Asas matriks ketumpatan

Kita akan mulakan dengan menerangkan apa itu matriks ketumpatan dari segi matematik, kemudian kita akan melihat beberapa contoh. Selepas itu, kita akan membincangkan beberapa aspek asas tentang cara matriks ketumpatan berfungsi dan hubungannya dengan vektor keadaan kuantum dalam formulasi ringkas maklumat kuantum.

Definisi

Katakan kita mempunyai sistem kuantum bernama $\mathsf{X}$, dan biarkan $\Sigma$ menjadi set keadaan klasik (terhingga dan tidak kosong) bagi sistem ini. Di sini kita mengikuti konvensyen penamaan yang digunakan dalam kursus "Asas maklumat kuantum", yang akan kita teruskan apabila ada peluang.

Dalam formulasi umum maklumat kuantum, keadaan kuantum sistem $\mathsf{X}$ diterangkan oleh matriks ketumpatan $\rho$ yang entrinya adalah nombor kompleks dan indeksnya (untuk baris dan lajur) telah diselaraskan dengan set keadaan klasik $\Sigma$. Huruf Yunani kecil $\rho$ adalah pilihan nama pertama yang konvensional untuk matriks ketumpatan, walaupun $\sigma$ dan $\xi$ juga merupakan pilihan yang biasa.

Berikut ialah beberapa contoh matriks ketumpatan yang menerangkan keadaan Qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Untuk mengatakan bahawa $\rho$ adalah matriks ketumpatan bermakna kedua-dua syarat ini, yang akan diterangkan sebentar lagi, dipenuhi:

1. Surih unit: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$

2. Semitentu positif: $\rho \geq 0.$

Surih matriks

Syarat pertama pada matriks ketumpatan merujuk kepada surih sebuah matriks. Ini adalah fungsi yang ditakrifkan, untuk semua matriks segi empat sama, sebagai jumlah entri pepenjuru:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Surih adalah fungsi yang linear: untuk mana-mana dua matriks segi empat sama $A$ dan $B$ bersaiz sama, dan mana-mana dua nombor kompleks $\alpha$ dan $\beta$, persamaan berikut sentiasa benar.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Surih adalah fungsi yang amat penting dan banyak lagi yang boleh dikatakan tentangnya, tetapi kita akan menunggu sehingga keperluan timbul untuk mengatakan lebih lanjut.

Matriks semitentu positif

Syarat kedua merujuk kepada sifat matriks yang semitentu positif, iaitu konsep asas dalam teori maklumat kuantum dan dalam banyak subjek lain. Matriks $P$ adalah semitentu positif jika wujud matriks $M$ sedemikian sehingga

$$P = M^{\dagger} M.$$

Di sini kita boleh sama ada menuntut bahawa $M$ adalah matriks segi empat sama bersaiz sama dengan $P$ atau membenarkannya tidak segi empat sama — kita mendapat kelas matriks yang sama dalam kedua-dua kes.

Terdapat beberapa cara alternatif (tetapi setara) untuk mentakrifkan syarat ini, termasuk:

• Matriks $P$ adalah semitentu positif jika dan hanya jika $P$ adalah Hermitian (iaitu, sama dengan transpos konjugat sendirinya) dan semua nilai eigennya adalah nombor nyata tidak negatif. Menyemak bahawa matriks adalah Hermitian dan semua nilai eigennya tidak negatif adalah cara pengiraan mudah untuk mengesahkan ia semitentu positif.

• Matriks $P$ adalah semitentu positif jika dan hanya jika $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ untuk setiap vektor kompleks $\vert\psi\rangle$ yang mempunyai indeks yang sama dengan baris dan lajur $P$.

Cara intuitif untuk memikirkan tentang matriks semitentu positif ialah ia seperti analog matriks bagi nombor nyata tidak negatif. Iaitu, matriks semitentu positif adalah bagi matriks segi empat sama kompleks seperti nombor nyata tidak negatif adalah bagi nombor kompleks. Contohnya, nombor kompleks $\alpha$ adalah nombor nyata tidak negatif jika dan hanya jika

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

untuk suatu nombor kompleks $\beta$, yang sepadan dengan definisi semitentu positif apabila kita menggantikan matriks dengan skalar. Walaupun matriks adalah objek yang lebih kompleks daripada skalar secara amnya, ini tetap merupakan cara yang berguna untuk memikirkan tentang matriks semitentu positif.

Ini juga menjelaskan notasi biasa $P\geq 0$, yang menunjukkan bahawa $P$ adalah semitentu positif. Perhatikan khususnya bahawa $P\geq 0$ tidak bermakna setiap entri $P$ adalah tidak negatif dalam konteks ini; terdapat matriks semitentu positif yang mempunyai entri negatif, serta matriks yang semua entrinya positif tetapi tidak semitentu positif.

Tafsiran matriks ketumpatan

Pada ketika ini, definisi matriks ketumpatan mungkin kelihatan agak sewenang-wenang dan abstrak, kerana kita belum mengaitkan sebarang makna dengan matriks ini atau entrinya. Cara matriks ketumpatan berfungsi dan boleh ditafsirkan akan diperjelaskan apabila pelajaran berlanjutan, tetapi buat masa ini mungkin berguna untuk memikirkan tentang entri matriks ketumpatan dengan cara berikut (yang agak tidak formal).

• Entri pepenjuru matriks ketumpatan memberikan kita kebarangkalian bagi setiap keadaan klasik muncul jika kita melakukan pengukuran asas standard — jadi kita boleh memikirkan entri ini sebagai menggambarkan "berat" atau "kemungkinan" yang dikaitkan dengan setiap keadaan klasik.

• Entri luar pepenjuru matriks ketumpatan menggambarkan sejauh mana dua keadaan klasik yang sepadan dengan entri tersebut (iaitu yang sepadan dengan baris dan yang sepadan dengan lajur) berada dalam superposisi kuantum, serta fasa relatif antara keduanya.

Sudah tentu tidak jelas a priori bahawa keadaan kuantum harus diwakili oleh matriks ketumpatan. Malah, dari satu segi, pilihan untuk mewakili keadaan kuantum dengan matriks ketumpatan secara semula jadi membawa kepada keseluruhan penerangan matematik maklumat kuantum. Segala-galanya tentang maklumat kuantum sebenarnya mengikuti secara logik daripada satu pilihan ini!

Hubungan dengan vektor keadaan kuantum

Ingat bahawa vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang menerangkan keadaan kuantum $\mathsf{X}$ adalah vektor lajur yang mempunyai norma Euclidean sama dengan $1$ yang entrinya telah diselaraskan dengan set keadaan klasik $\Sigma$. Perwakilan matriks ketumpatan $\rho$ bagi keadaan yang sama ditakrifkan seperti berikut.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Untuk jelasnya, kita mendarab vektor lajur dengan vektor baris, jadi hasilnya adalah matriks segi empat sama yang baris dan lajurnya sepadan dengan $\Sigma$. Matriks berbentuk ini, selain daripada menjadi matriks ketumpatan, sentiasa merupakan unjuran dan mempunyai pangkat sama dengan $1$.

Sebagai contoh, mari kita takrifkan dua vektor keadaan Qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matriks ketumpatan yang sepadan dengan dua vektor ini adalah seperti berikut.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Berikut ialah jadual yang menyenaraikan keadaan-keadaan ini bersama beberapa contoh asas lain: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ dan $\vert {-}\rangle.$ Kita akan melihat keenam-enam keadaan ini lagi kemudian dalam pelajaran ini.

Vektor keadaan	Matriks ketumpatan
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Sebagai satu contoh lagi, berikut ialah keadaan dari pelajaran Sistem tunggal dalam kursus "Asas maklumat kuantum", termasuk kedua-dua perwakilan vektor keadaan dan matriks ketumpatannya.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matriks ketumpatan yang berbentuk $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ untuk vektor keadaan kuantum $\vert \psi \rangle$ dikenali sebagai keadaan tulen. Tidak setiap matriks ketumpatan boleh ditulis dalam bentuk ini; ada keadaan yang bukan tulen.

Sebagai matriks ketumpatan, keadaan tulen sentiasa mempunyai satu nilai eigen sama dengan $1$ dan semua nilai eigen lain sama dengan $0$. Ini konsisten dengan tafsiran bahawa nilai eigen matriks ketumpatan menggambarkan kerawakan atau ketidakpastian yang wujud dalam keadaan tersebut. Pada dasarnya, tiada ketidakpastian untuk keadaan tulen $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — keadaannya pasti adalah $\vert \psi \rangle$.

Secara amnya, untuk vektor keadaan kuantum

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

untuk sistem dengan $n$ keadaan klasik, perwakilan matriks ketumpatan bagi keadaan yang sama adalah seperti berikut.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Jadi, untuk kes khas keadaan tulen, kita boleh mengesahkan bahawa entri pepenjuru matriks ketumpatan menggambarkan kebarangkalian bahawa pengukuran asas standard akan menghasilkan setiap keadaan klasik yang mungkin.

Catatan akhir tentang keadaan tulen ialah matriks ketumpatan menghapuskan degenerasi berkenaan fasa global yang terdapat pada vektor keadaan kuantum. Katakan kita mempunyai dua vektor keadaan kuantum yang berbeza dengan fasa global: $\vert \psi \rangle$ dan $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ untuk suatu nombor nyata $\theta.$ Kerana ia berbeza dengan fasa global, vektor-vektor ini mewakili keadaan kuantum yang sama persis, walaupun vektor-vektornya mungkin berbeza. Matriks ketumpatan yang kita peroleh daripada dua vektor keadaan ini, sebaliknya, adalah sama.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Secara amnya, matriks ketumpatan memberikan perwakilan unik bagi keadaan kuantum: dua keadaan kuantum adalah sama, menghasilkan statistik hasil yang sama persis untuk setiap pengukuran yang mungkin dilakukan ke atas keduanya, jika dan hanya jika perwakilan matriks ketumpatan mereka adalah sama. Menggunakan istilah matematik, kita boleh menyatakan ini dengan mengatakan bahawa matriks ketumpatan menawarkan perwakilan yang setia bagi keadaan kuantum.