Teorem ambang

Topik perbincangan terakhir untuk pelajaran ini ialah teorem yang sangat penting yang dikenali sebagai teorem ambang. Berikut adalah pernyataan agak tidak formal bagi teorem ini.

Teorem

Teorem ambang: Litar kuantum bersaiz $N$ boleh dilaksanakan dengan ketepatan tinggi oleh litar kuantum berhingarkan, dengan syarat kebarangkalian ralat pada setiap lokasi dalam litar berhingarkan adalah di bawah nilai ambang tetap dan bukan sifar $p_{\text{th}} > 0.$ Saiz litar berhingarkan berskala sebagai $O(N \log^c(N))$ untuk pemalar positif $c.$

Dalam istilah mudah, ia menyatakan bahawa jika kita mempunyai mana-mana litar kuantum yang mempunyai $N$ Gate, di mana $N$ boleh sebesar yang kita mahu, maka adalah mungkin untuk melaksanakan litar tersebut dengan ketepatan tinggi menggunakan litar kuantum berhingarkan, dengan syarat tahap hingar berada di bawah nilai ambang tertentu yang bebas daripada N. Selain itu, tidak terlalu mahal untuk melakukan ini, dalam erti kata bahawa saiz litar berhingarkan yang diperlukan adalah dalam urutan $N$ didarabkan dengan beberapa kuasa pemalar logaritma $N.$

Untuk menyatakan teorem dengan lebih formal memerlukan kekhususan tentang model hingar, yang tidak akan dilakukan dalam pelajaran ini. Ia boleh, sebagai contoh, dibuktikan untuk model hingar stokastik bebas yang disebutkan sebelumnya, di mana ralat berlaku secara bebas pada setiap lokasi yang mungkin dalam litar dengan kebarangkalian yang secara ketat lebih kecil daripada nilai ambang, tetapi ia juga boleh dibuktikan untuk model hingar yang lebih umum di mana terdapat korelasi di antara ralat.

Ini adalah hasil teori, dan cara paling tipikal ia dibuktikan tidak semestinya diterjemahkan kepada pendekatan praktikal, tetapi ia mempunyai kepentingan praktikal yang besar. Khususnya, ia menetapkan bahawa tidak ada halangan asas untuk melakukan pengiraan kuantum menggunakan komponen berhingarkan; selagi kadar ralat untuk komponen-komponen ini berada di bawah nilai ambang, ia boleh digunakan untuk membina litar kuantum yang boleh dipercayai dengan saiz sewenang-wenangnya. Cara alternatif untuk menyatakan kepentingannya ialah dengan memerhatikan bahawa, jika teorem tidak benar, akan sukar untuk membayangkan pengkomputeran kuantum berskala besar pernah menjadi kenyataan.

Terdapat banyak perincian teknikal yang terlibat dalam bukti formal bagi (pernyataan formal) teorem ini, dan perincian tersebut tidak akan disampaikan di sini — tetapi idea-idea penting tetap boleh dijelaskan pada peringkat intuitif. Untuk menjadikan penjelasan ini semudah mungkin, mari kita bayangkan bahawa kita menggunakan kod Steane $7$-Qubit untuk pembetulan ralat. Ini akan menjadi pilihan yang tidak praktikal untuk pelaksanaan fizikal sebenar — seperti yang akan dicerminkan oleh nilai ambang yang sangat kecil $p_{\text{th}}$ — tetapi ia berfungsi dengan baik untuk menyampaikan idea-idea utama. Penjelasan ini juga akan agak cuai tentang model hingar, dengan andaian bahawa ralat menyerang setiap lokasi dalam pelaksanaan toleran ralat secara bebas dengan kebarangkalian $p.$

Sekarang, jika kebarangkalian $p$ lebih besar daripada salingan $N$, saiz litar yang ingin kita laksanakan, sangat berkemungkinan ralat akan menyerang di suatu tempat. Jadi, kita boleh cuba menjalankan pelaksanaan toleran ralat bagi litar ini, mengikut preskripsi yang digariskan dalam pelajaran ini. Kita kemudian boleh bertanya kepada diri sendiri soalan yang dicadangkan sebelumnya: Adakah ini menjadikan perkara lebih baik atau lebih buruk?

Jika kebarangkalian $p$ ralat pada setiap lokasi terlalu besar, usaha kita tidak akan membantu dan mungkin malah menjadikan perkara lebih buruk, sama seperti kod Shor $9$-Qubit tidak membantu jika kebarangkalian ralat melebihi sekitar 3.23%. Khususnya, pelaksanaan toleran ralat jauh lebih besar daripada litar asal kita, jadi terdapat lebih banyak lokasi di mana ralat boleh menyerang.

Namun, jika $p$ cukup kecil, maka kita akan berjaya mengurangkan kebarangkalian ralat bagi pengiraan logik yang kita lakukan. (Dalam bukti formal, kita perlu sangat berhati-hati pada titik ini: ralat dalam pengiraan logik tidak semestinya diterangkan dengan tepat oleh model hingar asal. Ini, sebenarnya, mendorong model hingar yang kurang bertolak ansur di mana ralat mungkin tidak bebas — tetapi kita akan mengetepikan perincian ini bagi keperluan penjelasan ini.)

Secara lebih terperinci, agar ralat logik berlaku dalam litar asal, sekurang-kurangnya dua ralat mesti jatuh ke dalam blok kod yang sama dalam pelaksanaan toleran ralat, memandangkan kod Steane boleh membetulkan mana-mana ralat tunggal dalam blok kod. Dengan mengingat bahawa terdapat banyak cara berbeza untuk mempunyai dua atau lebih ralat dalam blok kod yang sama, adalah mungkin untuk berhujah bahawa kebarangkalian ralat logik pada setiap lokasi dalam litar asal adalah paling banyak $C p^2$ untuk beberapa nombor nyata positif tetap $C$ yang bergantung pada kod dan gadget yang kita gunakan, tetapi yang pentingnya tidak bergantung pada $N$, saiz litar asal. Jika $p$ lebih kecil daripada $1/C,$ yang merupakan nombor yang boleh kita ambil sebagai nilai ambang $p_{\text{th}}$ kita, ini menghasilkan pengurangan dalam ralat.

Namun, kadar ralat baru ini mungkin masih terlalu tinggi untuk membenarkan keseluruhan litar berfungsi dengan betul. Perkara semula jadi yang perlu dilakukan pada ketika ini ialah memilih kod yang lebih baik dan gadget yang lebih baik untuk menurunkan kadar ralat ke titik di mana pelaksanaan berkemungkinan besar berfungsi. Secara teori, cara mudah untuk berhujah bahawa ini mungkin dilakukan ialah dengan mengkonkatenatkan. Iaitu, kita boleh menganggap pelaksanaan toleran ralat bagi litar asal seolah-olah ia adalah mana-mana litar kuantum lain, dan kemudian melaksanakan litar baru ini secara toleran ralat, menggunakan skim yang sama. Kita kemudian boleh melakukan ini berulang kali, seberapa banyak kali yang kita perlukan untuk menurunkan kadar ralat ke tahap yang membolehkan pengiraan asal berfungsi.

Untuk mendapatkan gambaran kasar tentang bagaimana kadar ralat berkurangan melalui kaedah ini, mari kita pertimbangkan bagaimana ia berfungsi untuk beberapa iterasi. Perhatikan bahawa analisis yang ketat perlu mengambil kira pelbagai perincian teknikal yang kita abaikan di sini.

Kita mulakan dengan kebarangkalian ralat $p$ untuk lokasi dalam litar asal. Dengan mengandaikan bahawa $p < p_{\text{th}} = 1/C,$ kadar ralat logik boleh dibatasi oleh $Cp^2 = (Cp) p$ selepas iterasi pertama. Dengan menganggap pelaksanaan toleran ralat sebagai litar lain, dan melaksanakannya secara toleran ralat, kita mendapatkan batas pada kadar ralat logik sebagai

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Satu lagi iterasi mengurangkan batas ralat lebih lanjut, kepada

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Meneruskan dengan cara ini untuk jumlah $k$ iterasi menghasilkan kadar ralat logik (untuk litar asal) yang dibatasi oleh

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

yang adalah eksponen berganda dalam $k.$

Ini bermakna kita tidak memerlukan terlalu banyak iterasi untuk menjadikan kadar ralat sangat kecil. Sementara itu, litar semakin membesar dengan setiap tahap konkatenasi, tetapi saiznya hanya meningkat secara eksponen tunggal dalam bilangan tahap $k.$ Ini kerana, dengan setiap tahap toleransi ralat, saiz berkembang sebanyak-banyaknya dengan faktor yang ditentukan oleh saiz maksimum gadget yang digunakan. Apabila semuanya disatukan, dan pilihan yang sesuai untuk bilangan tahap konkatenasi dibuat, kita mendapatkan teorem ambang.

Jadi, apakah nilai ambang ini dalam realiti? Jawapannya bergantung pada kod dan gadget yang digunakan. Untuk kod Steane bersama penyulingan keadaan ajaib, ia sangat kecil dan mungkin tidak dapat dicapai dalam praktik. Tetapi, menggunakan kod permukaan dan gadget terkini, ambang telah dianggarkan berada dalam urutan 0.1% hingga 1%.

Apabila kod dan kaedah baru ditemui, adalah munasabah untuk mengharapkan nilai ambang meningkat, sementara pada masa yang sama tahap hingar dalam komponen fizikal sebenar akan berkurangan. Mencapai titik di mana pengiraan kuantum berskala besar boleh dilaksanakan secara toleran ralat tidak akan mudah, dan tidak akan berlaku dalam sekelip mata. Tetapi, teorem ini, bersama kemajuan dalam kod kuantum dan perkakasan kuantum, memberi kita optimisme semasa kita terus maju ke hadapan untuk mencapai matlamat muktamad membina komputer kuantum berskala besar yang toleran ralat.

Tinjauan pasca kursus

Tahniah kerana telah menamatkan kursus ini! Sila luangkan masa untuk membantu kami meningkatkan kursus kami dengan mengisi tinjauan ringkas berikut. Maklum balas anda akan digunakan untuk meningkatkan kandungan dan pengalaman pengguna kami. Terima kasih!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.