Keluarga kod yang lain

Sudah lebih 25 tahun sejak kod torik ditemui, dan banyak penyelidikan telah dilakukan dalam bidang kod pembetulan ralat kuantum sejak itu, termasuk penemuan kod kuantum topologi lain yang terinspirasi daripada kod torik, serta kod yang berasaskan idea yang berbeza. Senarai lengkap semua pembinaan kod pembetulan ralat kuantum yang diketahui adalah mustahil untuk disertakan di sini — tetapi kita akan menyentuh sedikit untuk melihat sebentar beberapa contoh yang menonjol.

Kod permukaan

Sebenarnya, kod torik tidak semestinya mempunyai sempadan berkala. Maksudnya, kita boleh memotong sebahagian daripada kod torik dan meleperkannya pada permukaan dua dimensi, bukan torus, untuk mendapatkan kod pembetulan ralat kuantum — asalkan penjana penstabilan pada tepi ditakrifkan dengan betul. Apa yang kita perolehi dipanggil kod permukaan.

Sebagai contoh, berikut adalah gambar rajah kod permukaan, di mana kekisi dipotong dengan apa yang dipanggil tepi kasar di bahagian atas dan bawah serta tepi licin di bahagian sisi. Kes tepi untuk penjana penstabilan ditakrifkan secara semula jadi, iaitu operasi Pauli pada qubit yang "tiada" hanya ditinggalkan.

Kod permukaan dalam bentuk ini mengekod satu qubit, bukan dua seperti kod torik. Penjana penstabilan kebetulannya membentuk set penjanaan minimum dalam kes ini, tanpa perlu membuang satu daripada setiap jenis seperti dengan kod torik. Namun begitu, walaupun ada perbezaan ini, ciri-ciri penting kod torik diwarisi. Khususnya, ralat tidak terkesan yang tidak remeh untuk kod ini sepadan dengan rantaian ralat yang sama ada memanjang dari tepi kiri ke tepi kanan (untuk rantaian ralat $X$) atau dari atas ke bawah (untuk rantaian ralat $Z$).

Adalah juga mungkin untuk memotong tepi kod permukaan secara pepenjuru untuk mendapatkan apa yang kadang-kadang dipanggil kod permukaan dipusingkan, yang dinamakan bukan kerana kod itu dipusingkan dalam erti kata yang bermakna, tetapi kerana gambar rajahnya dipusingkan (sebanyak 45 darjah). Sebagai contoh, berikut adalah gambar rajah kod permukaan dipusingkan dengan jarak 5.

Untuk jenis gambar rajah ini, jubin hitam (termasuk yang bulat di tepi) menunjukkan penjana penstabilan $X$, di mana operasi $X$ dikenakan pada verteks (dua atau empat) setiap jubin, manakala jubin putih mewakili penjana penstabilan $Z$. Kod permukaan dipusingkan mempunyai sifat yang serupa dengan kod permukaan (tidak dipusingkan), tetapi lebih ekonomi dari segi bilangan qubit yang digunakan.

Kod warna

Kod warna adalah kelas kod yang menarik lagi, yang juga tergolong dalam kategori umum kod kuantum topologi. Ia hanya akan dihuraikan secara ringkas di sini.

Satu cara untuk memahami kod warna ialah dengan melihatnya sebagai generalisasi geometri kod Steane 7-qubit. Dengan fikiran ini, mari kita pertimbangkan semula kod Steane 7-qubit, dan andaikan bahawa tujuh qubit dinamakan dan disusun menggunakan konvensyen penomboran Qiskit sebagai $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ Ingat bahawa penjana penstabilan untuk kod ini adalah seperti berikut.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Jika kita mengaitkan tujuh qubit ini dengan verteks graf berikut, kita dapati bahawa penjana penstabilan sepadan tepat dengan muka yang dibentuk oleh tepi graf.

Iaitu, untuk setiap muka, terdapat penjana penstabilan $Z$ dan penjana penstabilan $X$ yang bertindak secara bukan remeh pada qubit yang terdapat di verteks muka tersebut. Kod Steane 7-qubit oleh itu mempunyai lokaliti geometri, jadi pada dasarnya tidak perlu memindahkan qubit merentasi jarak jauh untuk mengukur penjana penstabilan. Hakikat bahawa penjana penstabilan $Z$ dan $X$ sentiasa bertindak secara bukan remeh pada tepat set qubit yang sama juga bagus atas sebab yang berkaitan dengan pengkomputeran kuantum tahan-rosak, yang merupakan topik untuk pelajaran seterusnya.

Kod warna adalah kod pembetulan ralat kuantum (kod CSS untuk lebih tepat) yang mengeneralisasikan corak asas ini, kecuali bahawa graf asasnya mungkin berbeza. Sebagai contoh, berikut adalah graf dengan 19 verteks yang berfungsi. Ia mentakrifkan kod yang mengekod satu qubit ke dalam 19 qubit dan mempunyai jarak 5 (iaitu, ia adalah kod penstabilan $[[19,1,5]]$).

Ini boleh dilakukan dengan banyak graf lain, termasuk keluarga graf yang membesar dalam saiz dan mempunyai struktur yang menarik.

Kod warna dinamakan demikian kerana salah satu syarat yang diperlukan pada graf yang mentakrifkannya ialah muka-mukanya boleh diberi tiga warna, bermakna setiap muka boleh ditetapkan salah satu daripada tiga warna sedemikian rupa sehingga tiada dua muka dengan warna yang sama berkongsi tepi (seperti yang ada dalam gambar rajah sebelumnya). Warna-warna sebenarnya tidak penting untuk takrifan kod itu sendiri — sentiasa ada penjana penstabilan $Z$ dan $X$ untuk setiap muka, tanpa mengira warnanya — tetapi warna-warna itu penting untuk menganalisis bagaimana kod berfungsi.

Kod lain

Pembetulan ralat kuantum adalah bidang penyelidikan yang aktif dan berkembang pesat. Mereka yang berminat untuk meneroka lebih dalam mungkin ingin merujuk kepada Error Correction Zoo, yang menyenaraikan banyak contoh dan pengkategorian kod pembetulan ralat kuantum.

Contoh: Kod gross

Kod gross adalah kod penstabilan $[[144,12,12]]$ yang baru-baru ini ditemui. Ia serupa dengan kod torik, kecuali setiap penjana penstabilan bertindak secara bukan remeh pada dua qubit tambahan, sedikit lebih jauh dari jubin atau verteks untuk penjana tersebut (jadi setiap penjana penstabilan mempunyai berat 6). Kelebihan kod ini ialah ia boleh mengekod 12 qubit, berbanding hanya dua untuk kod torik.