivial. Adalah tipikal bahawa kod pembetulan ralat kuantum direka supaya boleh mengesan dan membetulkan ralat yang diwakili oleh operasi Pauli selagi beratnya tidak terlalu tinggi.

Operasi Pauli sebagai penjana

Kadangkala berguna untuk menganggap koleksi operasi Pauli sebagai penjana set (lebih khusus, kumpulan) operasi, dalam erti algebra yang mungkin anda kenali jika anda biasa dengan teori kumpulan. Jika anda tidak biasa dengan teori kumpulan, tidak mengapa — ia tidak penting untuk pelajaran ini. Walau bagaimanapun, kebiasaan dengan asas-asas teori kumpulan amat disyorkan bagi mereka yang berminat untuk meneroka pembetulan ralat kuantum dengan lebih mendalam.

Andaikan bahawa $P_1, \ldots, P_r$ ialah operasi Pauli $n$-Qubit. Apabila kita merujuk kepada set yang dijana oleh $P_1, \ldots, P_r,$ kita bermaksud set semua matriks yang boleh diperoleh dengan mendarab matriks-matriks ini bersama, dalam sebarang gabungan dan dalam sebarang urutan yang kita pilih, mengambil setiap satu sebanyak mana kali yang kita suka. Notasi yang digunakan untuk merujuk set ini ialah $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Sebagai contoh, set yang dijana oleh tiga matriks Pauli bukan-identiti adalah seperti berikut.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Ini boleh difahami melalui peraturan pendaraban yang disenaraikan sebelumnya. Terdapat 16 matriks berbeza dalam set ini, yang biasanya dipanggil kumpulan Pauli.

Sebagai contoh kedua, jika kita mengeluarkan $Y,$ kita memperoleh separuh daripada kumpulan Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Berikut ialah satu contoh terakhir (buat masa ini), di mana kali ini kita mempunyai $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

Dalam kes ini kita hanya memperoleh empat elemen, disebabkan oleh hakikat bahawa $X\otimes X$ dan $Z\otimes Z$ bertukar ganti:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Boleh-cela Pauli

Matriks Pauli, dan operasi Pauli $n$-Qubit secara amnya, adalah unitari, dan oleh itu ia menggambarkan operasi unitari pada Qubit. Tetapi ia juga adalah matriks Hermitian, dan atas sebab ini ia menggambarkan pengukuran, seperti yang akan dijelaskan sekarang.

Boleh-cela matriks Hermitian

Pertimbangkan dahulu matriks Hermitian sewenang-wenangnya $A.$ Apabila kita merujuk $A$ sebagai boleh-cela, kita mengaitkan dengan $A$ suatu pengukuran projektif yang ditakrifkan secara unik. Dalam kata lain, hasil yang mungkin ialah nilai eigen yang berbeza bagi $A,$ dan unjuran yang mentakrifkan pengukuran ialah yang mengunjurkan ke ruang yang direntangi oleh vektor eigen yang sepadan bagi $A.$ Jadi, hasil untuk pengukuran sedemikian kebetulannya adalah nombor nyata — tetapi kerana matriks hanya mempunyai bilangan nilai eigen yang terhingga, hanya akan ada bilangan hasil pengukuran yang terhingga untuk sesuatu pilihan $A.$

Secara lebih terperinci, mengikut teorem spektrum, adalah mungkin untuk menulis

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

untuk nilai eigen nombor nyata berbeza $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ dan unjuran $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ yang memenuhi

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Ungkapan matriks sedemikian adalah unik sehingga pengurutan nilai eigen. Cara lain untuk menyatakannya ialah, jika kita menegaskan bahawa nilai eigen disusun dalam nilai menurun $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ maka hanya ada satu cara untuk menulis $A$ dalam bentuk di atas.

Berdasarkan ungkapan ini, pengukuran yang kita kaitkan dengan boleh-cela $A$ ialah pengukuran projektif yang diterangkan oleh unjuran $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ dan nilai eigen $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ difahami sebagai hasil pengukuran yang sepadan dengan unjuran-unjuran ini.

Pengukuran daripada operasi Pauli

Mari kita lihat bagaimana rupa pengukuran seperti yang baru diterangkan untuk operasi Pauli, bermula dengan tiga matriks Pauli bukan-identiti. Matriks-matriks ini mempunyai penguraian spektrum seperti berikut.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Pengukuran yang ditakrifkan oleh $X,$ $Y,$ dan $Z,$ dilihat sebagai boleh-cela, adalah oleh itu pengukuran projektif yang ditakrifkan oleh set unjuran berikut, masing-masing.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

Dalam ketiga-tiga kes, dua hasil pengukuran yang mungkin ialah nilai eigen $+1$ dan $-1.$ Pengukuran sedemikian biasanya dipanggil pengukuran-$X$, pengukuran-$Y$, dan pengukuran-$Z$. Kita telah temui pengukuran-pengukuran ini dalam pelajaran "Pengukuran am" bagi "Rumusan am maklumat kuantum," di mana ia timbul dalam konteks tomografi keadaan kuantum.

Tentunya, pengukuran-$Z$ pada asasnya hanyalah pengukuran asas piawai dan pengukuran-$X$ ialah pengukuran terhadap asas plus/minus suatu Qubit — tetapi, seperti yang diterangkan di sini, kita mengambil nilai eigen $+1$ dan $-1$ sebagai hasil pengukuran yang sebenar.

Preskripsi yang sama boleh diikuti untuk operasi Pauli pada $n\geq 2$ Qubit, walaupun harus ditekankan bahawa masih hanya akan ada dua hasil yang mungkin untuk pengukuran yang diterangkan dengan cara ini: $+1$ dan $-1,$ yang merupakan satu-satunya nilai eigen yang mungkin bagi operasi Pauli. Dua unjuran yang sepadan oleh itu akan mempunyai pangkat lebih tinggi daripada satu dalam kes ini. Lebih tepat lagi, untuk setiap operasi Pauli $n$-Qubit bukan-identiti, ruang keadaan berdimensi $2^n$ sentiasa terbahagi kepada dua subruang vektor eigen berdimensi sama, jadi dua unjuran yang mentakrifkan pengukuran berkaitan akan kedua-duanya mempunyai pangkat $2^{n-1}.$

Pengukuran yang diterangkan oleh suatu operasi Pauli $n$-Qubit, dianggap sebagai boleh-cela, oleh itu bukan perkara yang sama dengan pengukuran terhadap asas ortonormal vektor eigen operasi itu, mahupun ia sama dengan mengukur setiap matriks Pauli yang sepadan secara bebas, sebagai boleh-cela, pada $n$ Qubit. Kedua-dua alternatif itu akan memerlukan $2^n$ hasil pengukuran yang mungkin, tetapi di sini kita hanya mempunyai dua hasil yang mungkin $+1$ dan $-1.$

Sebagai contoh, pertimbangkan operasi Pauli 2-Qubit $Z\otimes Z$ sebagai boleh-cela. Kita boleh mengambil hasil darab tensor penguraian spektrum secara berkesan untuk memperoleh satu untuk hasil darab tensor.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Iaitu, kita mempunyai $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ untuk

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

jadi ini ialah dua unjuran yang mentakrifkan pengukuran. Jika, misalnya, kita mengukur keadaan Bell $\vert\phi^+\rangle$ secara tidak merosakkan menggunakan pengukuran ini, maka kita pasti akan memperoleh hasil $+1,$ dan keadaan tidak akan berubah akibat pengukuran. Khususnya, keadaan tidak akan runtuh kepada $\vert 00\rangle$ atau $\vert 11\rangle.$

Pelaksanaan tidak merosakkan melalui anggaran fasa

Untuk sebarang operasi Pauli $n$-Qubit, kita boleh melakukan pengukuran yang dikaitkan dengan boleh-cela itu secara tidak merosakkan menggunakan anggaran fasa.

Berikut ialah litar berdasarkan anggaran fasa yang berfungsi untuk sebarang matriks Pauli $P,$ di mana pengukuran sedang dilakukan pada Qubit atas. Hasil $0$ dan $1$ pengukuran asas piawai dalam litar sepadan dengan nilai eigen $+1$ dan $-1,$ seperti yang biasanya kita ada untuk anggaran fasa dengan satu Qubit kawalan. (Perhatikan bahawa Qubit kawalan berada di bawah dalam rajah ini, manakala dalam pelajaran "Anggaran fasa dan pemfaktoran" bagi "Asas algoritma kuantum" Qubit kawalan dilukis di atas.)

Kaedah yang serupa berfungsi untuk operasi Pauli pada berbilang Qubit. Sebagai contoh, rajah litar berikut menggambarkan pengukuran tidak merosakkan boleh-cela Pauli $3$-Qubit $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ untuk sebarang pilihan $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Pendekatan ini digeneralisasikan kepada boleh-cela Pauli $n$-Qubit, untuk sebarang $n,$ dengan cara semula jadi. Tentunya, kita hanya perlu menyertakan get unitari-terkawal untuk faktor tensor bukan-identiti bagi boleh-cela Pauli apabila melaksanakan pengukuran sedemikian; get identiti-terkawal hanyalah get identiti dan oleh itu boleh ditinggalkan. Ini bermakna boleh-cela Pauli berpangkat rendah memerlukan litar yang lebih kecil untuk dilaksanakan melalui pendekatan ini.

Perhatikan bahawa, tanpa mengira $n,$ litar anggaran fasa ini hanya mempunyai satu Qubit kawalan, yang konsisten dengan fakta bahawa hanya ada dua hasil pengukuran yang mungkin untuk pengukuran-pengukuran ini. Menggunakan lebih banyak Qubit kawalan tidak akan mendedahkan maklumat tambahan kerana pengukuran ini sudah sempurna menggunakan satu Qubit kawalan. (Satu cara untuk melihat ini ialah secara langsung dari prosedur umum anggaran fasa: andaian $U^2 = \mathbb{I}$ menjadikan sebarang Qubit kawalan tambahan selepas yang pertama tidak berguna.)

Berikut ialah contoh khusus, pelaksanaan tidak merosakkan pengukuran $Z\otimes Z,$ yang berkaitan dengan penerangan kod pengulangan 3-bit sebagai kod penstabil yang akan kita lihat tidak lama lagi.

Dalam kes ini, dan untuk hasil darab tensor lebih daripada dua boleh-cela $Z$ secara amnya, litar boleh dipermudahkan.

Oleh itu, pengukuran ini bersamaan dengan mengukur pariti (atau XOR) keadaan asas piawai dua Qubit secara tidak merosakkan.