Pembezaan dan tomografi keadaan kuantum

Dalam bahagian terakhir pelajaran ini, kita akan meneliti secara ringkas dua tugas yang berkaitan dengan pengukuran: pembezaan keadaan kuantum dan tomografi keadaan kuantum.

1. Pembezaan keadaan kuantum

   Untuk pembezaan keadaan kuantum, kita mempunyai koleksi keadaan kuantum yang diketahui $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ bersama kebarangkalian $p_0,\ldots,p_{m-1}$ yang dikaitkan dengan keadaan-keadaan ini. Cara ringkas untuk menyatakan ini ialah dengan mengatakan bahawa kita mempunyai suatu ensembel

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   keadaan kuantum.

   Nombor $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dipilih secara rawak mengikut kebarangkalian $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ dan sistem $\mathsf{X}$ disediakan dalam keadaan $\rho_a.$ Matlamatnya adalah untuk menentukan, melalui pengukuran ke atas $\mathsf{X}$ sahaja, nilai $a$ mana yang dipilih.

   Jadi, kita mempunyai bilangan alternatif yang terhad, bersama prior — iaitu pengetahuan kita tentang kebarangkalian setiap $a$ dipilih — dan matlamatnya adalah untuk menentukan alternatif mana yang sebenarnya berlaku. Ini mungkin mudah untuk sesetengah pilihan keadaan dan kebarangkalian, dan bagi yang lain mungkin tidak dapat dilakukan tanpa risiko membuat kesilapan.

2. Tomografi keadaan kuantum

   Untuk tomografi keadaan kuantum, kita mempunyai keadaan kuantum tidak diketahui suatu sistem — jadi tidak seperti dalam pembezaan keadaan kuantum, biasanya tiada prior atau maklumat tentang alternatif yang mungkin.

   Kali ini, bagaimanapun, bukan satu salinan keadaan sahaja yang disediakan, tetapi banyak salinan bebas disediakan. Iaitu, $N$ sistem yang serupa $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ masing-masing disediakan secara bebas dalam keadaan $\rho$ untuk beberapa nombor $N$ (yang mungkin besar.) Matlamatnya adalah untuk mencari penghampiran keadaan tidak diketahui, sebagai matriks ketumpatan, dengan mengukur sistem-sistem tersebut.

Membezakan antara dua keadaan

Kes paling mudah untuk pembezaan keadaan kuantum ialah apabila terdapat dua keadaan, $\rho_0$ dan $\rho_1,$ yang perlu dibezakan.

Bayangkan situasi di mana bit $a$ dipilih secara rawak: $a = 0$ dengan kebarangkalian $p$ dan $a = 1$ dengan kebarangkalian $1 - p.$ Sistem $\mathsf{X}$ disediakan dalam keadaan $\rho_a,$ bermakna $\rho_0$ atau $\rho_1$ bergantung pada nilai $a,$ dan diberikan kepada kita. Matlamat kita adalah untuk meneka nilai $a$ dengan tepat melalui pengukuran ke atas $\mathsf{X}.$ Secara tepat, kita akan berusaha memaksimumkan kebarangkalian tekaan kita adalah betul.

Pengukuran optimum

Cara optimum untuk menyelesaikan masalah ini bermula dengan penguraian spektrum bagi perbezaan berwajaran antara $\rho_0$ dan $\rho_1,$ di mana wajaran adalah kebarangkalian yang sepadan.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Perhatikan bahawa kita mempunyai tanda tolak bukannya tanda tambah dalam ungkapan ini: ini adalah perbezaan berwajaran, bukan hasil tambah berwajaran.

Kita boleh memaksimumkan kebarangkalian tekaan yang betul dengan memilih pengukuran proyektif $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ seperti berikut. Pertama, mari kita bahagikan elemen $\{0,\ldots,n-1\}$ kepada dua set tidak bertindan $S_0$ dan $S_1$ bergantung sama ada nilai eigen yang sepadan daripada perbezaan berwajaran itu tidak negatif atau negatif.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Kita kemudiannya boleh memilih pengukuran proyektif seperti berikut.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{dan}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Sebenarnya tidak kira dalam set $S_0$ atau $S_1$ mana kita letakkan nilai $k$ untuk mana $\lambda_k = 0.$ Di sini kita memilih secara sewenang-wenangnya untuk memasukkan nilai-nilai ini dalam $S_0.$)

Ini adalah pengukuran optimum dalam situasi semasa yang meminimumkan kebarangkalian penentuan keadaan yang dipilih secara tidak betul.

Kebarangkalian ketepatan

Kini kita akan menentukan kebarangkalian ketepatan bagi pengukuran $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Untuk bermula, kita sebenarnya tidak perlu bimbang tentang pilihan khusus yang kita buat untuk $\Pi_0$ dan $\Pi_1,$ walaupun mungkin membantu untuk mengingatinya. Untuk sebarang pengukuran $\{P_0,P_1\}$ (tidak semestinya proyektif) kita boleh menulis kebarangkalian ketepatan seperti berikut.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Menggunakan fakta bahawa $\{P_0,P_1\}$ adalah pengukuran, jadi $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ kita boleh menulis semula ungkapan ini seperti berikut.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Sebaliknya, kita boleh membuat penggantian $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ sebaliknya. Itu tidak mengubah nilai tetapi memberikan kita ungkapan alternatif.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Kedua-dua ungkapan mempunyai nilai yang sama, jadi kita boleh mengambil puratanya untuk mendapatkan ungkapan lain bagi nilai ini. (Mengambil purata kedua-dua ungkapan hanyalah helah untuk memudahkan ungkapan yang terhasil.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Kini kita boleh lihat mengapa masuk akal untuk memilih unjuran $\Pi_0$ dan $\Pi_1$ (seperti yang dinyatakan di atas) untuk $P_0$ dan $P_1$ masing-masing — kerana begitulah cara kita boleh membuat surih dalam ungkapan akhir sebesar mungkin. Khususnya,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Jadi, apabila kita mengambil surih, kita mendapat jumlah nilai mutlak nilai eigen — yang sama dengan apa yang dikenali sebagai norma surih bagi perbezaan berwajaran.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Dengan itu, kebarangkalian bahawa pengukuran $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ membawa kepada pembezaan yang betul antara $\rho_0$ dan $\rho_1,$ yang diberikan dengan kebarangkalian $p$ dan $1-p$ masing-masing, adalah seperti berikut.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Fakta bahawa ini adalah kebarangkalian optimum untuk pembezaan yang betul antara $\rho_0$ dan $\rho_1,$ diberikan dengan kebarangkalian $p$ dan $1-p,$ biasanya dirujuk sebagai teorem Helstrom–Holevo (atau kadang-kadang hanya teorem Helstrom).

Membezakan tiga atau lebih keadaan

Untuk pembezaan keadaan kuantum apabila terdapat tiga atau lebih keadaan, tiada penyelesaian bentuk tertutup yang diketahui untuk pengukuran optimum, walaupun masalah ini boleh dirumuskan sebagai program semidefinit — yang membolehkan penghampiran berangka cekap bagi pengukuran optimum dengan bantuan komputer.

Juga mungkin untuk mengesahkan (atau memfalsifikasikan) optimaliti suatu pengukuran yang diberikan dalam tugas pembezaan keadaan melalui suatu syarat yang dikenali sebagai syarat Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. Khususnya, untuk tugas pembezaan keadaan yang ditakrifkan oleh ensembel

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

pengukuran $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ adalah optimum jika dan hanya jika matriks

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

adalah positif semidefinit untuk setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Sebagai contoh, pertimbangkan tugas pembezaan keadaan kuantum di mana salah satu daripada empat keadaan tetrahedron $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ dipilih secara seragam rawak. Pengukuran tetrahedron $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ berjaya dengan kebarangkalian

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Ini adalah optimum berdasarkan syarat Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, kerana kiraan menunjukkan bahawa

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

untuk $a = 0,1,2,3.$

Tomografi keadaan kuantum

Akhir sekali, kita akan membincangkan secara ringkas masalah tomografi keadaan kuantum. Bagi masalah ini, kita diberikan sejumlah besar $N$ salinan bebas bagi keadaan kuantum tidak diketahui $\rho,$ dan matlamatnya adalah untuk membina semula penghampiran $\tilde{\rho}$ bagi $\rho.$ Untuk jelas, ini bermakna kita ingin mencari penerangan klasikal bagi matriks ketumpatan $\tilde{\rho}$ yang sedekat mungkin dengan $\rho.$

Kita boleh menerangkan persediaan ini dengan cara lain. Matriks ketumpatan tidak diketahui $\rho$ dipilih, dan kita diberikan akses kepada $N$ sistem kuantum $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ yang masing-masing telah disediakan secara bebas dalam keadaan $\rho.$ Jadi, keadaan sistem kompaun $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ ialah

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ kali)}$$

Matlamatnya adalah untuk melakukan pengukuran ke atas sistem $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ dan, berdasarkan hasil pengukuran tersebut, mengira matriks ketumpatan $\tilde{\rho}$ yang menghampiri $\rho$ dengan baik. Ini ternyata merupakan masalah yang menarik dan masih dalam kajian aktif.

Pelbagai jenis strategi untuk mendekati masalah ini boleh dipertimbangkan. Sebagai contoh, kita boleh bayangkan strategi di mana setiap sistem $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ diukur secara berasingan, satu demi satu, menghasilkan urutan hasil pengukuran. Pilihan khusus yang berbeza tentang pengukuran mana yang dilakukan boleh dibuat, termasuk pilihan adaptif dan bukan adaptif. Dengan kata lain, pilihan pengukuran yang dilakukan pada sistem tertentu mungkin atau mungkin tidak bergantung pada hasil pengukuran sebelumnya. Berdasarkan urutan hasil pengukuran, tekaan $\tilde{\rho}$ bagi keadaan $\rho$ diperoleh — dan sekali lagi terdapat metodologi yang berbeza untuk melakukan ini.

Pendekatan alternatif adalah untuk melakukan satu pengukuran bersama ke atas keseluruhan koleksi, di mana kita memandang $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ sebagai satu sistem tunggal dan memilih satu pengukuran yang outputnya adalah tekaan $\tilde{\rho}$ bagi keadaan $\rho.$ Ini boleh membawa kepada anggaran yang lebih baik berbanding dengan pengukuran berasingan bagi sistem individu, walaupun pengukuran bersama ke atas semua sistem bersama-sama mungkin jauh lebih sukar untuk dilaksanakan.

Tomografi Qubit menggunakan pengukuran Pauli

Kita kini akan mempertimbangkan tomografi keadaan kuantum dalam kes mudah di mana $\rho$ adalah matriks ketumpatan qubit. Kita andaikan bahawa kita diberikan qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ yang masing-masing berada secara bebas dalam keadaan $\rho,$ dan matlamat kita adalah untuk mengira penghampiran $\tilde{\rho}$ yang hampir dengan $\rho.$

Strategi kita adalah untuk membahagikan $N$ qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ kepada tiga koleksi bersaiz lebih kurang sama, satu untuk setiap matriks Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ dan $\sigma_z.$ Setiap qubit kemudiannya diukur secara bebas seperti berikut.

1. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_x$ kita melakukan pengukuran $\sigma_x$. Ini bermakna qubit diukur berkenaan dengan asas $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ yang merupakan asas ortonormal bagi vektor eigen $\sigma_x,$ dan hasil pengukuran yang sepadan adalah nilai eigen yang dikaitkan dengan kedua-dua vektor eigen: $+1$ untuk keadaan $\vert + \rangle$ dan $-1$ untuk keadaan $\vert -\rangle.$ Dengan mengambil purata hasil untuk semua keadaan dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_x,$ kita mendapat penghampiran bagi nilai jangkaan

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_y$ kita melakukan pengukuran $\sigma_y$. Pengukuran sedemikian adalah serupa dengan pengukuran $\sigma_x,$ kecuali asas pengukurannya adalah $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ vektor eigen $\sigma_y.$ Mengambil purata hasil untuk semua keadaan dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_y,$ kita mendapat penghampiran bagi nilai jangkaan

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_z$ kita melakukan pengukuran $\sigma_z$. Kali ini asas pengukurannya adalah asas piawai $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ vektor eigen $\sigma_z.$ Mengambil purata hasil untuk semua keadaan dalam koleksi yang dikaitkan dengan $\sigma_z,$ kita mendapat penghampiran bagi nilai jangkaan

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Setelah mendapat penghampiran

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

dengan mengambil purata hasil pengukuran untuk setiap koleksi, kita boleh menghampiri $\rho$ sebagai

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Pada had apabila $N$ menghampiri infiniti, penghampiran ini menumpu dalam kebarangkalian kepada matriks ketumpatan sebenar $\rho$ berdasarkan hukum nombor besar, dan batas statistik yang terkenal (seperti ketaksamaan Hoeffding) boleh digunakan untuk mengukur kebarangkalian bahawa penghampiran $\tilde{\rho}$ menyimpang dari $\rho$ oleh pelbagai jumlah.

Namun, perkara penting yang perlu diperhatikan ialah matriks $\tilde{\rho}$ yang diperoleh dengan cara ini mungkin gagal menjadi matriks ketumpatan. Khususnya, walaupun ia akan selalu mempunyai surih yang sama dengan $1,$ ia mungkin gagal menjadi positif semidefinit. Terdapat pelbagai strategi yang diketahui untuk "membulatkan" penghampiran $\tilde{\rho}$ tersebut kepada matriks ketumpatan, salah satunya adalah mengira penguraian spektrum, menggantikan nilai eigen negatif dengan $0,$ dan kemudian menormalisasi semula (dengan membahagikan matriks yang kita peroleh dengan surihannya).

Tomografi Qubit menggunakan pengukuran tetrahedron

Pilihan lain untuk melakukan tomografi qubit adalah dengan mengukur setiap qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ menggunakan pengukuran tetrahedron $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ yang diterangkan sebelum ini. Iaitu,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

untuk

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Setiap hasil diperoleh beberapa kali, yang akan kita nyatakan sebagai $n_a$ untuk setiap $a\in\{0,1,2,3\},$ supaya $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Nisbah nombor-nombor ini dengan $N$ memberikan anggaran kebarangkalian yang dikaitkan dengan setiap hasil yang mungkin:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Akhirnya, kita akan menggunakan formula yang luar biasa berikut:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Untuk menetapkan formula ini, kita boleh menggunakan persamaan berikut untuk nilai mutlak kuasa dua bagi hasil darab dalam keadaan tetrahedron, yang boleh disemak melalui kiraan langsung.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Empat matriks

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

adalah bebas linear, jadi memadai untuk membuktikan bahawa formula itu benar apabila $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ untuk $b = 0,1,2,3.$ Khususnya,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

dan oleh itu

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Kita tiba pada penghampiran $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Penghampiran ini akan sentiasa menjadi matriks Hermitian yang mempunyai surih sama dengan satu, tetapi ia mungkin gagal menjadi positif semidefinit. Dalam kes ini, penghampiran perlu "dibulatkan" kepada matriks ketumpatan, serupa dengan strategi yang melibatkan pengukuran Pauli.