Pendiskretan ralat

Setakat ini kita telah mempertimbangkan ralat $X$ dan ralat $Z$ dalam konteks kod Shor 9-Qubit, dan dalam bahagian ini kita akan mempertimbangkan ralat sewenang-wenangnya. Yang akan kita dapati ialah, untuk menangani ralat-ralat ini, kita tidak perlu melakukan apa-apa yang berbeza daripada apa yang telah dibincangkan; keupayaan untuk membetulkan ralat $X$, ralat $Z$, atau kedua-duanya, membawa kepada keupayaan untuk membetulkan ralat sewenang-wenang. Fenomena ini kadangkala dipanggil pendiskretan ralat.

Ralat Qubit unitari

Mari kita mulakan dengan ralat unitari satu-Qubit. Sebagai contoh, ralat sedemikian boleh menggambarkan putaran kecil pada sfera Bloch, yang mungkin mewakili ralat yang berlaku akibat Gate yang tidak sempurna, misalnya. Atau ia boleh merupakan sebarang operasi unitari pada sesebuah Qubit dan tidak semestinya operasi yang hampir dengan identiti.

Mungkin nampak sukar untuk membetulkan ralat-ralat sedemikian. Lagipun, terdapat infiniti banyak ralat yang mungkin seperti ini, dan mustahil kita boleh mengenal pasti setiap ralat dengan tepat dan kemudiannya membatalkannya. Walau bagaimanapun, selagi kita boleh membetulkan bit-flip, phase-flip, atau kedua-duanya, kita akan berjaya membetulkan sebarang ralat unitari satu-Qubit menggunakan prosedur yang telah diterangkan sebelum ini dalam pelajaran.

Untuk memahami mengapa ini berlaku, pertama sekali kita perlu sedar bahawa kita boleh mengungkapkan sebarang matriks unitari $2 \times 2$ $U,$ yang mewakili ralat pada satu Qubit, sebagai gabungan linear empat matriks Pauli (termasuk matriks identiti).

$$U = \alpha \mathbb{I} + \beta X + \gamma Y + \delta Z$$

Seperti yang akan kita lihat, apabila litar pengesanan ralat dijalankan, pengukuran yang memberikan kita bit sindrom secara berkesan meruntuhkan keadaan pengekodan secara kebarangkalian kepada satu di mana ralat (atau ketiadaan ralat) yang diwakili oleh salah satu daripada empat matriks Pauli telah berlaku. (Daripada fakta bahawa $U$ adalah unitari, bilangan $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ dan $\delta$ mesti memenuhi $\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2 + \vert\gamma\vert^2 + \vert\delta\vert^2 = 1,$ dan memang, nilai-nilai $\vert\alpha\vert^2,$ $\vert\beta\vert^2,$ $\vert\gamma\vert^2,$ dan $\vert\delta\vert^2$ adalah kebarangkalian di mana keadaan yang dikodkan runtuh kepada satu yang mana ralat Pauli yang sepadan telah berlaku.)

Untuk menerangkan cara ini berfungsi dengan lebih terperinci, adalah mudah untuk menggunakan subskrip bagi menunjukkan Qubit mana yang dikenakan oleh operasi unitari Qubit tertentu. Sebagai contoh, menggunakan konvensyen penomboran Qubit Qiskit $(\mathsf{Q}_8,\mathsf{Q}_7,\ldots,\mathsf{Q}_0)$ untuk menomborkan 9 Qubit yang digunakan untuk kod Shor, kita mempunyai ungkapan-ungkapan berikut untuk pelbagai operasi unitari pada Qubit tunggal, di mana dalam setiap kes kita mengoperasikan matriks unitari dengan matriks identiti pada setiap Qubit lain.

$$\begin{aligned} X_0 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \\[1.5mm] Z_4 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1.5mm] U_7 & = \mathbb{I} \otimes U \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \end{aligned}$$

Jadi, khususnya, untuk operasi unitari Qubit $U$ yang tertentu, kita boleh menyatakan tindakan $U$ yang digunakan pada Qubit $k$ dengan formula berikut, yang serupa dengan yang sebelumnya kecuali bahawa setiap matriks mewakili operasi yang digunakan pada Qubit $k.$

$$U_k = \alpha \mathbb{I}_k + \beta X_k + \gamma Y_k + \delta Z_k$$

Sekarang andaikan $\vert\psi\rangle$ adalah pengekodan 9-Qubit bagi sesuatu keadaan Qubit. Jika ralat $U$ berlaku pada Qubit $k,$ kita mendapatkan keadaan $U_k \vert\psi\rangle,$ yang boleh dinyatakan sebagai gabungan linear operasi Pauli yang bertindak ke atas $\vert\psi\rangle$ seperti berikut.

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + \gamma Y_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

Pada ketika ini, marilah kita buat penggantian $Y = iXZ.$

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + i \gamma X_kZ_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

Kini pertimbangkan langkah-langkah pengesanan dan pembetulan ralat yang telah diterangkan sebelumnya. Kita boleh memikirkan hasil pengukuran untuk tiga semakan pariti kod dalaman bersama-sama dengan satu untuk kod luaran secara keseluruhannya sebagai sindrom tunggal yang terdiri daripada 8 bit. Sebelum pengukuran asas piawai sebenar yang menghasilkan bit sindrom ini, keadaannya mempunyai bentuk berikut.

$$\begin{gathered} \alpha\,\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\ + \beta\,\vert X_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k\vert\psi\rangle \\ + i \gamma\,\vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k Z_k\vert\psi\rangle \\ + \delta\,\vert Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes Z_k\vert\psi\rangle \end{gathered}$$

Untuk lebih jelas, pada ketika ini kita mempunyai dua sistem. Sistem di sebelah kiri adalah 8 Qubit yang akan kita ukur untuk mendapatkan sindrom, di mana $\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle,$ $\vert X_k \text{ syndrome}\rangle,$ dan sebagainya, merujuk kepada keadaan asas piawai 8-Qubit mana-mana yang konsisten dengan ralat (atau bukan ralat) yang sepadan. Sistem di sebelah kanan adalah 9 Qubit yang kita gunakan untuk pengekodan.

Perhatikan bahawa kedua-dua sistem ini kini berkorelasi (secara umum), dan inilah kunci kepada mengapa ini berfungsi. Dengan mengukur sindrom, keadaan 9 Qubit di sebelah kanan secara berkesan runtuh kepada satu di mana ralat Pauli yang konsisten dengan sindrom yang diukur telah digunakan pada salah satu Qubit. Tambahan pula, sindrom itu sendiri memberikan maklumat yang cukup supaya kita boleh membatalkan ralat dan memulihkan pengekodan asal $\vert\psi\rangle.$

Khususnya, jika Qubit sindrom diukur dan pembetulan yang sesuai dibuat, kita mendapatkan keadaan yang boleh dinyatakan sebagai matriks ketumpatan,

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

di mana

$$\begin{aligned} \xi = & \vert\alpha\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[1mm] & + \vert\beta\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\gamma\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\delta\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert. \end{aligned}$$

Yang paling penting, ini adalah keadaan hasil darab: kita mempunyai pengekodan asal yang tidak rosak sebagai faktor tensor sebelah kanan, dan di sebelah kiri kita mempunyai matriks ketumpatan $\xi$ yang menggambarkan sindrom ralat rawak. Tiada lagi korelasi dengan sistem di sebelah kanan, iaitu yang kita pedulikan, kerana ralat-ralat telah dibetulkan. Pada ketika ini kita boleh membuang Qubit sindrom atau menetapkannya semula supaya kita boleh menggunakannya lagi. Inilah cara kerawakan — atau entropi — yang dicipta oleh ralat dikeluarkan dari sistem.

Inilah pendiskretan ralat untuk kes khas ralat unitari. Pada dasarnya, dengan mengukur sindrom, kita secara berkesan memproyeksikan ralat kepada ralat yang digambarkan oleh matriks Pauli.

Pada pandangan pertama, mungkin nampak terlalu bagus untuk dipercayai bahawa kita boleh membetulkan ralat unitari sewenang-wenang seperti ini, walaupun ralat yang kecil dan hampir tidak ketara dengan sendirinya. Tetapi, perkara penting yang perlu disedari di sini ialah ini adalah ralat unitari pada satu Qubit, dan melalui reka bentuk kod, operasi satu-Qubit tidak boleh mengubah keadaan Qubit logikal yang telah dikodkan. Satu-satunya yang boleh dilakukannya ialah memindahkan keadaan keluar dari subruang pengekodan yang sah, tetapi kemudian pengesanan ralat meruntuhkan keadaan dan pembetulan membawanya kembali ke tempat asalnya.

Ralat Qubit sewenang-wenang

Akhirnya, marilah kita pertimbangkan ralat sewenang-wenang yang tidak semestinya unitari. Lebih tepat lagi, kita akan mempertimbangkan ralat yang digambarkan oleh saluran Qubit sewenang-wenang $\Phi.$ Sebagai contoh, ini boleh menjadi saluran dephasing atau depolarizing, saluran tetap semula, atau saluran pelik yang belum pernah kita fikirkan sebelumnya.

Langkah pertama adalah mempertimbangkan sebarang perwakilan Kraus bagi $\Phi.$

$$\Phi(\sigma) = \sum_j A_j \sigma A_j^{\dagger}$$

Ini adalah saluran Qubit, jadi setiap $A_j$ adalah matriks $2\times 2$, yang boleh kita nyatakan sebagai gabungan linear matriks Pauli.

$$A_j = \alpha_j \mathbb{I} + \beta_j X + \gamma_j Y + \delta_j Z$$

Ini membolehkan kita menyatakan tindakan ralat $\Phi$ pada Qubit $k$ yang dipilih dalam sebutan matriks Pauli seperti berikut.

$$\Phi_k \bigl( \vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_j (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k)^{\dagger}$$

Ringkasnya, kita hanya mengembangkan semua matriks Kraus kita sebagai gabungan linear matriks Pauli.

Jika kita kini mengira dan mengukur sindrom ralat, dan membetulkan sebarang ralat yang terdedah, kita akan mendapatkan keadaan yang serupa dengan apa yang kita dapat dalam kes ralat unitari:

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

di mana kali ini kita mempunyai

$$\begin{aligned} \xi = & \sum_j \Bigl(\vert\alpha_j\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[-3mm] & \qquad + \vert\beta_j\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\gamma_j\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\delta_j\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert \Bigr). \end{aligned}$$

Butirannya sedikit lebih rumit dan tidak ditunjukkan di sini. Secara konseptual, ideanya adalah sama dengan kes unitari.

Pengitlakan

Pendiskretan ralat digeneralisasikan kepada kod pembetulan ralat kuantum yang lain, termasuk yang boleh mengesan dan membetulkan ralat pada beberapa Qubit. Dalam kes-kes sedemikian, ralat pada beberapa Qubit boleh dinyatakan sebagai hasil darab tensor matriks Pauli, dan sindrom yang berbeza-beza menyatakan pembetulan operasi Pauli yang mungkin dilakukan pada beberapa Qubit dan bukannya satu Qubit sahaja.

Sekali lagi, dengan mengukur sindrom, ralat secara berkesan diproyeksikan atau diruntuhkan kepada set kemungkinan diskret yang diwakili oleh hasil darab tensor matriks Pauli, dan dengan membetulkan ralat Pauli tersebut, kita boleh memulihkan keadaan yang dikodkan asal. Sementara itu, sebarang kerawakan yang dihasilkan dalam proses ini dipindahkan ke dalam Qubit sindrom, yang dibuang atau ditetapkan semula, dengan itu mengalihkan kerawakan yang dihasilkan dalam proses ini dari sistem yang menyimpan pengekodan.