Maklumat kuantum

Sekarang kita bersedia untuk beralih kepada maklumat kuantum, di mana kita membuat pilihan yang berbeza untuk jenis vektor yang mewakili keadaan — dalam kes ini keadaan kuantum — sistem yang sedang dipertimbangkan. Seperti dalam perbincangan sebelumnya tentang maklumat klasikal, kita akan berhadapan dengan sistem yang mempunyai set keadaan klasikal yang terhingga dan tidak kosong, dan kita akan menggunakan banyak notasi yang sama.

Vektor keadaan kuantum

Keadaan kuantum sesebuah sistem diwakili oleh vektor lajur, serupa dengan keadaan kebarangkalian. Seperti sebelumnya, indeks vektor melabelkan keadaan klasikal sistem. Vektor yang mewakili keadaan kuantum dicirikan oleh dua sifat ini:

1. Entri-entri vektor keadaan kuantum adalah nombor kompleks.
2. Hasil tambah nilai mutlak kuasa dua bagi entri-entri vektor keadaan kuantum adalah $1.$

Jadi, berbeza dengan keadaan kebarangkalian, vektor yang mewakili keadaan kuantum tidak perlu mempunyai entri nombor nyata tak negatif, dan ia adalah hasil tambah nilai mutlak kuasa dua entri-entri (berbanding hasil tambah entri-entri) yang mesti bersamaan $1.$ Sesederhana perubahan-perubahan ini, ia membangkitkan perbezaan antara maklumat kuantum dan klasikal; mana-mana kelajuan dari komputer kuantum, atau penambahbaikan daripada protokol komunikasi kuantum, akhirnya terbit daripada perubahan matematik yang mudah ini.

Norma Euclidean bagi vektor lajur

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

dinotasikan dan ditakrifkan seperti berikut:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Syarat bahawa hasil tambah nilai mutlak kuasa dua bagi vektor keadaan kuantum sama dengan $1$ oleh itu bersamaan dengan vektor tersebut mempunyai norma Euclidean sama dengan $1.$ Iaitu, vektor keadaan kuantum adalah vektor unit berkenaan norma Euclidean.

Contoh keadaan qubit

Istilah qubit merujuk kepada sistem kuantum yang set keadaan klasikalnya ialah $\{0,1\}.$ Iaitu, qubit sebenarnya hanyalah sebuah bit — tetapi dengan menggunakan nama ini kita secara eksplisit mengakui bahawa bit ini boleh berada dalam keadaan kuantum.

Berikut adalah contoh-contoh keadaan kuantum bagi sebuah qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{dan}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

dan

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Dua contoh pertama, $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle,$ mengilustrasikan bahawa elemen asas piawai adalah vektor keadaan kuantum yang sah: entri-entrinya adalah nombor kompleks, di mana bahagian imaginer nombor-nombor ini semuanya kebetulan $0,$ dan mengira hasil tambah nilai mutlak kuasa dua entri-entri menghasilkan

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{dan}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

seperti yang diperlukan. Serupa dengan tetapan klasikal, kita mengaitkan vektor keadaan kuantum $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$ dengan qubit yang berada dalam keadaan klasikal $0$ dan $1,$ masing-masing.

Untuk dua contoh lain, kita sekali lagi mempunyai entri nombor kompleks, dan mengira hasil tambah nilai mutlak kuasa dua entri-entri menghasilkan

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

dan

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Oleh itu ia adalah vektor keadaan kuantum yang sah. Perhatikan bahawa ia adalah gabungan linear bagi keadaan asas piawai $\vert 0 \rangle$ dan $\vert 1 \rangle,$ dan atas sebab ini kita sering berkata ia adalah superposisi keadaan $0$ dan $1.$ Dalam konteks keadaan kuantum, superposisi dan gabungan linear pada dasarnya adalah sinonim.

Contoh $(1)$ vektor keadaan qubit di atas sangat kerap dijumpai — ia dipanggil keadaan plus dan dinotasikan seperti berikut:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Kita juga menggunakan notasi

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

untuk merujuk vektor keadaan kuantum yang berkaitan di mana entri kedua adalah negatif dan bukannya positif, dan kita memanggil keadaan ini keadaan minus.

Jenis notasi ini, di mana simbol selain daripada yang merujuk kepada keadaan klasikal muncul di dalam ket, adalah biasa — kita boleh menggunakan apa-apa nama yang kita mahukan di dalam ket untuk menamakan vektor. Adalah sangat biasa untuk menggunakan notasi $\vert\psi\rangle,$ atau nama lain sebagai ganti $\psi,$ untuk merujuk vektor sewenang-wenangnya yang mungkin bukan merupakan vektor asas piawai.

Perhatikan bahawa, jika kita mempunyai vektor $\vert \psi \rangle$ yang indeksnya sepadan dengan set keadaan klasikal $\Sigma,$ dan jika $a\in\Sigma$ adalah elemen set keadaan klasikal ini, maka hasil darab matriks $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ adalah sama dengan entri vektor $\vert \psi \rangle$ yang indeksnya sepadan dengan $a.$ Seperti yang kita lakukan apabila $\vert \psi \rangle$ adalah vektor asas piawai, kita menulis $\langle a \vert \psi \rangle$ dan bukannya $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ demi kebolehbacaan.

Sebagai contoh, jika $\Sigma = \{0,1\}$ dan

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

maka

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{dan}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Secara umum, apabila menggunakan notasi Dirac untuk vektor sewenang-wenangnya, notasi $\langle \psi \vert$ merujuk kepada vektor baris yang diperoleh dengan mengambil transpos konjugat bagi vektor lajur $\vert\psi\rangle,$ di mana vektor dipindah urus daripada vektor lajur kepada vektor baris dan setiap entri digantikan dengan konjugat kompleksnya. Sebagai contoh, jika $\vert\psi\rangle$ adalah vektor yang ditakrifkan dalam $(2),$ maka

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Sebab kita mengambil konjugat kompleks, selain transpos, akan menjadi lebih jelas kemudian apabila kita membincangkan hasil darab dalam.

Keadaan kuantum sistem lain

Kita boleh mempertimbangkan keadaan kuantum sistem yang mempunyai set keadaan klasikal yang sewenang-wenangnya. Sebagai contoh, berikut adalah vektor keadaan kuantum bagi suis kipas elektrik:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Andaian di sini ialah keadaan klasikal disusun sebagai tinggi, sederhana, rendah, mati. Mungkin tiada sebab tertentu mengapa seseorang ingin mempertimbangkan keadaan kuantum suis kipas elektrik, tetapi ia mungkin secara prinsipnya.

Berikut adalah contoh lain, kali ini bagi digit perpuluhan kuantum yang keadaan klasikalnya ialah $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Contoh ini mengilustrasikan kemudahan menulis vektor keadaan menggunakan notasi Dirac. Untuk contoh tertentu ini, perwakilan vektor lajur hanyalah menyusahkan — tetapi jika terdapat lebih banyak lagi keadaan klasikal ia akan menjadi tidak boleh guna. Notasi Dirac, sebaliknya, menyokong penerangan tepat bagi vektor yang besar dan rumit dalam bentuk yang padat.

Notasi Dirac juga membolehkan ungkapan vektor di mana aspek-aspek berbeza vektor adalah tidak ditentukan, bermakna ia tidak diketahui atau belum ditetapkan. Sebagai contoh, untuk set keadaan klasikal $\Sigma$ yang sewenang-wenangnya, kita boleh mempertimbangkan vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

di mana notasi $\sqrt{|\Sigma|}$ merujuk kepada norma Euclidean bagi $\Sigma,$ dan $\vert\Sigma\vert$ dalam kes ini hanyalah bilangan elemen dalam $\Sigma.$ Dalam kata-kata, ini adalah superposisi seragam ke atas keadaan klasikal dalam $\Sigma.$

Kita akan menemui ungkapan yang jauh lebih rumit bagi vektor keadaan kuantum dalam pelajaran kemudian, di mana penggunaan vektor lajur akan menjadi tidak praktikal atau mustahil. Malah, kita kebanyakannya akan meninggalkan perwakilan vektor lajur bagi vektor keadaan, kecuali untuk vektor yang mempunyai bilangan entri yang kecil (selalunya dalam konteks contoh), di mana mungkin membantu untuk memaparkan dan memeriksa entri-entri secara eksplisit.

Berikut adalah satu lagi sebab mengapa menyatakan vektor keadaan menggunakan notasi Dirac adalah mudah: ia mengurangkan keperluan untuk menentukan secara eksplisit susunan keadaan klasikal (atau, setaranya, koresponden antara keadaan klasikal dan indeks vektor).

Sebagai contoh, vektor keadaan kuantum bagi sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ seperti

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

diterangkan dengan jelas oleh ungkapan ini, dan sebenarnya tidak perlu memilih atau menentukan susunan set keadaan klasikal ini untuk memahami ungkapan tersebut. Dalam kes ini, tidak sukar untuk menentukan susunan suit kad piawai — sebagai contoh, kita mungkin memilih untuk menyusunnya seperti ini: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Jika kita memilih susunan tertentu ini, vektor keadaan kuantum di atas akan diwakili oleh vektor lajur

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Secara umum, bagaimanapun, adalah mudah untuk boleh mengabaikan isu bagaimana set keadaan klasikal disusun.

Mengukur keadaan kuantum

Seterusnya marilah kita pertimbangkan apa yang berlaku apabila keadaan kuantum diukur, memberi tumpuan kepada jenis pengukuran yang mudah yang dikenali sebagai pengukuran asas piawai. (Terdapat tanggapan pengukuran yang lebih umum yang akan kita bincangkan kemudian.)

Serupa dengan tetapan kebarangkalian, apabila sistem dalam keadaan kuantum diukur, pemerhati hipotetikal yang melakukan pengukuran tidak akan melihat vektor keadaan kuantum, tetapi sebaliknya akan melihat suatu keadaan klasikal. Dalam ertikata ini, pengukuran bertindak sebagai antara muka antara maklumat kuantum dan klasikal, melalui mana maklumat klasikal diekstrak daripada keadaan kuantum.

Peraturannya mudah: jika keadaan kuantum diukur, setiap keadaan klasikal sistem muncul dengan kebarangkalian sama dengan nilai mutlak kuasa dua entri dalam vektor keadaan kuantum yang sepadan dengan keadaan klasikal tersebut. Ini dikenali sebagai peraturan Born dalam mekanik kuantum. Perhatikan bahawa peraturan ini konsisten dengan keperluan bahawa nilai mutlak kuasa dua entri dalam vektor keadaan kuantum berjumlah $1,$ kerana ia menunjukkan bahawa kebarangkalian keputusan pengukuran keadaan klasikal yang berbeza berjumlah $1.$

Sebagai contoh, mengukur keadaan plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

menghasilkan dua keputusan yang mungkin, $0$ dan $1,$ dengan kebarangkalian seperti berikut.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Menariknya, mengukur keadaan minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

menghasilkan tepat kebarangkalian yang sama untuk kedua-dua keputusan.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Ini menunjukkan bahawa, sejauh pengukuran asas piawai berkenaan, keadaan plus dan minus tidak ada bezanya. Mengapa, kemudiannya, kita perlu membuat perbezaan antara keduanya? Jawapannya ialah kedua-dua keadaan ini berkelakuan berbeza apabila operasi dilakukan ke atasnya, seperti yang akan kita bincangkan dalam subseksyen berikutnya.

Tentulah, mengukur keadaan kuantum $\vert 0\rangle$ menghasilkan keadaan klasikal $0$ dengan pasti, dan begitu juga mengukur keadaan kuantum $\vert 1\rangle$ menghasilkan keadaan klasikal $1$ dengan pasti. Ini konsisten dengan pengenalan keadaan-keadaan kuantum ini dengan sistem yang berada dalam keadaan klasikal yang sepadan, seperti yang dicadangkan sebelumnya.

Sebagai contoh terakhir, mengukur keadaan

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

menyebabkan dua keputusan yang mungkin muncul dengan kebarangkalian seperti berikut:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

dan

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operasi unitari

Setakat ini, mungkin tidak jelas mengapa maklumat kuantum pada dasarnya berbeza daripada maklumat klasikal. Iaitu, apabila keadaan kuantum diukur, kebarangkalian untuk mendapat setiap keadaan klasikal diberikan oleh nilai mutlak kuasa dua entri vektor yang sepadan — jadi kenapa tidak sekadar merekod kebarangkalian-kebarangkalian ini dalam vektor kebarangkalian?

Jawapannya, sekurang-kurangnya sebahagiannya, ialah set operasi yang dibenarkan yang boleh dilakukan ke atas keadaan kuantum adalah berbeza daripada maklumat klasikal. Serupa dengan tetapan kebarangkalian, operasi ke atas keadaan kuantum adalah pemetaan linear — tetapi berbanding diwakili oleh matriks stokastik, seperti dalam kes klasikal, operasi ke atas vektor keadaan kuantum diwakili oleh matriks unitari.

Matriks segi empat sama $U$ yang mempunyai entri nombor kompleks adalah unitari jika ia memenuhi persamaan

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Di sini, $\mathbb{I}$ adalah matriks identiti, dan $U^{\dagger}$ adalah transpos konjugat bagi $U,$ bermakna matriks yang diperoleh dengan memindah urus $U$ dan mengambil konjugat kompleks setiap entri.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Jika salah satu daripada dua persamaan bernombor $(3)$ di atas adalah benar, maka yang lain juga mesti benar. Kedua-dua persamaan adalah bersamaan dengan $U^{\dagger}$ sebagai songsangan bagi $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Amaran: jika $M$ bukan matriks segi empat sama, maka mungkin $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ dan $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ sebagai contoh. Kesetaraan dua persamaan dalam persamaan pertama di atas hanya benar untuk matriks segi empat sama.)

Syarat bahawa $U$ adalah unitari bersamaan dengan syarat bahawa pendaraban dengan $U$ tidak mengubah norma Euclidean mana-mana vektor. Iaitu, matriks $n\times n$ $U$ adalah unitari jika dan hanya jika $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ untuk setiap vektor lajur $n$-dimensi $\vert \psi \rangle$ dengan entri nombor kompleks. Oleh itu, kerana set semua vektor keadaan kuantum adalah sama dengan set vektor yang mempunyai norma Euclidean sama dengan $1,$ mendarabkan matriks unitari kepada vektor keadaan kuantum menghasilkan vektor keadaan kuantum yang lain.

Memang, matriks unitari adalah tepat set pemetaan linear yang sentiasa mentransformasikan vektor keadaan kuantum kepada vektor keadaan kuantum yang lain. Perhatikan di sini persamaan dengan kes kebarangkalian klasikal di mana operasi dikaitkan dengan matriks stokastik, yang merupakan matriks yang sentiasa mentransformasikan vektor kebarangkalian kepada vektor kebarangkalian.

Contoh operasi unitari ke atas qubit

Senarai berikut menerangkan beberapa operasi unitari yang kerap dijumpai ke atas qubit.

1. Operasi Pauli. Empat matriks Pauli adalah seperti berikut:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Notasi alternatif yang biasa ialah $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ dan $Z = \sigma_z$ (tetapi sedar bahawa huruf $X,$ $Y,$ dan $Z$ juga biasa digunakan untuk tujuan lain). Operasi $X$ juga dipanggil pembalik bit atau operasi NOT kerana ia menimbulkan tindakan ini ke atas bit:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{dan} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Operasi $Z$ juga dipanggil pembalik fasa, dan ia mempunyai tindakan ini:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{dan} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operasi Hadamard. Operasi Hadamard diterangkan oleh matriks ini:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operasi fasa. Operasi fasa ialah yang diterangkan oleh matriks

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   untuk mana-mana pilihan nombor nyata $\theta.$ Operasi-operasi

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{dan} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   adalah contoh yang amat penting. Contoh lain termasuk $\mathbb{I} = P_0$ dan $Z = P_{\pi}.$

Semua matriks yang baru ditakrifkan adalah unitari, dan oleh itu mewakili operasi kuantum ke atas qubit tunggal. Sebagai contoh, berikut adalah pengiraan yang mengesahkan bahawa $H$ adalah unitari:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Dan berikut adalah tindakan operasi Hadamard ke atas beberapa vektor keadaan qubit yang kerap dijumpai.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Secara lebih ringkas, kita mendapat empat persamaan ini.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Adalah berbaloi untuk berhenti sebentar dan mempertimbangkan fakta bahawa $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ dan $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ berkenaan soalan yang dicadangkan dalam subseksyen sebelumnya mengenai perbezaan antara keadaan $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle.$

Bayangkan situasi di mana qubit disediakan dalam salah satu daripada dua keadaan kuantum $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle,$ tetapi kita tidak tahu yang mana. Mengukur sama ada keadaan menghasilkan taburan output yang sama seperti yang lain, seperti yang telah kita perhatikan: $0$ dan $1$ kedua-duanya muncul dengan kebarangkalian yang sama $1/2,$ yang tidak memberikan maklumat langsung tentang keadaan mana yang telah disediakan.

Walau bagaimanapun, jika kita pertama mengaplikasikan operasi Hadamard dan kemudian mengukur, kita mendapat keputusan $0$ dengan pasti jika keadaan asal ialah $\vert {+} \rangle,$ dan kita mendapat keputusan $1,$ sekali lagi dengan pasti, jika keadaan asal ialah $\vert {-} \rangle.$ Keadaan kuantum $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle$ oleh itu boleh dibezakan dengan sempurna. Ini mendedahkan bahawa perubahan tanda, atau lebih umum perubahan kepada fasa (yang juga secara tradisinya dipanggil argumen) bagi entri nombor kompleks vektor keadaan kuantum, boleh mengubah keadaan tersebut dengan ketara.

Berikut adalah contoh lain, menunjukkan bagaimana operasi Hadamard bertindak ke atas vektor keadaan yang disebutkan sebelumnya.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Seterusnya, marilah kita pertimbangkan tindakan operasi $T$ ke atas keadaan plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Perhatikan di sini bahawa kita tidak bersusah payah menukar kepada bentuk matriks/vektor yang setara, dan sebaliknya menggunakan kelinearan pendaraban matriks bersama-sama dengan formula

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{dan}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Dalam nada yang sama, kita boleh mengira hasil mengaplikasikan operasi Hadamard kepada vektor keadaan kuantum yang baru diperoleh:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Kedua-dua pendekatan — satu di mana kita secara eksplisit menukar kepada perwakilan matriks dan satu lagi di mana kita menggunakan kelinearan dan memasukkan tindakan operasi ke atas keadaan asas piawai — adalah setara. Kita boleh menggunakan mana-mana yang lebih mudah dalam kes yang ada.

Komposisi operasi unitari qubit

Komposisi operasi unitari diwakili oleh pendaraban matriks, seperti yang kita ada dalam tetapan kebarangkalian.

Sebagai contoh, andaikan kita pertama mengaplikasikan operasi Hadamard, diikuti dengan operasi $S,$ diikuti dengan operasi Hadamard yang lain. Operasi yang terhasil, yang akan kita namakan $R$ untuk tujuan contoh ini, adalah seperti berikut:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Operasi unitari $R$ ini adalah contoh yang menarik. Dengan mengaplikasikan operasi ini dua kali, yang bersamaan dengan mengkuasakan perwakilan matriksnya, kita mendapat operasi NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Iaitu, $R$ adalah operasi punca kuasa dua NOT. Tingkah laku sedemikian, di mana operasi yang sama diaplikasikan dua kali untuk menghasilkan operasi NOT, tidak mungkin bagi operasi klasikal ke atas bit tunggal.

Operasi unitari ke atas sistem yang lebih besar

Dalam pelajaran-pelajaran berikutnya, kita akan melihat banyak contoh operasi unitari ke atas sistem yang mempunyai lebih daripada dua keadaan klasikal. Contoh operasi unitari ke atas sistem yang mempunyai tiga keadaan klasikal diberikan oleh matriks berikut.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Dengan menganggap bahawa keadaan klasikal sistem ialah $0,$ $1,$ dan $2,$ kita boleh menerangkan operasi ini sebagai penambahan modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{dan}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Matriks $A$ adalah contoh matriks permutasi, iaitu matriks di mana setiap baris dan lajur mempunyai tepat satu $1.$ Matriks sedemikian hanya menyusun semula, atau mempermutasikan, entri-entri vektor yang bertindak ke atasnya. Matriks identiti mungkin merupakan contoh paling mudah matriks permutasi, dan contoh lain ialah operasi NOT ke atas bit atau qubit. Setiap matriks permutasi, dalam dimensi integer positif mana pun, adalah unitari. Ini adalah satu-satunya contoh matriks yang mewakili kedua-dua operasi klasikal dan kuantum: sebuah matriks adalah kedua-duanya stokastik dan unitari jika dan hanya jika ia adalah matriks permutasi.

Contoh lain matriks unitari, kali ini matriks $4\times 4,$ ialah yang ini:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Matriks ini menerangkan operasi yang dikenali sebagai jelmaan Fourier kuantum, khususnya dalam kes $4\times 4.$ Jelmaan Fourier kuantum boleh ditakrifkan secara lebih umum, untuk mana-mana dimensi integer positif $n,$ dan memainkan peranan utama dalam algoritma kuantum.