Sistem berbilang dan keadaan teraruh

Sekarang kita akan beralih perhatian kepada bagaimana matriks ketumpatan berfungsi untuk sistem berbilang, termasuk contoh-contoh jenis korelasi berbeza yang boleh mereka ungkapkan dan cara mereka boleh digunakan untuk menggambarkan keadaan bahagian terpencil bagi sistem kompaun.

Sistem berbilang

Matriks ketumpatan boleh mewakili keadaan sistem berbilang dengan cara yang serupa dengan vektor keadaan dalam formulasi ringkas maklumat kuantum, mengikut idea asas yang sama bahawa sistem berbilang boleh dilihat seolah-olah ia adalah sistem tunggal yang kompaun. Dari segi matematik, baris dan lajur matriks ketumpatan yang mewakili keadaan sistem berbilang ditempatkan dalam perkaitan dengan hasil darab Cartesian bagi set keadaan klasik sistem-sistem individu.

Sebagai contoh, ingat kembali perwakilan vektor keadaan bagi empat keadaan Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Perwakilan matriks ketumpatan bagi keadaan-keadaan ini adalah seperti berikut.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Keadaan hasil darab

Sama seperti yang kita ada untuk vektor keadaan, hasil darab tensor matriks ketumpatan mewakili kebebasan antara keadaan sistem berbilang. Sebagai contoh, jika $\mathsf{X}$ disediakan dalam keadaan yang diwakili oleh matriks ketumpatan $\rho$ dan $\mathsf{Y}$ disediakan secara bebas dalam keadaan yang diwakili oleh $\sigma,$ maka matriks ketumpatan yang menggambarkan keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ialah hasil darab tensor $\rho\otimes\sigma.$

Terminologi yang sama digunakan di sini seperti dalam formulasi ringkas maklumat kuantum: keadaan yang berbentuk ini dirujuk sebagai keadaan hasil darab.

Keadaan berkorelasi dan terbelit

Keadaan yang tidak boleh dinyatakan sebagai keadaan hasil darab mewakili korelasi antara sistem-sistem. Sebenarnya, terdapat jenis-jenis korelasi berbeza yang boleh diwakili oleh matriks ketumpatan. Berikut ialah beberapa contoh.

1. Keadaan klasik berkorelasi. Sebagai contoh, kita boleh menyatakan situasi di mana Alice dan Bob berkongsi bit rawak seperti ini:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensembel keadaan kuantum. Andaikan kita mempunyai $m$ matriks ketumpatan $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ semuanya mewakili keadaan sistem $\mathsf{X},$ dan kita memilih secara rawak salah satu keadaan ini mengikut vektor kebarangkalian $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Proses sedemikian diwakili oleh sebuah ensembel keadaan, yang merangkumi spesifikasi matriks ketumpatan $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ serta kebarangkalian $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Kita boleh mengaitkan ensembel keadaan dengan matriks ketumpatan tunggal, yang menggambarkan kedua-dua pilihan rawak $k$ dan matriks ketumpatan yang sepadan $\rho_k,$ seperti ini:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Untuk menjelaskan, ini adalah keadaan pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ di mana $\mathsf{Y}$ mewakili pemilihan klasik $k$ — jadi kita menganggap set keadaan klasiknya ialah $\{0,\ldots,m-1\}.$ Keadaan berbentuk ini kadang-kadang dipanggil keadaan klasik-kuantum.

3. Keadaan boleh-pisah. Kita boleh bayangkan situasi di mana terdapat korelasi klasik antara keadaan kuantum dua sistem seperti ini:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Dengan kata-kata, bagi setiap $k$ dari $0$ hingga $m-1,$ kita mempunyai bahawa dengan kebarangkalian $p_k$ sistem di sebelah kiri berada dalam keadaan $\rho_k$ dan sistem di sebelah kanan berada dalam keadaan $\sigma_k.$ Keadaan seperti ini dipanggil keadaan boleh-pisah. Konsep ini juga boleh dilanjutkan kepada lebih daripada dua sistem.

4. Keadaan terbelit. Tidak semua keadaan pasangan sistem boleh dipisahkan. Dalam formulasi umum maklumat kuantum, inilah cara keterbelitan ditakrifkan: keadaan yang tidak boleh dipisahkan dikatakan terbelit.

   Perhatikan bahawa terminologi ini adalah konsisten dengan terminologi yang kita gunakan dalam kursus "Asas maklumat kuantum". Di sana kita mengatakan bahawa vektor keadaan kuantum yang bukan keadaan hasil darab mewakili keadaan terbelit — dan memang benar, bagi mana-mana vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang bukan keadaan hasil darab, kita mendapati bahawa keadaan yang diwakili oleh matriks ketumpatan $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ tidak boleh dipisahkan. Keterbelitan jauh lebih rumit daripada ini untuk keadaan yang bukan tulen.

Keadaan teraruh dan surih separa

Terdapat perkara mudah tetapi penting yang boleh kita lakukan dengan matriks ketumpatan dalam konteks sistem berbilang, iaitu menggambarkan keadaan yang kita peroleh dengan mengabaikan sebahagian sistem. Apabila sistem berbilang berada dalam keadaan kuantum dan kita membuang atau memilih untuk mengabaikan satu atau lebih sistem, keadaan sistem yang tinggal dipanggil keadaan teraruh sistem-sistem tersebut. Penerangan matriks ketumpatan bagi keadaan teraruh boleh diperoleh dengan mudah melalui pemetaan yang dikenali sebagai surih separa, daripada matriks ketumpatan yang menggambarkan keadaan keseluruhan.

Contoh: keadaan teraruh bagi e-bit

Andaikan kita mempunyai sepasang qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ yang bersama-sama berada dalam keadaan

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Kita boleh bayangkan Alice memegang qubit $\mathsf{A}$ dan Bob memegang $\mathsf{B},$ yakni mereka bersama-sama berkongsi sebuah e-bit. Kita ingin mempunyai penerangan matriks ketumpatan bagi qubit Alice $\mathsf{A}$ secara terpencil, seolah-olah Bob memutuskan untuk membawa qubit-nya dan melawat bintang-bintang, tidak pernah kelihatan lagi.

Pertama, mari kita fikirkan apa yang akan berlaku jika Bob memutuskan di suatu tempat dalam perjalanannya untuk mengukur qubit-nya dengan pengukuran asas piawai. Jika dia berbuat demikian, dia akan memperoleh hasil $0$ dengan kebarangkalian

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

dalam kes itu keadaan qubit Alice menjadi $\vert 0\rangle;$ dan dia akan memperoleh hasil $1$ dengan kebarangkalian

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

dalam kes itu keadaan qubit Alice menjadi $\vert 1\rangle.$

Jadi, jika kita mengabaikan hasil pengukuran Bob dan fokus pada qubit Alice, kita menyimpulkan bahawa dia memperoleh keadaan $\vert 0\rangle$ dengan kebarangkalian $1/2$ dan keadaan $\vert 1\rangle$ dengan kebarangkalian $1/2.$ Ini membawa kita untuk menggambarkan keadaan qubit Alice secara terpencil dengan matriks ketumpatan

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Yakni, qubit Alice berada dalam keadaan bercampur sepenuhnya. Untuk menjelaskan, penerangan keadaan qubit Alice secara terpencil yang baru kita peroleh tidak termasuk hasil pengukuran Bob; kita mengabaikan Bob sepenuhnya.

Sekarang, mungkin nampak seperti penerangan matriks ketumpatan qubit Alice secara terpencil yang baru kita peroleh bergantung pada andaian bahawa Bob telah mengukur qubit-nya, tetapi sebenarnya tidak begitu. Apa yang kita lakukan ialah menggunakan kemungkinan bahawa Bob mengukur qubit-nya untuk menyatakan bahawa keadaan bercampur sepenuhnya timbul sebagai keadaan qubit Alice, berdasarkan apa yang telah kita pelajari. Sudah tentu, tiada yang menyatakan Bob mesti mengukur qubit-nya — tetapi tiada juga yang menyatakan dia tidak. Dan jika dia berada berjuta-juta tahun cahaya jauhnya, maka apa yang dilakukannya atau tidak dilakukannya tidak mungkin mempengaruhi keadaan qubit Alice jika dilihat secara terpencil. Dengan kata lain, penerangan yang kita peroleh bagi keadaan qubit Alice adalah satu-satunya penerangan yang konsisten dengan ketidakmungkinan komunikasi lebih pantas daripada cahaya.

Kita juga boleh mempertimbangkan keadaan qubit Bob $\mathsf{B},$ yang kebetulan juga merupakan keadaan bercampur sepenuhnya. Memang, bagi keempat-empat keadaan Bell kita mendapati bahawa keadaan teraruh kedua-dua qubit Alice dan qubit Bob ialah keadaan bercampur sepenuhnya.

Keadaan teraruh bagi vektor keadaan kuantum umum

Sekarang mari kita umumkan contoh yang baru dibincangkan kepada dua sistem sewenang-wenangnya $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B},$ tidak semestinya qubit dalam keadaan $\vert \phi^+\rangle.$ Kita akan menganggap set keadaan klasik $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ masing-masing ialah $\Sigma$ dan $\Gamma.$ Matriks ketumpatan $\rho$ yang mewakili keadaan sistem gabungan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ oleh itu mempunyai indeks baris dan lajur yang sepadan dengan hasil darab Cartesian $\Sigma\times\Gamma.$

Andaikan keadaan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ digambarkan oleh vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle,$ jadi matriks ketumpatan yang menggambarkan keadaan ini ialah $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Kita akan memperoleh penerangan matriks ketumpatan bagi keadaan $\mathsf{A}$ secara terpencil, yang secara konvensional ditulis sebagai $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Superskrip kadang-kadang juga digunakan dan bukannya subskrip.)

Vektor keadaan $\vert\psi\rangle$ boleh dinyatakan dalam bentuk

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

bagi suatu koleksi vektor $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ yang ditentukan secara unik. Khususnya, vektor-vektor ini boleh ditentukan melalui formula ringkas.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Dengan membuat alasan serupa dengan contoh e-bit sebelumnya, jika kita mengukur sistem $\mathsf{B}$ dengan pengukuran asas piawai, kita akan memperoleh setiap hasil $b\in\Gamma$ dengan kebarangkalian $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ dalam kes itu keadaan $\mathsf{A}$ menjadi

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Sebagai matriks ketumpatan, keadaan ini boleh ditulis seperti berikut.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Dengan merata-ratakan keadaan-keadaan berbeza mengikut kebarangkalian hasil yang masing-masing, kita tiba pada matriks ketumpatan

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Surih separa

Formula

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

membawa kita kepada penerangan keadaan teraruh $\mathsf{A}$ bagi mana-mana matriks ketumpatan $\rho$ pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ bukan hanya keadaan tulen.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Formula ini mesti berfungsi, semata-mata berdasarkan lineariti bersama-sama dengan fakta bahawa setiap matriks ketumpatan boleh ditulis sebagai kombinasi cembung keadaan-keadaan tulen.

Operasi yang dilakukan pada $\rho$ untuk memperoleh $\rho_{\mathsf{A}}$ dalam persamaan ini dikenali sebagai surih separa, dan lebih tepat lagi kita katakan surih separa dilakukan pada $\mathsf{B},$ atau bahawa $\mathsf{B}$ disurih keluar. Operasi ini ditulis sebagai $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ jadi kita boleh tulis

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Kita juga boleh mentakrifkan surih separa pada $\mathsf{A},$ supaya ia adalah sistem $\mathsf{A}$ yang disurih keluar dan bukannya $\mathsf{B},$ seperti ini.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Ini memberi kita penerangan matriks ketumpatan $\rho_{\mathsf{B}}$ bagi keadaan $\mathsf{B}$ secara terpencil dan bukannya $\mathsf{A}.$

Untuk merumuskan semula, jika $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ialah mana-mana pasangan sistem dan kita mempunyai matriks ketumpatan $\rho$ yang menggambarkan keadaan $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ keadaan teraruh sistem $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ adalah seperti berikut.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Jika $\rho$ ialah matriks ketumpatan, maka $\rho_{\mathsf{A}}$ dan $\rho_{\mathsf{B}}$ juga semestinya akan menjadi matriks ketumpatan.

Gagasan-gagasan ini boleh diumumkan kepada sebarang bilangan sistem menggantikan dua dalam cara yang semula jadi. Secara umum, kita boleh meletakkan nama-nama mana-mana sistem yang kita pilih dalam subskrip matriks ketumpatan $\rho$ untuk menggambarkan keadaan teraruh sistem-sistem tersebut sahaja. Sebagai contoh, jika $\mathsf{A},$ $\mathsf{B},$ dan $\mathsf{C}$ adalah sistem-sistem dan $\rho$ ialah matriks ketumpatan yang menggambarkan keadaan $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ maka kita boleh takrifkan

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

dan begitu juga untuk pilihan-pilihan lain sistem.

Penerangan alternatif untuk surih separa

Cara lain untuk menerangkan pemetaan surih separa $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ dan $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ ialah ia merupakan pemetaan linear unik yang memenuhi formula berikut.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

Dalam formula-formula ini, $N$ dan $M$ ialah matriks persegi dengan saiz yang sesuai: baris dan lajur $M$ berpadanan dengan keadaan klasik $\mathsf{A}$ manakala baris dan lajur $N$ berpadanan dengan keadaan klasik $\mathsf{B}.$

Pencirian surih separa ini bukan sahaja penting dari sudut pandang matematik, malah ia juga boleh mempercepatkan pengiraan dalam situasi-situasi tertentu. Sebagai contoh, perhatikan keadaan pasangan qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berikut.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Untuk mengira keadaan teraruh $\rho_{\mathsf{A}}$ misalnya, kita boleh menggunakan sifat linear bersama fakta bahawa $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ dan $\vert +\rangle\langle +\vert$ mempunyai surih bernilai satu.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Keadaan teraruh $\rho_{\mathsf{B}}$ boleh dikira dengan cara yang sama.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Surih separa untuk dua qubit

Surih separa juga boleh diterangkan secara eksplisit dalam bentuk matriks. Di sini kita akan lakukan ini hanya untuk dua qubit, tetapi cara ini boleh digeneralisasikan kepada sistem yang lebih besar. Andaikan kita mempunyai dua qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ supaya sebarang matriks ketumpatan yang menerangkan keadaan dua qubit ini boleh ditulis sebagai

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

untuk sesetengah pilihan nombor kompleks $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Surih separa ke atas sistem pertama mempunyai formula berikut.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Salah satu cara untuk memahami formula ini bermula dengan memandang matriks $4\times 4$ sebagai matriks blok $2\times 2$, di mana setiap blok bersaiz $2\times 2.$ Iaitu,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

untuk

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Kita kemudiannya mendapat

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Berikut pula adalah formula apabila sistem kedua yang disurih keluar dan bukan sistem pertama.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Dalam bentuk matriks blok yang serupa seperti sebelum ini, kita mempunyai formula ini.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Penerangan matriks blok bagi fungsi-fungsi ini boleh dilanjutkan kepada sistem yang lebih besar daripada qubit dengan cara yang semula jadi dan langsung.

Untuk mengakhiri pelajaran, mari kita terapkan formula-formula ini pada keadaan yang sama yang kita pertimbangkan di atas.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Keadaan teraruh sistem pertama $\mathsf{A}$ ialah

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

dan keadaan teraruh sistem kedua $\mathsf{B}$ ialah

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$