Teorem Naimark

Teorem Naimark adalah fakta asas tentang pengukuran. Ia menyatakan bahawa setiap pengukuran umum boleh dilaksanakan dengan cara yang mudah yang mengingatkan representasi Stinespring bagi saluran:

1. Sistem yang akan diukur digabungkan dahulu dengan sistem ruang kerja yang dimulakan, membentuk sistem kompaun.
2. Operasi unitar kemudian dilakukan ke atas sistem kompaun.
3. Akhirnya, sistem ruang kerja diukur berkenaan dengan pengukuran asas piawai, menghasilkan hasil pengukuran umum asal.

Penyataan teorem dan bukti

Biar $\mathsf{X}$ menjadi sistem dan biar $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ menjadi koleksi matriks positif semidefinit yang memenuhi

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

ertinya ia menerangkan pengukuran $\mathsf{X}.$ Juga biar $\mathsf{Y}$ menjadi sistem yang set keadaan klasikalnya ialah $\{0,\ldots,m-1\},$ iaitu set hasil yang mungkin bagi pengukuran ini.

Teorem Naimark menyatakan bahawa terdapat operasi unitar $U$ pada sistem kompaun $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ supaya pelaksanaan yang dicadangkan oleh rajah berikut menghasilkan hasil pengukuran yang selaras dengan pengukuran yang diberikan $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ bermakna kebarangkalian untuk hasil pengukuran yang berbeza adalah tepat sama.

Untuk jelas, sistem $\mathsf{X}$ bermula dalam beberapa keadaan sewenang-wenangnya $\rho$ manakala $\mathsf{Y}$ dimulakan kepada keadaan $\vert 0\rangle$. Operasi unitar $U$ diterapkan ke atas $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ dan kemudian sistem $\mathsf{Y}$ diukur dengan pengukuran asas piawai, menghasilkan beberapa hasil $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Sistem $\mathsf{X}$ digambarkan sebagai sebahagian dari output litar, tetapi buat masa ini kita tidak akan mempersoalkan keadaan $\mathsf{X}$ selepas $U$ dilakukan, dan boleh bayangkan bahawa ia dikesan keluar. Kita akan berminat dengan keadaan $\mathsf{X}$ selepas $U$ dilakukan kemudian dalam pelajaran ini.

Pelaksanaan pengukuran dengan cara ini jelas mengingatkan representasi Stinespring bagi saluran, dan asas matematiknya juga serupa. Perbezaannya di sini ialah sistem ruang kerja diukur bukannya dikesan keluar seperti dalam kes representasi Stinespring.

Fakta bahawa setiap pengukuran boleh dilaksanakan dengan cara ini agak mudah untuk dibuktikan, tetapi kita perlu mengetahui fakta tentang matriks positif semidefinit terlebih dahulu.

Fakta

Andaikan $P$ adalah matriks positif semidefinit $n \times n$. Terdapat matriks positif semidefinit $n\times n$ yang unik $Q$ di mana $Q^2 = P.$ Matriks positif semidefinit unik ini dipanggil punca kuasa dua bagi $P$ dan ditulis $\sqrt{P}.$

Satu cara untuk mencari punca kuasa dua bagi matriks positif semidefinit adalah dengan mengira penguraian spektrum terlebih dahulu.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Kerana $P$ adalah positif semidefinit, nilai eigennya mestilah nombor nyata tidak negatif, dan dengan menggantikannya dengan punca kuasa dua kita mendapat ungkapan untuk punca kuasa dua bagi $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Dengan konsep ini, kita sudah bersedia untuk membuktikan teorem Naimark. Dengan andaian bahawa $\mathsf{X}$ mempunyai $n$ keadaan klasikal, operasi unitar $U$ pada pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ boleh diwakili oleh matriks $nm\times nm,$ yang boleh kita pandang sebagai matriks blok $m\times m$ yang blok-bloknya berukuran $n\times n.$ Kunci bukti adalah mengambil $U$ sebagai sebarang matriks unitar yang sepadan dengan corak berikut.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Agar boleh mengisi blok yang ditanda dengan tanda tanya supaya $U$ adalah unitar, perlu dan memadai bahawa $n$ lajur pertama, yang terbentuk daripada blok $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ adalah ortonormal. Kita kemudiannya boleh menggunakan proses ortogonalisasi Gram-Schmidt untuk mengisi lajur yang selebihnya, sama seperti yang kita jumpai dalam pelajaran sebelumnya.

$n$ lajur pertama $U$ boleh dinyatakan sebagai vektor dengan cara berikut, di mana $c = 0,\ldots,n-1$ merujuk kepada nombor lajur bermula dari $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Kita boleh mengira hasil darab dalam antara mana-mana dua daripadanya seperti berikut.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Ini menunjukkan bahawa lajur-lajur ini sebenarnya ortonormal, jadi kita boleh mengisi lajur yang selebihnya bagi $U$ dengan cara yang menjamin keseluruhan matriks adalah unitar.

Tinggal untuk memeriksa bahawa kebarangkalian hasil pengukuran bagi simulasi adalah konsisten dengan pengukuran asal. Untuk keadaan awal $\rho$ bagi $\mathsf{X}$ yang diberikan, pengukuran yang diterangkan oleh koleksi $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ menghasilkan setiap hasil $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dengan kebarangkalian $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Untuk mendapatkan kebarangkalian hasil bagi simulasi, pertama-tama mari kita namakan $\sigma$ sebagai keadaan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ selepas $U$ dilakukan. Keadaan ini boleh dinyatakan seperti berikut.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Secara ekuivalen, dalam bentuk matriks blok, kita mempunyai persamaan berikut.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Perhatikan bahawa entri $U$ yang jatuh ke dalam blok yang ditanda dengan tanda tanya tidak memberi sebarang pengaruh terhadap hasil kerana kita sedang menkonjugat matriks berbentuk $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — jadi entri tanda tanya selalu didarab dengan entri sifar bagi $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ apabila hasil darab matriks dikira.

Kini kita boleh menganalisis apa yang berlaku apabila pengukuran asas piawai dilakukan ke atas $\mathsf{Y}.$ Kebarangkalian hasil yang mungkin diberikan oleh entri pepenjuru keadaan tereduksi $\sigma_{\mathsf{Y}}$ bagi $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Khususnya, dengan menggunakan sifat kitaran surih, kita dapat melihat bahawa kebarangkalian untuk mendapatkan hasil tertentu $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ adalah seperti berikut.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Ini sesuai dengan pengukuran asal, menetapkan ketepatan simulasi.

Pengukuran tidak musnah

Sejauh ini dalam pelajaran ini, kita telah memperhatikan pengukuran musnah, di mana output hanya terdiri daripada hasil pengukuran klasikal dan tiada spesifikasi keadaan kuantum pasca-pengukuran sistem yang diukur.

Pengukuran tidak musnah, sebaliknya, melakukan perkara ini dengan tepat. Khususnya, pengukuran tidak musnah menerangkan bukan sahaja kebarangkalian hasil pengukuran klasikal, tetapi juga keadaan sistem yang diukur bagi setiap hasil pengukuran yang mungkin. Perhatikan bahawa istilah tidak musnah merujuk kepada sistem yang diukur tetapi tidak semestinya keadaannya, yang boleh berubah dengan ketara akibat pengukuran.

Secara umum, untuk pengukuran musnah yang diberikan, akan ada pelbagai (malah tak terhingga banyak) pengukuran tidak musnah yang serasi dengan pengukuran musnah yang diberikan, bermakna kebarangkalian hasil pengukuran klasikal sepadan dengan tepat dengan pengukuran musnah. Jadi, tidak ada cara yang unik untuk mentakrifkan keadaan kuantum pasca-pengukuran suatu sistem bagi pengukuran yang diberikan.

Malah, adalah mungkin untuk mengitlakkan pengukuran tidak musnah lebih jauh, supaya ia menghasilkan hasil pengukuran klasikal bersama output keadaan kuantum suatu sistem yang tidak semestinya sama dengan sistem input.

Konsep pengukuran tidak musnah adalah abstraksi yang menarik dan berguna. Namun, perlu diakui bahawa pengukuran tidak musnah boleh sentiasa diterangkan sebagai komposisi saluran dan pengukuran musnah — jadi ada suatu pengertian di mana konsep pengukuran musnah adalah yang lebih asas.

Daripada teorem Naimark

Pertimbangkan simulasi pengukuran umum seperti yang ada dalam teorem Naimark. Cara mudah untuk mendapatkan pengukuran tidak musnah daripada simulasi ini didedahkan oleh rajah sebelumnya, di mana sistem $\mathsf{X}$ tidak dikesan keluar, tetapi merupakan sebahagian daripada output. Ini menghasilkan hasil pengukuran klasikal $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ serta keadaan kuantum pasca-pengukuran bagi $\mathsf{X}.$

Mari kita terangkan keadaan ini dalam istilah matematik. Kita andaikan bahawa keadaan awal $\mathsf{X}$ adalah $\rho,$ sehingga selepas sistem $\mathsf{Y}$ yang dimulakan diperkenalkan dan $U$ dilakukan, kita mempunyai bahawa $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ berada dalam keadaan

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Kebarangkalian untuk hasil klasikal yang berbeza adalah sama seperti sebelumnya — ia tidak boleh berubah akibat keputusan kita untuk mengabaikan atau tidak mengabaikan $\mathsf{X}.$ Iaitu, kita mendapatkan setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dengan kebarangkalian $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Bersyarat pada mendapat hasil pengukuran tertentu $a,$ keadaan yang terhasil bagi $\mathsf{X}$ diberikan oleh ungkapan ini.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Satu cara untuk melihat ini adalah dengan mewakili pengukuran asas piawai bagi $\mathsf{Y}$ oleh saluran penyahfas sepenuhnya $\Delta_m,$ di mana output saluran menerangkan hasil pengukuran klasikal sebagai matriks ketumpatan (pepenjuru). Ungkapan keadaan yang kita peroleh adalah seperti berikut.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Kita kemudiannya boleh menulis keadaan ini sebagai gabungan cembung bagi keadaan hasil,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

yang konsisten dengan ungkapan yang kita peroleh untuk keadaan $\mathsf{X}$ bersyarat pada setiap hasil pengukuran yang mungkin.

Daripada representasi Kraus

Terdapat pilihan alternatif untuk $U$ dalam konteks teorem Naimark yang menghasilkan kebarangkalian hasil pengukuran yang sama tetapi memberikan keadaan output yang sama sekali berbeza bagi $\mathsf{X}.$

Sebagai contoh, satu pilihan adalah menggantikan $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ untuk $U,$ di mana $V$ adalah sebarang operasi unitar ke atas $\mathsf{X}.$ Penerapan $V$ ke atas $\mathsf{X}$ bertukar-tukar dengan pengukuran $\mathsf{Y}$ jadi kebarangkalian hasil klasikal tidak berubah, tetapi kini keadaan $\mathsf{X}$ bersyarat pada hasil $a$ menjadi

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Secara lebih umum, kita boleh menggantikan $U$ oleh matriks unitar

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

untuk sebarang pilihan operasi unitar $V_0,\ldots,V_{m-1}$ ke atas $\mathsf{X}.$ Sekali lagi, kebarangkalian hasil klasikal tidak berubah, tetapi kini keadaan $\mathsf{X}$ bersyarat pada hasil $a$ menjadi

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Cara setara untuk menyatakan kebebasan ini dikaitkan dengan representasi Kraus. Iaitu, kita boleh menerangkan pengukuran tidak musnah $m$-hasil bagi sistem yang mempunyai $n$ keadaan klasikal dengan pemilihan matriks Kraus $n\times n$ $A_0,\ldots,A_{m-1}$ yang memenuhi syarat biasa bagi matriks Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Dengan andaian bahawa keadaan awal $\mathsf{X}$ adalah $\rho,$ hasil pengukuran klasikal adalah $a$ dengan kebarangkalian

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

dan bersyarat pada hasil $a$ keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Perhatikan bahawa ini setara dengan memilih operasi unitar $U$ dalam teorem Naimark seperti berikut.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Dalam pelajaran sebelumnya kita perhatikan bahawa lajur yang terbentuk daripada blok $A_0,\ldots,A_{m-1}$ semestinya ortogon, berdasarkan syarat $(1).$

Pengitlakan

Terdapat cara yang lebih umum lagi untuk merumuskan pengukuran tidak musnah berbanding cara yang telah kita bincangkan. Konsep instrumen kuantum (yang tidak akan diterangkan di sini) merupakan satu cara untuk melakukan ini.