Kod Shor 9-Qubit

Kini kita beralih kepada kod Shor 9-Qubit, iaitu kod pembetulan ralat kuantum yang diperoleh dengan menggabungkan dua kod yang dipertimbangkan dalam bahagian sebelumnya: kod ulangan 3-bit untuk Qubit, yang membolehkan pembetulan satu ralat bit-flip, dan versi yang diubahsuai kod tersebut, yang membolehkan pembetulan satu ralat phase-flip.

Penerangan kod

Kod Shor 9-Qubit adalah kod yang kita peroleh dengan menggabungkan dua kod dari bahagian sebelumnya. Ini bermakna kita pertama kali menggunakan satu pengekodan, yang mengekodkan satu Qubit menjadi tiga, dan kemudian kita menggunakan pengekodan yang lain kepada setiap tiga Qubit yang digunakan untuk pengekodan pertama, menghasilkan sembilan Qubit secara keseluruhan.

Lebih tepat lagi, walaupun kita boleh menggunakan dua kod dalam mana-mana urutan dalam kes tertentu ini, kita akan membuat pilihan untuk pertama kali menggunakan versi yang diubahsuai kod ulangan 3-bit (yang mengesan ralat phase-flip), dan kemudian kita akan mengekodkan setiap tiga Qubit yang terhasil secara bebas menggunakan kod ulangan 3-bit yang asal (yang mengesan ralat bit-flip). Berikut adalah perwakilan gambar rajah Circuit bagi pengekodan ini.

Seperti yang dicadangkan oleh rajah, kita akan memikirkan sembilan Qubit kod Shor sebagai dikelompokkan menjadi tiga blok tiga Qubit, di mana setiap blok diperoleh daripada langkah pengekodan kedua (iaitu kod ulangan 3-bit biasa). Kod ulangan 3-bit biasa, yang di sini digunakan tiga kali secara bebas, dipanggil kod dalaman dalam konteks ini, manakala kod luaran adalah kod yang digunakan untuk langkah pengekodan pertama, iaitu versi yang diubahsuai kod ulangan 3-bit yang mengesan ralat phase-flip.

Kita boleh secara alternatif menentukan kod dengan menerangkan bagaimana dua keadaan asas piawai untuk Qubit asal kita dikodkan.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle + \vert 111\rangle) \\[4mm] \vert 1\rangle & \:\mapsto\: \frac{1}{2\sqrt{2}} (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \otimes (\vert 000\rangle - \vert 111\rangle) \end{aligned}$$

Setelah kita mengetahui ini, kita boleh menentukan secara lineariti bagaimana vektor keadaan Qubit sewenang-wenang dikodkan.

Membetulkan ralat bit-flip dan phase-flip

Ralat dan Gate CNOT

Untuk menganalisis bagaimana ralat $X$ dan $Z$ mempengaruhi pengekodan Qubit, baik untuk kod Shor 9-Qubit mahupun kod-kod lain, adalah berguna untuk memerhatikan beberapa hubungan mudah antara ralat-ralat ini dan Gate CNOT. Semasa kita mula menganalisis kod Shor 9-Qubit, ini adalah masa yang sesuai untuk berhenti dan melakukan ini.

Gambar rajah Circuit berikut menggambarkan tiga hubungan asas antara Gate $X$ dan Gate CNOT. Khususnya, menggunakan Gate $X$ pada Qubit sasaran sebelum CNOT adalah setara dengan menukar urutan dan melakukan CNOT dahulu, tetapi menggunakan Gate $X$ pada Qubit kawalan sebelum CNOT adalah setara dengan menggunakan Gate $X$ pada kedua-dua Qubit selepas CNOT. Akhirnya, menggunakan Gate $X$ pada kedua-dua Qubit sebelum CNOT adalah setara dengan melakukan CNOT dahulu dan kemudian menggunakan Gate $X$ pada Qubit kawalan. Hubungan-hubungan ini boleh disahkan dengan melakukan pendaraban matriks yang diperlukan atau mengira kesan Circuit pada keadaan asas piawai.

Situasinya serupa untuk Gate $Z$, kecuali bahawa peranan Qubit kawalan dan sasaran bertukar. Khususnya, kita mempunyai tiga hubungan yang digambarkan oleh Circuit kuantum berikut.

Membetulkan ralat bit-flip

Kini kita akan mempertimbangkan bagaimana ralat boleh dikesan dan dibetulkan menggunakan kod Shor 9-Qubit, bermula dengan ralat bit-flip — yang secara amnya akan kita rujuk sebagai ralat $X$ mulai sekarang untuk ringkasan.

Untuk mengesan dan membetulkan ralat $X$, kita boleh hanya merawat setiap tiga blok dalam pengekodan secara berasingan. Setiap blok adalah pengekodan Qubit menggunakan kod ulangan 3-bit, yang melindungi terhadap ralat $X$ — jadi dengan melakukan pengukuran sindrom dan pembetulan ralat $X$ yang diterangkan sebelumnya kepada setiap blok, kita boleh mengesan dan membetulkan sehingga satu ralat $X$ setiap blok. Khususnya, jika terdapat paling banyak satu ralat $X$ pada sembilan Qubit pengekodan, ralat ini akan dikesan dan dibetulkan oleh prosedur ini.

Ringkasnya, membetulkan ralat bit-flip adalah perkara mudah untuk kod ini, disebabkan fakta bahawa kod dalaman membetulkan ralat bit-flip.

Membetulkan ralat phase-flip

Seterusnya kita akan mempertimbangkan ralat phase-flip, atau ralat $Z$ untuk ringkasan. Kali ini tidak begitu jelas apa yang perlu kita lakukan kerana kod luaran adalah yang mengesan ralat $Z$, tetapi kod dalaman nampaknya "menghalang," menjadikan pengesanan dan pembetulan ralat-ralat ini sedikit lebih sukar.

Andaikan bahawa ralat $Z$ berlaku pada salah satu daripada 9 Qubit kod Shor, seperti yang ditunjukkan dalam gambar rajah ini.

Kita telah memerhatikan apa yang berlaku apabila ralat $Z$ berlaku apabila kita menggunakan kod ulangan 3-bit — ia adalah setara dengan ralat $Z$ yang berlaku sebelum pengekodan. Dalam konteks kod Shor 9-Qubit, ini bermakna bahawa ralat $Z$ pada mana-mana satu daripada tiga Qubit dalam satu blok sentiasa mempunyai kesan yang sama, yang bersamaan dengan ralat $Z$ yang berlaku pada Qubit yang sepadan sebelum kod dalaman digunakan.

Sebagai contoh, gambar rajah Circuit di atas adalah bersamaan dengan gambar rajah berikut. Ini boleh difahami menggunakan hubungan antara $Z$ dan Gate CNOT yang diterangkan di atas, atau dengan hanya menilai Circuit pada keadaan Qubit sewenang-wenang $\vert\psi\rangle.$

Ini mencadangkan satu pilihan untuk mengesan dan membetulkan ralat $Z$, iaitu menyahkodkan kod dalaman, meninggalkan kita dengan tiga Qubit yang digunakan untuk pengekodan luaran bersama-sama dengan enam Qubit ruang kerja yang diinialisasi. Kita kemudian boleh memeriksa tiga Qubit kod luaran ini untuk ralat $Z$, dan akhirnya kita boleh mengekodkan semula menggunakan kod dalaman, untuk membawa kita kembali ke pengekodan 9-Qubit yang kita peroleh daripada kod Shor. Jika kita mengesan ralat $Z$, kita boleh sama ada membetulkannya sebelum mengekodkan semula dengan kod dalaman, atau kita boleh membetulkannya selepas mengekodkan semula, dengan menggunakan Gate $Z$ pada mana-mana Qubit dalam blok tersebut.

Berikut adalah gambar rajah Circuit yang merangkumi Circuit pengekodan dan ralat yang dicadangkan di atas bersama-sama dengan langkah-langkah yang baru diterangkan (tetapi bukan langkah pembetulan sebenar).

Dalam contoh tertentu ini, pengukuran sindrom adalah $11,$ yang mengenal pasti ralat $Z$ sebagai telah berlaku pada salah satu Qubit dalam blok tengah.

Satu kelebihan membetulkan ralat $Z$ selepas langkah mengekodkan semula dan bukannya sebelumnya ialah kita boleh memudahkan Circuit di atas. Circuit berikut adalah bersamaan, tetapi memerlukan empat Gate CNOT yang lebih sedikit.

Sekali lagi, sindrom tidak menunjukkan Qubit mana yang dipengaruhi oleh ralat $Z$, tetapi blok mana yang mengalami ralat $Z$, dengan kesannya adalah sama tanpa mengira Qubit mana dalam blok yang terpengaruh. Kita kemudian boleh membetulkan ralat dengan menggunakan Gate $Z$ pada mana-mana tiga Qubit blok mana yang terpengaruh.

Sebagai catatan, di sini kita melihat contoh degenerasi dalam kod pembetulan ralat kuantum, di mana kita dapat membetulkan ralat tertentu (ralat $Z$ dalam kes ini) tanpa dapat mengenal pastinya secara unik.

Ralat bit-flip dan phase-flip serentak

Kita telah melihat bagaimana kedua-dua ralat $X$ dan $Z$ boleh dikesan dan dibetulkan menggunakan kod Shor 9-Qubit, dan khususnya bagaimana paling banyak satu ralat $X$ atau paling banyak satu ralat $Z$ boleh dikesan dan dibetulkan. Sekarang marilah kita andaikan bahawa kedua-dua ralat bit-flip dan phase-flip berlaku, mungkin pada Qubit yang sama. Ternyata, tidak ada yang perlu dilakukan secara berbeza dalam situasi ini daripada apa yang telah dibincangkan — kod tersebut mampu mengesan dan membetulkan sehingga satu ralat $X$ dan satu ralat $Z$ secara serentak, tanpa pengubahsuaian lanjut.

Lebih khusus lagi, ralat $X$ dikesan dengan menggunakan pengukuran sindrom kod ulangan 3-bit biasa, yang dilakukan secara berasingan pada setiap tiga blok tiga Qubit; dan ralat $Z$ dikesan melalui prosedur yang diterangkan di atas, yang bersamaan dengan menyahkodkan kod dalaman, melakukan pengukuran sindrom untuk kod ulangan 3-bit yang diubahsuai untuk phase-flip, dan kemudian mengekodkan semula. Dua langkah pengesanan ralat ini — serta pembetulan yang sepadan — boleh dilakukan sepenuhnya secara bebas antara satu sama lain, dan sebenarnya tidak penting dalam urutan mana ia dilakukan.

Untuk memahami mengapa ini berlaku, pertimbangkan contoh yang digambarkan dalam gambar rajah Circuit berikut, di mana kedua-dua ralat $X$ dan $Z$ telah mempengaruhi Qubit bawah blok tengah.

Marilah kita pertama kali perhatikan bahawa urutan ralat tidak penting, dalam erti kata membalikkan kedudukan ralat $X$ dan $Z$ menghasilkan Circuit yang bersamaan. Untuk jelaskan, $X$ dan $Z$ tidak bertukar ganti, mereka anti-bertukar ganti:

$$XZ = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = -ZX.$$

Ini membawa kepada kesimpulan bahawa Circuit berikut adalah bersamaan dengan yang di atas sehingga faktor fasa global $-1.$

Kita kini boleh memindahkan ralat $Z$ seperti sebelumnya untuk mendapatkan Circuit bersamaan yang lain.

Pada ketika ini jelas bahawa jika prosedur untuk mengesan dan membetulkan ralat $X$ dilakukan dahulu, ralat $X$ akan dibetulkan, selepas itu prosedur untuk mengesan dan membetulkan ralat $Z$ boleh dilakukan untuk menghapuskan ralat $Z$ seperti sebelumnya.

Sebagai alternatif, prosedur untuk mengesan dan membetulkan ralat $Z$ boleh dilakukan dahulu. Fakta bahawa prosedur ini berfungsi seperti yang dijangkakan, walaupun dengan kehadiran satu atau lebih ralat $X$, mengikut daripada fakta bahawa Gate $X$ pada mana-mana sembilan Qubit yang digunakan untuk pengekodan bertukar ganti dengan semua Gate dalam Circuit yang dipermudahkan kita untuk mengukur sindrom bagi ralat $Z$. Oleh itu, pengukuran sindrom ini masih akan mengenal pasti dengan betul blok mana yang dipengaruhi oleh ralat $Z$. Fakta bahawa ralat $Z$ pada mana-mana blok dibetulkan dengan menggunakan Gate $Z$ pada mana-mana Qubit blok tersebut, walaupun jika ralat $X$ juga telah berlaku, mengikut daripada hujah yang sama di atas mengenai urutan Gate $X$ dan $Z$ yang memberikan kita Circuit bersamaan sehingga fasa global.

Ini membawa kepada kesimpulan bahawa kod Shor 9-Qubit boleh membetulkan ralat $X$, ralat $Z$, atau kedua-duanya, pada mana-mana satu daripada sembilan Qubit yang digunakan untuk kod ini. Malah, kita boleh membetulkan lebih banyak ralat daripada itu, termasuk beberapa ralat $X$ (selagi ia berada dalam blok yang berbeza) atau beberapa ralat $Z$ (selagi paling banyak satu blok mengalami bilangan ganjil daripadanya) — tetapi ke hadapan, apa yang paling relevan untuk tujuan pelajaran ini ialah kita boleh membetulkan ralat $X$, ralat $Z$, atau kedua-duanya pada mana-mana satu Qubit.

Pengurangan ralat untuk ralat rawak

Sebelum kita beralih ke bahagian terakhir pelajaran, yang berkaitan dengan ralat kuantum sewenang-wenang, marilah kita pertimbangkan secara ringkas prestasi kod Shor 9-Qubit apabila ralat yang diwakili oleh matriks Pauli berlaku secara rawak pada Qubit.

Untuk lebih konkrit, marilah kita pertimbangkan model hingar mudah di mana ralat berlaku secara bebas pada Qubit, dengan setiap Qubit mengalami ralat dengan kebarangkalian $p$, dan tiada korelasi antara ralat pada Qubit yang berbeza — seiring dengan saluran simetri binari untuk bit klasik. Kita boleh menetapkan kebarangkalian yang berbeza untuk ralat $X,$ $Y,$ dan $Z$ berlaku, tetapi untuk memastikan perkara semudah mungkin, kita akan mempertimbangkan senario terburuk untuk kod Shor 9-Qubit, iaitu ralat $Y$ berlaku pada setiap Qubit yang terpengaruh. Ralat $Y$, ngomong-ngomong, adalah bersamaan (sehingga faktor fasa global yang tidak relevan) dengan kedua-dua ralat $X$ dan $Z$ yang berlaku pada Qubit yang sama, memandangkan $Y = iXZ.$ Ini menjelaskan ketidakpedulian kita yang nampak terhadap ralat $Y$ sehingga kini.

Kini, andaikan $\mathsf{Q}$ adalah sebuah Qubit dalam beberapa keadaan tertentu yang ingin kita lindungi daripada ralat, kita boleh mempertimbangkan pilihan untuk menggunakan kod Shor 9-Qubit. Soalan semula jadi untuk ditanya ialah, "Perlukah kita menggunakannya?"

Jawapannya tidak semestinya "ya." Jika terdapat terlalu banyak hingar, bermakna dalam konteks ini bahawa $p$ terlalu besar, menggunakan kod Shor sebenarnya boleh memperburukkan keadaan — sama seperti kod ulangan 3-bit adalah lebih buruk daripada tiada kod apabila $p$ lebih besar daripada satu perdua. Tetapi, jika $p$ cukup kecil, maka jawapannya ialah "ya," kita harus menggunakan kod, kerana ia akan mengurangkan kemungkinan keadaan yang dikodkan menjadi rosak. Marilah kita lihat mengapa ini berlaku, dan apa maksudnya bagi $p$ untuk terlalu besar atau cukup kecil untuk kod ini.

Kod Shor membetulkan sebarang ralat Pauli pada satu Qubit, termasuk ralat $Y$ sudah tentu, tetapi ia tidak membetulkan dua atau lebih ralat $Y$ dengan betul. Untuk jelaskan, kita mengandaikan bahawa kita menggunakan pembetulan ralat $X$ dan $Z$ yang diterangkan sebelumnya dalam bahagian ini. (Sudah tentu, jika kita tahu terlebih dahulu bahawa kita hanya perlu bimbang tentang ralat $Y$, kita secara semula jadi akan memilih pembetulan kita secara berbeza — tetapi itu menipu model hingar, dan kita sentiasa boleh mengubah model dengan memilih ralat Pauli yang berbeza untuk menjadikan pilihan pembetulan baru ini gagal apabila dua atau lebih Qubit dipengaruhi oleh ralat.)

Jadi, kod tersebut melindungi $\mathsf{Q}$ selagi paling banyak satu daripada sembilan Qubit dipengaruhi oleh ralat, yang berlaku dengan kebarangkalian

$$(1-p)^9 + 9 p (1-p)^8.$$

Jika tidak, dengan kebarangkalian

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8,$$

kod gagal melindungi $\mathsf{Q}.$

Khususnya, apa yang dimaksudkan dalam konteks ini ialah, sehingga fasa global, operasi Pauli bukan-identiti akan digunakan pada Qubit $\mathsf{Q}$ kita (sebagai Qubit logikal). Iaitu, jika ralat $X$ dan $Z$ dikesan dan dibetulkan untuk kod Shor seperti yang diterangkan sebelumnya dalam pelajaran, kita akan tinggal dengan pengekodan keadaan yang bersamaan, sehingga fasa global, dengan pengekodan operasi Pauli bukan-identiti yang digunakan pada keadaan asal $\mathsf{Q}.$ Cara yang lebih ringkas untuk menyatakan ini ialah ralat logikal telah berlaku. Itu mungkin atau tidak mungkin mempunyai kesan pada keadaan asal $\mathsf{Q}$ — atau dengan kata lain Qubit logikal yang telah kita kodkan dengan sembilan Qubit fizikal — tetapi, untuk tujuan analisis ini, kita menganggap peristiwa ini sebagai kegagalan.

Sebaliknya, jika kita tidak menggunakan kod, satu-satunya Qubit kita akan mengalami nasib yang serupa (terkena operasi Pauli bukan-identiti) dengan kebarangkalian $p.$ Kod membantu apabila kebarangkalian pertama lebih kecil daripada yang kedua:

$$1 - (1-p)^9 - 9 p (1-p)^8 < p.$$

Berikut adalah plot yang menggambarkan, untuk nilai $p$ yang sangat kecil, bahawa kod memberikan kelebihan, dengan titik pulang modal berlaku pada sekitar $0.0323.$

Jika $p$ lebih kecil daripada titik pulang modal ini, maka kod membantu; pada titik pulang modal kebarangkaliannya adalah sama, jadi kita hanya membuang masa bersama-sama 8 Qubit jika kita menggunakan kod; dan melebihi titik pulang modal kita pasti tidak harus menggunakan kod ini kerana ia meningkatkan peluang ralat logikal pada $\mathsf{Q}.$

Tiga dan satu perempat peratus atau lebih mungkin tidak kelihatan seperti titik pulang modal yang sangat baik, terutama apabila dibandingkan dengan $50\%,$ iaitu titik pulang modal yang analog untuk kod ulangan 3-bit bagi maklumat klasik. Perbezaan ini, sebahagian besarnya, disebabkan oleh fakta bahawa maklumat kuantum adalah lebih halus dan lebih sukar untuk dilindungi daripada maklumat klasik. Tetapi juga — sambil mengakui bahawa kod Shor 9-Qubit mewakili penemuan yang cemerlang, sebagai kod pembetulan ralat kuantum pertama di dunia — harus diakui bahawa ia sebenarnya bukan kod yang sangat baik dari segi praktikal.