Kesetiaan

Dalam bahagian pelajaran ini, kita akan membincangkan kesetiaan antara keadaan kuantum, yang merupakan ukuran persamaan mereka — atau sejauh mana mereka "bertindih."

Diberikan dua vektor keadaan kuantum, kesetiaan antara keadaan tulen yang dikaitkan dengan vektor keadaan kuantum ini sama dengan nilai mutlak hasil darab dalam antara vektor keadaan kuantum. Ini memberikan cara asas untuk mengukur persamaan mereka: hasilnya adalah nilai antara $0$ dan $1,$ dengan nilai yang lebih besar menunjukkan persamaan yang lebih besar. Khususnya, nilainya adalah sifar untuk keadaan ortogon (mengikut takrifan), manakala nilainya adalah $1$ untuk keadaan yang setara hingga fasa global.

Secara intuitif, kesetiaan boleh dilihat sebagai perluasan ukuran persamaan asas ini, daripada vektor keadaan kuantum kepada matriks ketumpatan.

Takrifan kesetiaan

Wajar untuk bermula dengan takrifan kesetiaan. Pada pandangan pertama, takrifan yang berikut mungkin kelihatan tidak biasa atau misteri, dan mungkin tidak mudah untuk digunakan. Fungsi yang ditakrifkannya, bagaimanapun, ternyata mempunyai banyak sifat menarik dan pelbagai rumusan alternatif, menjadikannya jauh lebih mudah digunakan daripada yang mungkin kelihatan pada awalnya.

Takrifan

Biar $\rho$ dan $\sigma$ menjadi matriks ketumpatan yang mewakili keadaan kuantum sistem yang sama. Kesetiaan antara $\rho$ dan $\sigma$ ditakrifkan sebagai

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Catatan

Walaupun ini adalah takrifan yang lazim, juga lazim bahawa kesetiaan ditakrifkan sebagai kuasa dua daripada kuantiti yang ditakrifkan di sini, yang kemudiannya disebut sebagai kesetiaan punca. Tiada satu takrifan yang betul atau salah — pada dasarnya ia adalah soal pilihan. Namun, seseorang mesti selalu berhati-hati untuk memahami atau menjelaskan takrifan mana yang sedang digunakan.

Untuk memahami formula dalam takrifan, perhatikan pertama bahawa $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ adalah matriks positif semidefinit:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

untuk $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Seperti semua matriks positif semidefinit, matriks positif semidefinit ini mempunyai punca kuasa dua positif semidefinit yang unik, yang surihannya adalah kesetiaan.

Untuk setiap matriks persegi $M,$ nilai eigen bagi dua matriks positif semidefinit $M^{\dagger} M$ dan $M M^{\dagger}$ adalah selalu sama, dan oleh itu perkara yang sama adalah benar untuk punca kuasa dua matriks ini. Memilih $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ dan menggunakan fakta bahawa surih matriks persegi adalah jumlah nilai eigennya, kita mendapati bahawa

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Jadi, walaupun tidak segera dari takrifan, kesetiaan adalah simetri dalam dua argumennya.

Kesetiaan dalam sebutan norma surih

Cara setara untuk menyatakan kesetiaan adalah dengan formula ini:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Di sini kita melihat norma surih, yang kita jumpai dalam pelajaran sebelumnya dalam konteks pembezaan keadaan. Norma surih bagi matriks $M$ (tidak semestinya persegi) boleh ditakrifkan sebagai

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

dan dengan menerapkan takrifan ini pada matriks $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ kita mendapat formula dalam takrifan.

Cara alternatif untuk menyatakan norma surih bagi matriks (persegi) $M$ adalah melalui formula ini.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Di sini maksimum adalah ke atas semua matriks unitar $U$ yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama dengan $M.$ Menerapkan formula ini dalam situasi semasa mendedahkan ungkapan lain bagi kesetiaan.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Kesetiaan untuk keadaan tulen

Satu perkara terakhir tentang takrifan kesetiaan ialah setiap keadaan tulen (sebagai matriks ketumpatan) adalah sama dengan punca kuasa duanya sendiri, yang membolehkan formula kesetiaan dipermudahkan dengan ketara apabila satu atau kedua-dua keadaan adalah tulen. Khususnya, jika salah satu daripada dua keadaan adalah tulen kita mempunyai formula berikut.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Jika kedua-dua keadaan adalah tulen, formula tersebut dipermudahkan kepada nilai mutlak hasil darab dalam bagi vektor keadaan kuantum yang sepadan, seperti yang disebutkan pada awal bahagian ini.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Sifat asas kesetiaan

Kesetiaan mempunyai banyak sifat yang luar biasa dan beberapa rumusan alternatif. Berikut adalah hanya beberapa sifat asas yang disenaraikan tanpa bukti.

1. Untuk mana-mana dua matriks ketumpatan $\rho$ dan $\sigma$ yang bersaiz sama, kesetiaan $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ terletak antara sifar dan satu: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Adalah benar bahawa $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ jika dan hanya jika $\rho$ dan $\sigma$ mempunyai imej yang ortogon (jadi mereka boleh dibezakan tanpa ralat), dan $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ jika dan hanya jika $\rho = \sigma.$
2. Kesetiaan adalah multiplikatif, bermakna kesetiaan antara dua keadaan hasil adalah sama dengan hasil darab kesetiaan individu: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Kesetiaan antara keadaan adalah tidak berkurang di bawah tindakan sebarang saluran. Iaitu, jika $\rho$ dan $\sigma$ adalah matriks ketumpatan dan $\Phi$ adalah saluran yang boleh mengambil kedua-dua keadaan ini sebagai input, maka semestinya $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Ketaksamaan Fuchs-van de Graaf menetapkan hubungan yang rapat (walaupun tidak tepat) antara kesetiaan dan jarak surih: untuk mana-mana dua keadaan $\rho$ dan $\sigma$ kita mempunyai $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Sifat terakhir boleh dinyatakan dalam bentuk rajah:

Secara khusus, untuk sebarang pilihan keadaan $\rho$ dan $\sigma$ bagi sistem yang sama, garis mendatar yang melintasi paksi $y$ pada $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ dan garis menegak yang melintasi paksi $x$ pada $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ mesti bersilang dalam kawasan kelabu yang bersempadan di bawah oleh garis $y = 1-x$ dan di atas oleh bulatan unit. Kawasan yang paling menarik dalam rajah ini dari sudut praktikal adalah sudut kiri atas kawasan kelabu: jika kesetiaan antara dua keadaan hampir satu, maka jarak surih mereka hampir sifar, dan begitu juga sebaliknya.

Lema pengukuran lembut

Seterusnya kita akan melihat fakta yang mudah tetapi penting, yang dikenali sebagai lema pengukuran lembut, yang menghubungkan kesetiaan dengan pengukuran tidak musnah. Ini adalah lema yang sangat berguna yang muncul dari semasa ke semasa, dan ia juga patut diberi perhatian kerana takrifan kesetiaan yang kelihatan rumit sebenarnya memudahkan pembuktian lema ini.

Persediaannya adalah seperti berikut. Biar $\mathsf{X}$ menjadi sistem dalam keadaan $\rho$ dan biar $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ menjadi koleksi matriks positif semidefinit yang mewakili pengukuran umum bagi $\mathsf{X}.$ Andaikan lebih lanjut bahawa jika pengukuran ini dilakukan ke atas sistem $\mathsf{X}$ semasa ia berada dalam keadaan $\rho,$ salah satu hasil adalah sangat mungkin. Untuk konkrit, mari kita andaikan bahawa hasil pengukuran yang mungkin itu ialah $0,$ dan khususnya mari kita andaikan bahawa

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

untuk nombor nyata positif yang kecil $\varepsilon > 0.$

Apa yang lema pengukuran lembut nyatakan ialah, di bawah andaian ini, pengukuran tidak musnah yang diperoleh daripada $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ melalui teorem Naimark hanya menyebabkan gangguan kecil kepada $\rho$ apabila hasil pengukuran yang mungkin $0$ diperhatikan.

Lebih khusus lagi, lema menyatakan bahawa kuasa dua kesetiaan antara $\rho$ dan keadaan yang kita peroleh daripada pengukuran tidak musnah, bersyarat pada hasil $0,$ adalah lebih besar daripada $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Kita perlu fakta asas tentang pengukuran untuk membuktikan ini. Matriks pengukuran $P_0, \ldots, P_{m-1}$ adalah positif semidefinit dan berjumlah kepada identiti, yang membolehkan kita menyimpulkan bahawa semua nilai eigen $P_0$ adalah nombor nyata antara $0$ dan $1.$ Ini mengikuti daripada fakta bahawa, untuk sebarang vektor unit $\vert\psi\rangle,$ nilai $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ adalah nombor nyata tidak negatif untuk setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (kerana setiap $P_a$ adalah positif semidefinit), bersama dengan nombor-nombor ini berjumlah kepada satu.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Oleh itu $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ sentiasa nombor nyata antara $0$ dan $1,$ dan ini bermakna setiap nilai eigen $P_0$ adalah nombor nyata antara $0$ dan $1$ kerana kita boleh memilih $\vert\psi\rangle$ khusus sebagai vektor eigen unit yang sepadan dengan nilai eigen mana yang diminati.

Daripada pemerhatian ini kita boleh menyimpulkan ketaksamaan berikut untuk setiap matriks ketumpatan $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Secara lebih terperinci, bermula daripada penguraian spektrum

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

kita menyimpulkan bahawa

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

daripada fakta bahawa $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ adalah nombor nyata tidak negatif dan $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ untuk setiap $k = 0,\ldots,n-1.$ (Mengkuasaduakan nombor antara $0$ dan $1$ tidak pernah menjadikannya lebih besar.)

Kini kita boleh membuktikan lema pengukuran lembut dengan menilai kesetiaan dan kemudian menggunakan ketaksamaan kita. Pertama, mari kita permudahkan ungkapan yang kita minati.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Perhatikan bahawa semua ini adalah kesaksamaan — kita belum menggunakan ketaksamaan kita (atau ketaksamaan lain) pada ketika ini, jadi kita mempunyai ungkapan tepat untuk kesetiaan. Kita kini boleh menggunakan ketaksamaan kita untuk menyimpulkan

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

dan oleh itu, dengan mengkuasaduakan kedua-dua belah,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorem Uhlmann

Untuk mengakhiri pelajaran, kita akan melihat teorem Uhlmann, yang merupakan fakta asas tentang kesetiaan yang menghubungkannya dengan konsep penulenan. Apa yang teorem ini katakan, dalam istilah mudah, ialah kesetiaan antara dua keadaan kuantum adalah sama dengan maksimum hasil darab dalam (dalam nilai mutlak) antara dua penulenan keadaan tersebut.

Teorem

Teorem Uhlmann: Biar $\rho$ dan $\sigma$ menjadi matriks ketumpatan yang mewakili keadaan sistem $\mathsf{X},$ dan biar $\mathsf{Y}$ menjadi sistem yang mempunyai sekurang-kurangnya keadaan klasikal sebanyak $\mathsf{X}.$ Kesetiaan antara $\rho$ dan $\sigma$ diberikan oleh

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

di mana maksimum diambil ke atas semua vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ bagi $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Kita boleh membuktikan teorem ini menggunakan kesetaraan unitar penulenan — tetapi ia tidak sepenuhnya mudah dan kita akan menggunakan helah sepanjang jalan.

Untuk bermula, pertimbangkan penguraian spektrum bagi dua matriks ketumpatan $\rho$ dan $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Kedua-dua koleksi $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ dan $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ adalah asas ortonormal bagi vektor eigen $\rho$ dan $\sigma$ masing-masing, dan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ dan $q_0,\ldots,q_{n-1}$ adalah nilai eigen yang sepadan.

Kita juga akan mentakrifkan $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ dan $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ sebagai vektor yang diperoleh dengan mengambil konjugat kompleks bagi setiap entri $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ dan $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Iaitu, untuk vektor sewenang-wenangnya $\vert w\rangle$ kita boleh mentakrifkan $\vert\overline{w}\rangle$ mengikut persamaan berikut untuk setiap $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Perhatikan bahawa untuk mana-mana dua vektor $\vert u\rangle$ dan $\vert v\rangle$ kita mempunyai $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Secara lebih umum, untuk sebarang matriks persegi $M$ kita mempunyai formula berikut.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Ia mengikuti bahawa $\vert u\rangle$ dan $\vert v\rangle$ adalah ortogon jika dan hanya jika $\vert \overline{u}\rangle$ dan $\vert \overline{v}\rangle$ adalah ortogon, dan oleh itu $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ dan $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ adalah kedua-duanya asas ortonormal.

Kini pertimbangkan dua vektor berikut $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle,$ yang merupakan penulenan $\rho$ dan $\sigma$ masing-masing.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Inilah helah yang dirujuk sebelumnya. Tiada yang menunjukkan secara eksplisit pada ketika ini bahawa adalah idea yang baik untuk membuat pilihan khusus ini untuk penulenan $\rho$ dan $\sigma,$ tetapi ia adalah penulenan yang sah, dan konjugat kompleks akan membolehkan algebra berjalan seperti yang diperlukan.

Berdasarkan kesetaraan unitar penulenan, kita tahu bahawa setiap penulenan $\rho$ untuk pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ mesti berbentuk $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ untuk beberapa matriks unitar $U,$ dan begitu juga setiap penulenan $\sigma$ untuk pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ mesti berbentuk $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ untuk beberapa matriks unitar $V.$ Hasil darab dalam bagi dua penulenan tersebut boleh dipermudahkan seperti berikut.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Apabila $U$ dan $V$ menjangkau semua matriks unitar yang mungkin, matriks $(U^{\dagger} V)^T$ juga menjangkau semua matriks unitar yang mungkin. Oleh itu, memaksimumkan nilai mutlak hasil darab dalam bagi dua penulenan $\rho$ dan $\sigma$ menghasilkan persamaan berikut.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Tinjauan pasca-kursus

Tahniah kerana melengkapkan kursus ini! Sila luangkan masa untuk membantu kami memperbaiki kursus kami dengan mengisi tinjauan ringkas berikut. Maklum balas anda akan digunakan untuk meningkatkan tawaran kandungan dan pengalaman pengguna kami. Terima kasih!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.