Penulenan

Takrifan penulenan

Mari kita mulakan dengan takrifan matematik yang tepat bagi penulenan.

Takrifan

Andaikan $\mathsf{X}$ ialah sistem dalam keadaan yang diwakili oleh matriks ketumpatan $\rho$, dan $\vert\psi\rangle$ ialah vektor keadaan kuantum bagi pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang meninggalkan $\rho$ apabila $\mathsf{Y}$ disurih keluar:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Vektor keadaan $\vert\psi\rangle$ kemudiannya dikatakan sebagai sebuah penulenan bagi $\rho$.

Keadaan tulen $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$, yang dinyatakan sebagai matriks ketumpatan dan bukannya vektor keadaan kuantum, juga lazimnya dirujuk sebagai penulenan bagi $\rho$ apabila persamaan dalam takrifan itu benar, tetapi kita umumnya akan menggunakan istilah tersebut untuk merujuk kepada vektor keadaan kuantum.

Istilah penulenan juga digunakan secara lebih umum apabila urutan sistem dibalikkan, apabila nama-nama sistem dan keadaan berbeza (sudah tentu), dan apabila terdapat lebih daripada dua sistem. Sebagai contoh, jika $\vert \psi \rangle$ ialah vektor keadaan kuantum yang mewakili keadaan tulen sistem kompaun $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$, dan persamaan

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

benar bagi matriks ketumpatan $\rho$ yang mewakili keadaan sistem $(\mathsf{A},\mathsf{C})$, maka $\vert\psi\rangle$ masih dirujuk sebagai penulenan bagi $\rho$.

Walau bagaimanapun, untuk tujuan pelajaran ini, kita akan fokus pada bentuk khusus yang diterangkan dalam takrifan tersebut. Sifat-sifat dan fakta-fakta mengenai penulenan, mengikut takrifan ini, biasanya boleh diumumkan kepada lebih daripada dua sistem dengan mengatur semula dan membahagikan sistem kepada dua sistem kompaun, satu memainkan peranan $\mathsf{X}$ dan satu lagi memainkan peranan $\mathsf{Y}$.

Kewujudan penulenan

Andaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah dua sistem sewenang-wenangnya dan $\rho$ ialah keadaan $\mathsf{X}$ yang diberikan. Kita akan membuktikan bahawa terdapat vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ bagi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang menulenkan $\rho$ — iaitu satu cara lain menyatakan bahawa $\vert\psi\rangle$ adalah penulenan bagi $\rho$ — dengan syarat sistem $\mathsf{Y}$ cukup besar. Khususnya, jika $\mathsf{Y}$ mempunyai sekurang-kurangnya bilangan keadaan klasik yang sama seperti $\mathsf{X},$ maka penulenan berbentuk ini semestinya wujud bagi setiap keadaan $\rho.$ Bilangan keadaan klasik $\mathsf{Y}$ yang lebih sedikit diperlukan untuk sesetengah keadaan $\rho;$ secara umum, $\operatorname{rank}(\rho)$ keadaan klasik $\mathsf{Y}$ adalah perlu dan mencukupi untuk kewujudan vektor keadaan kuantum $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang menulenkan $\rho.$

Pertimbangkan dahulu sebarang ungkapan $\rho$ sebagai kombinasi cembung $n$ keadaan tulen, bagi sebarang integer positif $n$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

Dalam ungkapan ini, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ ialah vektor kebarangkalian dan $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ ialah vektor-vektor keadaan kuantum $\mathsf{X}.$

Satu cara untuk mendapatkan ungkapan sedemikian ialah melalui teorem spektrum, dalam kes itu $n$ ialah bilangan keadaan klasik $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ adalah nilai eigen $\rho,$ dan $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ adalah vektor-vektor eigen ortonormal yang sepadan dengan nilai-nilai eigen ini.

Sebenarnya tidak perlu memasukkan sebutan-sebutan yang sepadan dengan nilai eigen sifar $\rho$ dalam jumlah itu, yang membolehkan kita secara alternatif memilih $n = \operatorname{rank}(\rho)$ dan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ sebagai nilai-nilai eigen bukan sifar $\rho$. Ini adalah nilai minimum $n$ di mana ungkapan $\rho$ yang mengambil bentuk di atas wujud.

Untuk menjelaskan, tidak perlu bahawa ungkapan $\rho$ yang dipilih, sebagai kombinasi cembung keadaan tulen, berasal dari teorem spektrum — ini hanyalah satu cara untuk mendapatkan ungkapan sedemikian. Khususnya, $n$ boleh menjadi sebarang integer positif, vektor-vektor unit $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ tidak perlu ortogon, dan kebarangkalian $p_0,\ldots,p_{n-1}$ tidak perlu menjadi nilai eigen $\rho.$

Kita kini boleh mengenal pasti penulenan $\rho$ seperti berikut.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Di sini kita membuat andaian bahawa keadaan klasik $\mathsf{Y}$ merangkumi $0,\ldots,n-1$. Jika tidak, pilihan sewenang-wenang bagi $n$ keadaan klasik berbeza $\mathsf{Y}$ boleh digantikan dengan $0,\ldots,n-1$. Mengesahkan bahawa ini memang penulenan bagi $\rho$ adalah perkara mudah untuk mengira surih separa, yang boleh dilakukan dalam dua cara setara berikut.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Lebih umum lagi, bagi sebarang set ortonormal vektor $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$, vektor keadaan kuantum

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

is a purification of $\rho$.

Contoh

Andaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ keduanya adalah qubit dan

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

adalah matriks ketumpatan yang mewakili keadaan $\mathsf{X}$.

Kita boleh menggunakan teorem spektrum untuk menyatakan $\rho$ sebagai

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

di mana $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$. Vektor keadaan kuantum

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

yang menggambarkan keadaan tulen pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, oleh itu merupakan penulenan bagi $\rho$.

Secara alternatif, kita boleh menulis

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Ini adalah kombinasi cembung keadaan-keadaan tulen tetapi bukan penguraian spektrum kerana $\vert 0\rangle$ dan $\vert +\rangle$ tidak ortogon dan $1/2$ bukan nilai eigen $\rho$. Walaupun begitu, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

is a purification of $\rho$.

Penguraian Schmidt

Seterusnya, kita akan membincangkan penguraian Schmidt, iaitu ungkapan-ungkapan vektor keadaan kuantum bagi pasangan sistem yang mengambil bentuk tertentu. Penguraian Schmidt berkaitan rapat dengan penulenan, dan ia sangat berguna dalam haknya sendiri. Memang, apabila menaakul tentang vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang diberikan bagi sepasang sistem, langkah pertama sering kali adalah mengenal pasti atau mempertimbangkan penguraian Schmidt bagi keadaan tersebut.

Takrifan

Biar $\vert \psi\rangle$ ialah vektor keadaan kuantum yang diberikan bagi sepasang sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Sebuah penguraian Schmidt bagi $\vert\psi\rangle$ ialah ungkapan berbentuk

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

di mana $p_0,\ldots,p_{r-1}$ adalah nombor nyata positif yang berjumlah kepada $1$ dan kedua-dua set $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ dan $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ adalah ortonormal.

Nilai-nilai

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

dalam penguraian Schmidt bagi $\vert\psi\rangle$ dikenali sebagai pekali Schmidt-nya, yang ditentukan secara unik (sehingga tertib mereka) — ia adalah satu-satunya nombor nyata positif yang boleh muncul dalam ungkapan sedemikian bagi $\vert\psi\rangle$. Set-set

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{dan}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

sebaliknya, tidak ditentukan secara unik, dan kebebasan yang ada dalam memilih set-set vektor ini akan dijelaskan dalam huraian yang berikut.

Kita kini akan mengesahkan bahawa vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang diberikan memang mempunyai penguraian Schmidt, dan dalam proses itu, kita akan mempelajari cara mencarinya.

Pertimbangkan dahulu asas yang sewenang-wenang (tidak semestinya ortogon) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ bagi ruang vektor yang sepadan dengan sistem $\mathsf{X}$. Kerana ini adalah asas, akan sentiasa wujud pemilihan vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ yang ditentukan secara unik di mana persamaan berikut benar.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Sebagai contoh, andaikan $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ialah asas piawai yang dikaitkan dengan $\mathsf{X}$. Dengan menganggap set keadaan klasik $\mathsf{X}$ ialah $\{0,\ldots,n-1\}$, ini bermakna $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ bagi setiap $a\in\{0,\ldots,n-1\}$, dan kita mendapati bahawa

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

apabila

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

bagi setiap $a\in\{0,\ldots,n-1\}$. Kita kerap mempertimbangkan ungkapan seperti ini apabila memikirkan tentang pengukuran asas piawai $\mathsf{X}$.

Penting untuk diingat bahawa formula

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

bagi vektor-vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ dalam contoh ini hanya berfungsi kerana $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ adalah asas ortonormal. Secara umum, jika $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ialah asas yang tidak semestinya ortonormal, maka vektor-vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ masih ditentukan secara unik oleh persamaan $(1)$, tetapi formula yang berbeza diperlukan. Satu cara untuk mencarinya ialah dengan terlebih dahulu mengenal pasti vektor-vektor $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ supaya persamaan

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

dipenuhi bagi semua $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$, pada ketika itu kita mempunyai

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Bagi asas $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ yang diberikan bagi ruang vektor yang sepadan dengan $\mathsf{X}$, vektor-vektor yang ditentukan secara unik $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ di mana persamaan $(1)$ dipenuhi tidak semestinya memenuhi sebarang sifat khas, walaupun jika $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ kebetulan adalah asas ortonormal. Namun, jika kita memilih $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ sebagai asas ortonormal vektor eigen bagi keadaan teraruh

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

maka sesuatu yang menarik berlaku. Khususnya, bagi koleksi $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ yang ditentukan secara unik di mana persamaan $(1)$ benar, kita mendapati bahawa koleksi ini mestilah ortogon.

Dengan lebih terperinci, pertimbangkan penguraian spektrum $\rho$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Di sini kita menandakan nilai-nilai eigen $\rho$ dengan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ sebagai pengiktirafan fakta bahawa $\rho$ adalah matriks ketumpatan — jadi vektor nilai eigen $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ membentuk vektor kebarangkalian — manakala $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ialah asas ortonormal vektor-vektor eigen yang sepadan dengan nilai-nilai eigen ini. Untuk melihat bahawa koleksi unik $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ di mana persamaan $(1)$ benar semestinya ortogon, kita boleh mulakan dengan mengira surih separa.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Ungkapan ini mestilah sama dengan penguraian spektrum $\rho$. Kerana $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ialah asas, kita menyimpulkan bahawa set matriks

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

adalah bebas linear, dan oleh itu

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

membuktikan bahawa $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ adalah ortogon.

Kita hampir mendapat penguraian Schmidt bagi $\vert\psi\rangle$. Tinggal lagi untuk membuang sebutan-sebutan dalam $(1)$ di mana $p_a = 0$ kemudian menulis $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ bagi vektor unit $\vert y_a\rangle$ bagi setiap sebutan yang tinggal.

Satu cara yang mudah untuk melakukan ini bermula dengan pemerhatian bahawa kita bebas untuk menomborkan pasangan nilai eigen/vektor eigen dalam penguraian spektrum keadaan teraruh $\rho$ sesuka hati — jadi kita boleh menganggap nilai-nilai eigen tersusun dalam tertib menurun:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Dengan menetapkan $r = \operatorname{rank}(\rho)$, kita mendapati bahawa $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ dan $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0$. Jadi, kita mempunyai

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

dan kita boleh menulis vektor keadaan kuantum $\vert \psi \rangle$ sebagai

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Memandangkan

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

bagi $a=0,\ldots,r-1$, kita boleh mentakrifkan vektor-vektor unit $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ sebagai

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

supaya $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ bagi setiap $a\in\{0,\ldots,r-1\}$. Kerana vektor-vektor $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ adalah ortogon dan bukan sifar, ia mengikut bahawa $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ adalah set ortonormal, dan kita telah mendapat penguraian Schmidt bagi $\vert\psi\rangle$.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Mengenai pilihan vektor-vektor $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ dan $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$, kita boleh memilih $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ sebagai sebarang set ortonormal vektor eigen yang sepadan dengan nilai-nilai eigen bukan sifar keadaan teraruh $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (seperti yang kita lakukan di atas), dalam kes itu vektor-vektor $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ditentukan secara unik.

Situasinya adalah simetri antara kedua-dua sistem, jadi kita boleh secara alternatif memilih $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ sebagai sebarang set ortonormal vektor eigen yang sepadan dengan nilai-nilai eigen bukan sifar keadaan teraruh $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$, dalam kes itu vektor-vektor $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ akan ditentukan secara unik.

Perlu diingat, bagaimanapun, bahawa setelah satu set dipilih, sebagai vektor-vektor eigen keadaan teraruh yang sepadan seperti yang baru diterangkan, yang satu lagi ditentukan — jadi ia tidak boleh dipilih secara bebas.

Walaupun tidak akan timbul lagi dalam siri ini, adalah penting untuk diperhatikan bahawa nilai-nilai eigen bukan sifar $p_0,\ldots,p_{r-1}$ bagi keadaan teraruh $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ mestilah sentiasa bersetuju dengan nilai-nilai eigen bukan sifar keadaan teraruh $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ bagi mana-mana keadaan tulen $\vert\psi\rangle$ sepasang sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$.

Secara intuitif, keadaan-keadaan terturun $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ mempunyai jumlah kerawakan yang tepat sama apabila pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan tulen. Fakta ini didedahkan oleh penguraian Schmidt: dalam kedua-dua kes nilai eigen keadaan terturun mestilah sama dengan kuasa dua pekali-pekali Schmidt bagi keadaan tulen.

Kesetaraan unitari penulenan

Kita boleh menggunakan penguraian Schmidt untuk menetapkan fakta yang sangat penting berkaitan penulenan yang dikenali sebagai kesetaraan unitari penulenan.

Teorem

Kesetaraan unitari penulenan: Andaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ ialah sistem, dan $\vert\psi\rangle$ serta $\vert\phi\rangle$ ialah vektor keadaan kuantum bagi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang kedua-duanya menulenkan keadaan yang sama bagi $\mathsf{X}$. Dalam simbol,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

untuk sesetengah matriks ketumpatan $\rho$ yang mewakili keadaan $\mathsf{X}$. Mesti terdapat operasi unitari $U$ pada $\mathsf{Y}$ sahaja yang mengubah penulenan pertama kepada yang kedua:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Kita akan bincangkan beberapa implikasi teorem ini semasa pelajaran diteruskan, tetapi mula-mula mari kita lihat bagaimana ia mengikut daripada perbincangan kita sebelum ini tentang penguraian Schmidt.

Andaian kita ialah $\vert\psi\rangle$ dan $\vert\phi\rangle$ ialah vektor keadaan kuantum bagi pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang memenuhi persamaan

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

untuk sesetengah matriks ketumpatan $\rho$ yang mewakili keadaan $\mathsf{X}$.

Pertimbangkan penguraian spektrum $\rho$.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Di sini $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ ialah asas ortonormal vektor eigen $\rho$. Dengan mengikuti preskripsi yang diterangkan sebelumnya, kita boleh mendapatkan penguraian Schmidt untuk kedua-dua $\vert\psi\rangle$ dan $\vert\phi\rangle$ yang mempunyai bentuk berikut.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

Dalam ungkapan ini $r$ ialah pangkat $\rho$ dan $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ dan $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ ialah set vektor ortonormal dalam ruang yang berpadanan dengan $\mathsf{Y}$.

Untuk mana-mana dua set ortonormal dalam ruang yang sama yang mempunyai bilangan elemen yang sama, sentiasa terdapat matriks unitari yang mengubah set pertama kepada yang kedua, jadi kita boleh pilih matriks unitari $U$ supaya $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ untuk $a = 0,\ldots,r-1$. Khususnya, untuk mencari matriks $U$ sedemikian, kita boleh mula-mula menggunakan proses orthogonalisasi Gram-Schmidt untuk meluaskan set ortonormal kita kepada asas ortonormal $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ dan $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$, di mana $m$ ialah dimensi ruang yang berpadanan dengan $\mathsf{Y}$, dan kemudian ambil

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Kita kemudiannya dapati bahawa

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

yang melengkapkan buktinya.

Berikut adalah beberapa daripada banyak contoh dan implikasi menarik yang berkaitan dengan kesetaraan unitari penulenan. Kita akan melihat satu lagi yang sangat penting kemudian dalam pelajaran, dalam konteks fideliti, yang dikenali sebagai teorem Uhlmann.

Pengekodan suprapadat

Dalam protokol pengekodan suprapadat, Alice dan Bob berkongsi satu e-bit, bermakna Alice memegang qubit $\mathsf{A},$ Bob memegang qubit $\mathsf{B},$ dan bersama-sama pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan Bell $\vert\phi^{+}\rangle.$ Protokol ini menerangkan bagaimana Alice boleh mengubah keadaan dikongsi ini kepada mana-mana satu daripada empat keadaan Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ dan $\vert\psi^-\rangle,$ dengan menerapkan operasi unitari pada qubit $\mathsf{A}$ miliknya. Setelah melakukan ini, dia menghantar $\mathsf{A}$ kepada Bob, dan kemudian Bob melakukan pengukuran pada pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ untuk melihat keadaan Bell mana yang dia pegang.

Untuk keempat-empat keadaan Bell, keadaan terturun qubit Bob $\mathsf{B}$ ialah keadaan bercampur penuh.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Dengan kesetaraan unitari penulenan, kita segera simpulkan bahawa untuk setiap keadaan Bell mesti terdapat operasi unitari pada qubit Alice $\mathsf{A}$ sahaja yang mengubah $\vert\phi^+\rangle$ kepada keadaan Bell yang dipilih. Walaupun ini tidak mendedahkan butiran tepat protokol tersebut, kesetaraan unitari penulenan memang segera menunjukkan bahawa pengekodan suprapadat adalah mungkin.

Kita juga boleh simpulkan bahawa generalisasi pengekodan suprapadat kepada sistem yang lebih besar sentiasa mungkin, dengan syarat kita menggantikan keadaan Bell dengan mana-mana asas ortonormal penulenan keadaan bercampur penuh.

Implikasi kriptografi

Kesetaraan unitari penulenan mempunyai implikasi berkaitan pelaksanaan primitif kriptografi menggunakan maklumat kuantum. Sebagai contoh, kesetaraan unitari penulenan mendedahkan bahawa adalah mustahil untuk melaksanakan bentuk ideal komitmen bit menggunakan maklumat kuantum.

Primitif komitmen bit melibatkan dua peserta, Alice dan Bob (yang tidak mempercayai satu sama lain), dan mempunyai dua fasa.

• Fasa pertama ialah fasa komit, di mana Alice berkomit kepada nilai binari $b\in\{0,1\}$. Komitmen ini mestilah mengikat, bermakna Alice tidak boleh menukar fikirannya, serta menyembunyikan, bermakna Bob tidak boleh tahu nilai yang Alice telah komit.
• Fasa kedua ialah fasa dedah, di mana bit yang dikomit Alice menjadi diketahui oleh Bob, yang sepatutnya kemudiannya yakin bahawa itu memang nilai yang dikomit yang didedahkan.

Dalam istilah operasi yang intuitif, fasa pertama komitmen bit sepatutnya berfungsi seolah-olah Alice menulis nilai binari pada sekeping kertas, mengunci kertas itu di dalam peti besi, dan memberikan peti besi itu kepada Bob sambil menyimpan kunci untuk dirinya sendiri. Alice telah berkomit kepada nilai binari yang tertulis pada kertas itu kerana peti besi berada dalam milikan Bob (jadi ia mengikat), tetapi kerana Bob tidak boleh membuka peti besi itu dia tidak boleh tahu nilai yang Alice komit (jadi ia menyembunyikan). Fasa kedua sepatutnya berfungsi seolah-olah Alice menyerahkan kunci peti besi kepada Bob, supaya dia boleh membuka peti besi untuk mendedahkan nilai yang Alice komit.

Ternyata, adalah mustahil untuk melaksanakan protokol komitmen bit yang sempurna melalui maklumat kuantum sahaja, kerana ini bercanggah dengan kesetaraan unitari penulenan. Berikut adalah ringkasan peringkat tinggi bagi hujah yang menetapkan ini.

Untuk bermula, kita boleh andaikan Alice dan Bob hanya melakukan operasi unitari atau memperkenalkan sistem yang diinisialisasi baru semasa protokol dijalankan. Fakta bahawa setiap saluran mempunyai perwakilan Stinespring membolehkan kita membuat andaian ini.

Di penghujung fasa komit protokol, Bob mempunyai dalam miliknya beberapa sistem kompaun yang mesti berada dalam salah satu daripada dua keadaan kuantum: $\rho_0$ jika Alice komit kepada nilai $0$ dan $\rho_1$ jika Alice komit kepada nilai $1.$ Untuk protokol menjadi sempurna menyembunyikan, Bob tidak sepatutnya dapat membezakan antara dua keadaan ini — jadi mestilah $\rho_0 = \rho_1.$ (Jika tidak, akan ada pengukuran yang dapat membezakan keadaan ini secara probabilistik.)

Namun begitu, kerana Alice dan Bob hanya menggunakan operasi unitari, keadaan semua sistem yang terlibat dalam protokol bersama-sama selepas fasa komit mestilah dalam keadaan tulen. Khususnya, andaikan $\vert\psi_0\rangle$ ialah keadaan tulen semua sistem yang terlibat dalam protokol apabila Alice komit kepada $0$, dan $\vert\psi_1\rangle$ ialah keadaan tulen semua sistem yang terlibat dalam protokol apabila Alice komit kepada $1$. Jika kita tulis $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ untuk menandakan sistem (mungkin kompaun) Alice dan Bob, maka

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Memandangkan keperluan bahawa $\rho_0 = \rho_1$ untuk protokol yang sempurna menyembunyikan, kita dapati bahawa $\vert\psi_0\rangle$ dan $\vert\psi_1\rangle$ ialah penulenan keadaan yang sama — jadi, melalui kesetaraan unitari penulenan, mesti terdapat operasi unitari $U$ pada $\mathsf{A}$ sahaja sedemikian rupa bahawa

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Oleh itu Alice bebas untuk menukar komitmennya dari $0$ kepada $1$ dengan menerapkan $U$ pada $\mathsf{A}$, atau dari $1$ kepada $0$ dengan menerapkan $U^{\dagger}$, jadi protokol hipotetikal yang sedang dipertimbangkan itu sama sekali gagal untuk menjadi mengikat.

Teorem Hughston-Jozsa-Wootters

Implikasi terakhir kesetaraan unitari penulenan yang akan kita bincangkan dalam bahagian pelajaran ini ialah teorem berikut yang dikenali sebagai teorem Hughston-Jozsa-Wootters. (Ini sebenarnya adalah pernyataan yang sedikit dipermudahkan daripada teorem yang dikenali dengan nama ini.)

Teorem

Hughston-Jozsa-Wootters: Biarkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ menjadi sistem dan biarkan $\vert\phi\rangle$ menjadi vektor keadaan kuantum bagi pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Juga biarkan $N$ menjadi integer positif yang sewenang-wenangnya, biarkan $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ menjadi vektor kebarangkalian, dan biarkan $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ menjadi vektor keadaan kuantum yang mewakili keadaan $\mathsf{X}$ sedemikian rupa bahawa

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Terdapat pengukuran (umum) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ pada $\mathsf{Y}$ sedemikian rupa bahawa dua pernyataan berikut adalah benar apabila pengukuran ini dilakukan pada $\mathsf{Y}$ apabila $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan $\vert\phi\rangle$:

1. Setiap hasil pengukuran $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ muncul dengan kebarangkalian $p_a$.

2. Bersyarat pada memperoleh hasil pengukuran $a$, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi $\vert\psi_a\rangle$.

Secara intuitif, teorem ini menyatakan bahawa selagi kita mempunyai keadaan tulen dua sistem, maka untuk sebarang cara memikirkan keadaan terturun sistem pertama sebagai kombinasi cembung keadaan tulen, terdapat pengukuran sistem kedua yang secara efektif menjadikan cara berfikir ini tentang sistem pertama satu kenyataan. Perhatikan bahawa nombor $N$ tidak semestinya dibatasi oleh bilangan keadaan klasik $\mathsf{X}$ atau $\mathsf{Y}$. Sebagai contoh, mungkin $N = 1{,}000{,}000$ sementara $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit.

Kita akan buktikan teorem ini menggunakan kesetaraan unitari penulenan, bermula dengan pengenalan sistem baru $\mathsf{Z}$ yang set keadaan klasiknya ialah $\{0,\ldots,N-1\}$. Pertimbangkan dua vektor keadaan kuantum berikut bagi triple $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$.

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

Vektor pertama $\vert\gamma_0\rangle$ adalah sekadar vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ yang diberikan, ditensor dengan $\vert 0\rangle$ untuk sistem baru $\mathsf{Z}$. Untuk vektor kedua $\vert\gamma_1\rangle$, kita pada dasarnya mempunyai vektor keadaan kuantum yang akan menjadikan teorem ini trivial — sekurang-kurangnya jika $\mathsf{Y}$ digantikan dengan $\mathsf{Z}$ — kerana pengukuran asas piawai yang dilakukan pada $\mathsf{Z}$ jelas menghasilkan setiap hasil $a$ dengan kebarangkalian $p_a$, dan bersyarat pada mendapatkan hasil ini keadaan $\mathsf{X}$ menjadi $\vert\psi_a\rangle$.

Dengan memikirkan pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ sebagai sistem kompaun tunggal yang boleh disurih keluar untuk meninggalkan $\mathsf{X}$, kita dapati bahawa kita telah mengenal pasti dua penulenan berbeza bagi keadaan

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Khususnya, untuk yang pertama kita ada

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

dan untuk yang kedua kita ada

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Oleh itu mesti terdapat operasi unitari $U$ pada $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ yang memenuhi

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

melalui kesetaraan unitari penulenan.

Menggunakan operasi unitari $U$ ini, kita boleh melaksanakan pengukuran yang memenuhi keperluan teorem seperti yang digambarkan oleh rajah berikut. Dengan kata-kata, kita memperkenalkan sistem baru $\mathsf{Z}$ yang diinisialisasi kepada keadaan $\vert 0\rangle$, menerapkan $U$ pada $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$, yang mengubah keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ dari $\vert\gamma_0\rangle$ kepada $\vert\gamma_1\rangle$, dan kemudian mengukur $\mathsf{Z}$ dengan pengukuran asas standard, yang seperti yang telah kita perhatikan memberikan tingkah laku yang dikehendaki.

Segi empat bertitik dalam rajah mewakili pelaksanaan pengukuran ini, yang boleh diterangkan sebagai koleksi matriks semidefinit positif $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ seperti berikut.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$