Maklumat klasikal

Untuk menerangkan maklumat kuantum dan cara ia berfungsi, kita akan mulakan dengan gambaran keseluruhan maklumat klasikal. Mungkin pelik kenapa begitu banyak perhatian diberikan kepada maklumat klasikal dalam kursus tentang maklumat kuantum, tapi sebenarnya ada sebab yang kukuh.

Pertama, walaupun maklumat kuantum dan klasikal berbeza dalam beberapa cara yang menakjubkan, penerangan matematik mereka sebenarnya agak serupa. Maklumat klasikal juga berfungsi sebagai titik rujukan yang biasa kita kenali apabila mengkaji maklumat kuantum, serta sumber analogi yang berguna dengan mengejutkan. Adalah perkara biasa bagi orang bertanya soalan tentang maklumat kuantum yang mempunyai analogi klasikal yang semula jadi, dan selalunya soalan-soalan tersebut mempunyai jawapan mudah yang dapat memberikan kejelasan dan pemahaman terhadap soalan asal tentang maklumat kuantum. Memang tidak keterlaluan untuk mendakwa bahawa seseorang tidak boleh benar-benar memahami maklumat kuantum tanpa memahami maklumat klasikal.

Sesetengah pembaca mungkin sudah biasa dengan bahan yang akan dibincangkan dalam bahagian ini, manakala yang lain mungkin tidak — tapi perbincangan ini ditujukan untuk kedua-dua kumpulan. Selain menonjolkan aspek-aspek maklumat klasikal yang paling relevan dengan pengenalan kepada maklumat kuantum, bahagian ini memperkenalkan notasi Dirac, yang sering digunakan untuk menerangkan vektor dan matriks dalam maklumat dan pengiraan kuantum. Rupanya, notasi Dirac bukan khusus untuk maklumat kuantum; ia boleh digunakan sama baiknya dalam konteks maklumat klasikal, serta untuk banyak tetapan lain di mana vektor dan matriks muncul.

Keadaan klasikal dan vektor kebarangkalian

Andaikan kita mempunyai sebuah sistem yang menyimpan maklumat. Lebih khusus lagi, kita akan menganggap bahawa sistem ini boleh berada dalam salah satu daripada bilangan terhingga keadaan klasikal pada setiap masa. Di sini, istilah keadaan klasikal harus difahami secara intuitif, sebagai konfigurasi yang boleh dikenali dan diterangkan tanpa kekaburan.

Contoh yang paling asas, yang akan kita kembali berulang kali, ialah bit, iaitu sistem yang keadaan klasikalnya adalah $0$ dan $1.$ Contoh lain termasuk dadu enam sisi biasa, yang keadaan klasikalnya ialah $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ dan $6$ (diwakili oleh bilangan titik yang bersesuaian pada muka yang berada di atas); bes nukleo dalam untaian DNA, yang keadaan klasikalnya ialah A, C, G, dan T; dan suis pada kipas elektrik, yang keadaan klasikalnya adalah (biasanya) tinggi, sederhana, rendah, dan mati. Dalam istilah matematik, spesifikasi keadaan klasikal sesebuah sistem sebenarnya merupakan titik permulaan: kita mentakrifkan bit sebagai sistem yang mempunyai keadaan klasikal $0$ dan $1,$ begitu juga untuk sistem yang mempunyai set keadaan klasikal yang berbeza.

Untuk tujuan perbincangan ini, marilah kita berikan nama $\mathsf{X}$ kepada sistem yang sedang dipertimbangkan, dan marilah kita gunakan simbol $\Sigma$ untuk merujuk kepada set keadaan klasikal bagi $\mathsf{X}.$ Selain andaian bahawa $\Sigma$ adalah terhingga, yang telah disebutkan, kita secara semula jadi menganggap bahawa $\Sigma$ adalah tidak kosong — kerana tidak masuk akal bagi sebuah sistem fizikal untuk tidak mempunyai keadaan langsung. Dan walaupun memang masuk akal untuk mempertimbangkan sistem fizikal yang mempunyai infiniti banyak keadaan klasikal, kita akan mengabaikan kemungkinan ini, yang memang menarik tetapi tidak relevan dengan kursus ini. Atas sebab-sebab ini, dan demi kemudahan dan keringkasan, kita akan menggunakan istilah set keadaan klasikal bermaksud mana-mana set yang terhingga dan tidak kosong.

Berikut adalah beberapa contoh:

1. Jika $\mathsf{X}$ adalah sebuah bit, maka $\Sigma = \{0,1\}.$ Dalam kata-kata, kita merujuk set ini sebagai abjad perduaan.
2. Jika $\mathsf{X}$ adalah dadu enam sisi, maka $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. Jika $\mathsf{X}$ adalah suis kipas elektrik, maka $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

Apabila memikirkan $\mathsf{X}$ sebagai pembawa maklumat, keadaan klasikal yang berbeza bagi $\mathsf{X}$ boleh diberikan makna tertentu, membawa kepada keputusan atau akibat yang berbeza. Dalam kes sedemikian, mungkin sudah mencukupi untuk menerangkan $\mathsf{X}$ sebagai berada dalam salah satu keadaan klasikal yang mungkin. Sebagai contoh, jika $\mathsf{X}$ adalah suis kipas, kita mungkin tahu dengan pasti bahawa ia ditetapkan pada tinggi, yang kemudiannya mungkin mendorong kita untuk menukarnya kepada sederhana.

Walau bagaimanapun, dalam pemprosesan maklumat, pengetahuan kita selalunya tidak pasti. Satu cara untuk mewakili pengetahuan kita tentang keadaan klasikal sistem $\mathsf{X}$ adalah dengan mengaitkan kebarangkalian kepada pelbagai keadaan klasikal yang mungkin, menghasilkan apa yang kita sebut sebagai keadaan kebarangkalian.

Sebagai contoh, andaikan $\mathsf{X}$ adalah sebuah bit. Berdasarkan apa yang kita tahu atau jangkakan tentang apa yang telah berlaku kepada $\mathsf{X}$ di masa lalu, kita mungkin percaya bahawa $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan klasikal $0$ dengan kebarangkalian $3/4$ dan dalam keadaan $1$ dengan kebarangkalian $1/4.$ Kita boleh mewakili kepercayaan ini dengan menulis ini:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{dan}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

Cara yang lebih ringkas untuk mewakili keadaan kebarangkalian ini ialah melalui vektor lajur.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Kebarangkalian bit berada pada $0$ diletakkan di bahagian atas vektor dan kebarangkalian bit berada pada $1$ diletakkan di bahagian bawah, kerana inilah cara konvensional untuk menyusun set $\{0,1\}.$

Secara umumnya, kita boleh mewakili keadaan kebarangkalian bagi sistem yang mempunyai mana-mana set keadaan klasikal dengan cara yang sama, sebagai vektor kebarangkalian. Kebarangkalian boleh disusun mengikut mana-mana cara yang kita pilih, tetapi biasanya terdapat cara yang semula jadi atau lalai untuk melakukan ini. Untuk lebih tepat, kita boleh mewakili mana-mana keadaan kebarangkalian melalui vektor lajur yang memenuhi dua sifat:

1. Semua entri vektor adalah nombor nyata tak negatif.
2. Hasil tambah entri-entri adalah sama dengan $1.$

Sebaliknya, mana-mana vektor lajur yang memenuhi kedua-dua sifat ini boleh diambil sebagai perwakilan keadaan kebarangkalian. Mulai sekarang, kita akan merujuk vektor dalam bentuk ini sebagai vektor kebarangkalian.

Selain keringkasan notasi ini, mengenal pasti keadaan kebarangkalian sebagai vektor lajur mempunyai kelebihan bahawa operasi pada keadaan kebarangkalian diwakili melalui pendaraban matriks–vektor, seperti yang akan dibincangkan sebentar lagi.

Mengukur keadaan kebarangkalian

Seterusnya marilah kita pertimbangkan apa yang berlaku jika kita mengukur sebuah sistem ketika ia berada dalam keadaan kebarangkalian. Dalam konteks ini, dengan mengukur sebuah sistem kita hanya bermaksud kita melihat sistem tersebut dan mengenal pasti keadaan klasikal yang ada tanpa kekaburan. Secara intuitif, kita tidak boleh "melihat" keadaan kebarangkalian sebuah sistem; apabila kita melihatnya, kita hanya melihat salah satu daripada keadaan klasikal yang mungkin.

Dengan mengukur sebuah sistem, kita juga mungkin mengubah pengetahuan kita tentangnya, dan oleh itu keadaan kebarangkalian yang kita kaitkan dengannya boleh berubah. Iaitu, jika kita mengenal pasti bahawa $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan klasikal $a\in\Sigma,$ maka vektor kebarangkalian baru yang mewakili pengetahuan kita tentang keadaan $\mathsf{X}$ menjadi vektor yang mempunyai $1$ dalam entri yang sepadan dengan $a$ dan $0$ untuk semua entri lain. Vektor ini menunjukkan bahawa $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan klasikal $a$ dengan pasti — yang kita tahu setelah baru saja mengenalinya — dan kita menandai vektor ini sebagai $\vert a\rangle,$ yang dibaca sebagai "ket $a$" atas sebab yang akan dijelaskan sebentar lagi. Vektor jenis ini juga dipanggil vektor asas piawai.

Sebagai contoh, dengan mengandaikan bahawa sistem yang ada dalam fikiran kita adalah sebuah bit, vektor asas piawai diberikan oleh

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

Perhatikan bahawa mana-mana vektor lajur dua dimensi boleh dinyatakan sebagai gabungan linear bagi kedua-dua vektor ini. Sebagai contoh,

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

Fakta ini secara semula jadi digeneralisasikan kepada mana-mana set keadaan klasikal: mana-mana vektor lajur boleh ditulis sebagai gabungan linear bagi keadaan asas piawai. Kita sering menyatakan vektor tepat dengan cara ini.

Kembali kepada perubahan keadaan kebarangkalian setelah diukur, kita mungkin perhatikan hubungan berikut dengan pengalaman harian kita. Andaikan kita membalikkan syiling yang adil, tetapi menutup syiling sebelum melihatnya. Kita kemudiannya akan berkata bahawa keadaan kebarangkaliannya ialah

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

Di sini, set keadaan klasikal syiling kita ialah $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ Kita akan memilih untuk menyusun keadaan-keadaan ini dengan heads dahulu, tails kedua.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

Jika kita membuka syiling dan melihatnya, kita akan melihat salah satu daripada dua keadaan klasikal: heads atau tails. Andaikan hasilnya ialah tails, kita akan secara semula jadi mengemas kini penerangan kita tentang keadaan kebarangkalian syiling supaya ia menjadi $|\text{tails}\rangle.$ Tentulah, jika kita kemudiannya menutup syiling, dan kemudian membuka dan melihatnya semula, keadaan klasikal masih akan menjadi tails, yang konsisten dengan keadaan kebarangkalian yang diterangkan oleh vektor $|\text{tails}\rangle.$

Ini mungkin kelihatan remeh, dan dalam ertikata tertentu memang begitu. Walau bagaimanapun, walaupun sistem kuantum berkelakuan dengan cara yang sepenuhnya analogi, sifat pengukurannya sering dianggap pelik atau luar biasa. Dengan menetapkan sifat-sifat analogi sistem klasikal, cara maklumat kuantum berfungsi mungkin kelihatan kurang luar biasa.

Satu catatan terakhir berkenaan pengukuran keadaan kebarangkalian ialah ini: keadaan kebarangkalian menerangkan pengetahuan atau kepercayaan, bukan semestinya sesuatu yang nyata, dan pengukuran hanya mengubah pengetahuan kita dan bukan sistem itu sendiri. Sebagai contoh, keadaan syiling setelah kita membalikkannya, tetapi sebelum kita melihat, adalah sama ada heads atau tails — kita hanya tidak tahu yang mana satu sehingga kita melihat. Setelah melihat bahawa keadaan klasikal adalah tails, katakanlah, kita akan secara semula jadi mengemas kini vektor yang menerangkan pengetahuan kita kepada $|\text{tails}\rangle,$ tetapi bagi orang lain yang tidak melihat syiling ketika ia dibuka, keadaan kebarangkalian akan kekal tidak berubah. Ini bukan perkara yang perlu dibimbangkan; individu yang berbeza mungkin mempunyai pengetahuan atau kepercayaan yang berbeza tentang sistem tertentu, dan oleh itu menerangkan sistem tersebut dengan vektor kebarangkalian yang berbeza.

Operasi klasikal

Dalam bahagian terakhir ringkasan ringkas maklumat klasikal ini, kita akan mempertimbangkan jenis-jenis operasi yang boleh dilakukan pada sistem klasikal.

Operasi deterministik

Pertama, terdapat operasi deterministik, di mana setiap keadaan klasikal $a\in\Sigma$ ditransformasikan kepada $f(a)$ untuk suatu fungsi $f$ berbentuk $f:\Sigma\rightarrow\Sigma.$

Sebagai contoh, jika $\Sigma = \{0,1\},$ terdapat empat fungsi dalam bentuk ini, $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ dan $f_4,$ yang boleh diwakili oleh jadual nilai seperti berikut:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

Fungsi pertama dan terakhir adalah malar: $f_1(a) = 0$ dan $f_4(a) = 1$ untuk setiap $a\in\Sigma.$ Dua yang di tengah bukan malar, ia adalah seimbang: setiap daripada dua nilai output muncul bilangan yang sama (sekali, dalam kes ini) apabila kita merentasi input yang mungkin. Fungsi $f_2$ adalah fungsi identiti: $f_2(a) = a$ untuk setiap $a\in\Sigma.$ Dan $f_3$ adalah fungsi $f_3(0) = 1$ dan $f_3(1) = 0,$ yang lebih dikenali sebagai fungsi NOT.

Tindakan operasi deterministik ke atas keadaan kebarangkalian boleh diwakili oleh pendaraban matriks-vektor. Khususnya, matriks $M$ yang mewakili fungsi $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ yang diberikan ialah satu yang memenuhi

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

untuk setiap $a\in\Sigma.$ Matriks sedemikian sentiasa wujud dan ditentukan secara unik oleh keperluan ini. Matriks yang mewakili operasi deterministik sentiasa mempunyai tepat satu $1$ dalam setiap lajur, dan $0$ untuk semua entri lain.

Sebagai contoh, matriks $M_1,\ldots,M_4$ yang sepadan dengan fungsi $f_1,\ldots,f_4$ di atas adalah seperti berikut:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Berikut adalah pengesahan ringkas yang menunjukkan bahawa matriks pertama adalah betul. Tiga yang lain boleh diperiksa dengan cara yang sama.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

Cara yang mudah untuk mewakili matriks dalam bentuk-bentuk ini dan bentuk-bentuk lain menggunakan notasi analogi untuk vektor baris kepada vektor lajur yang dibincangkan sebelum ini: kita menandai dengan $\langle a \vert$ vektor baris yang mempunyai $1$ dalam entri yang sepadan dengan $a$ dan sifar untuk semua entri lain, untuk setiap $a\in\Sigma.$ Vektor ini dibaca sebagai "bra $a.$"

Sebagai contoh, jika $\Sigma = \{0,1\},$ maka

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Untuk mana-mana set keadaan klasikal $\Sigma,$ kita boleh melihat vektor baris dan vektor lajur sebagai matriks, dan melakukan pendaraban matriks $\vert b\rangle \langle a\vert.$ Kita mendapat matriks segi empat sama yang mempunyai $1$ dalam entri yang sepadan dengan pasangan $(b,a),$ bermakna baris entri sepadan dengan keadaan klasikal $b$ dan lajur sepadan dengan keadaan klasikal $a,$ dengan $0$ untuk semua entri lain. Sebagai contoh,

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Menggunakan notasi ini, kita boleh menyatakan matriks $M$ yang sepadan dengan mana-mana fungsi $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ yang diberikan sebagai

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi $f_4$ di atas, di mana $\Sigma = \{0,1\}.$ Kita mendapat matriks

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Sebab mengapa ini berfungsi adalah seperti berikut. Jika kita sekali lagi memikirkan vektor sebagai matriks, dan kali ini mempertimbangkan pendaraban $\langle a \vert \vert b \rangle,$ kita mendapat matriks $1\times 1,$ yang boleh kita fikirkan sebagai skalar (iaitu, nombor). Demi kekemasan, kita menulis hasil darab ini sebagai $\langle a \vert b\rangle$ dan bukannya $\langle a \vert \vert b \rangle.$ Hasil darab ini memenuhi formula mudah berikut:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

Menggunakan pemerhatian ini, bersama-sama dengan fakta bahawa pendaraban matriks adalah bersekutu dan linear, kita mendapat

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

untuk setiap $b\in\Sigma,$ yang tepat seperti yang kita perlukan daripada matriks $M.$

Seperti yang akan kita bincangkan dengan lebih terperinci kemudian dalam pelajaran kemudian, $\langle a \vert b \rangle$ juga boleh dilihat sebagai hasil darab dalam antara vektor $\vert a\rangle$ dan $\vert b\rangle.$ Hasil darab dalam sangat penting dalam maklumat kuantum, tetapi kita akan menangguhkan perbincangan tentangnya sehingga ia diperlukan.

Pada titik ini nama "bra" dan "ket" mungkin sudah jelas: meletakkan "bra" $\langle a\vert$ bersama dengan "ket" $\vert b\rangle$ menghasilkan "bracket" $\langle a \vert b\rangle.$ Notasi dan terminologi ini adalah daripada Paul Dirac, dan atas sebab ini dikenali sebagai notasi Dirac.

Operasi kebarangkalian dan matriks stokastik

Selain operasi deterministik, terdapat operasi kebarangkalian.

Sebagai contoh, pertimbangkan operasi berikut ke atas sebuah bit. Jika keadaan klasikal bit itu adalah $0,$ ia dibiarkan; dan jika keadaan klasikal bit itu adalah $1,$ ia dibalik, supaya ia menjadi $0$ dengan kebarangkalian $1/2$ dan $1$ dengan kebarangkalian $1/2.$ Operasi ini diwakili oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Seseorang boleh memeriksa bahawa matriks ini melakukan perkara yang betul dengan mendarabkan kedua-dua vektor asas piawai dengannya.

Untuk pilihan set keadaan klasikal yang sewenang-wenangnya, kita boleh menerangkan set semua operasi kebarangkalian dalam istilah matematik sebagai yang diwakili oleh matriks stokastik, yang merupakan matriks yang memenuhi dua sifat ini:

1. Semua entri adalah nombor nyata tak negatif.
2. Entri-entri dalam setiap lajur berjumlah $1.$

Secara setara, matriks stokastik adalah matriks yang semua lajurnya membentuk vektor kebarangkalian.

Kita boleh memikirkan operasi kebarangkalian pada peringkat intuitif sebagai yang mana kerawakan mungkin entah bagaimana digunakan atau diperkenalkan semasa operasi, seperti dalam contoh di atas. Berkenaan penerangan matriks stokastik bagi operasi kebarangkalian, setiap lajur boleh dilihat sebagai perwakilan vektor bagi keadaan kebarangkalian yang dihasilkan dengan input keadaan klasikal yang sepadan dengan lajur tersebut.

Kita juga boleh memikirkan matriks stokastik sebagai tepat matriks-matriks yang sentiasa memetakan vektor kebarangkalian kepada vektor kebarangkalian. Iaitu, matriks stokastik sentiasa memetakan vektor kebarangkalian kepada vektor kebarangkalian, dan mana-mana matriks yang sentiasa memetakan vektor kebarangkalian kepada vektor kebarangkalian mestilah matriks stokastik.

Akhirnya, cara lain untuk memikirkan operasi kebarangkalian ialah ia adalah pilihan rawak daripada operasi deterministik. Sebagai contoh, kita boleh memikirkan operasi dalam contoh di atas sebagai mengaplikasikan sama ada fungsi identiti atau fungsi malar 0, masing-masing dengan kebarangkalian $1/2.$ Ini konsisten dengan persamaan

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ungkapan sedemikian sentiasa mungkin, untuk pilihan set keadaan klasikal yang sewenang-wenangnya dan mana-mana matriks stokastik dengan baris dan lajur yang dikenal pasti dengan set keadaan klasikal tersebut.

Komposisi operasi kebarangkalian

Andaikan bahawa $\mathsf{X}$ adalah sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\Sigma,$ dan $M_1,\ldots,M_n$ adalah matriks stokastik yang mewakili operasi kebarangkalian ke atas sistem $\mathsf{X}.$

Jika operasi pertama $M_1$ diaplikasikan kepada keadaan kebarangkalian yang diwakili oleh vektor kebarangkalian $u,$ keadaan kebarangkalian yang terhasil diwakili oleh vektor $M_1 u.$ Jika kita kemudian mengaplikasikan operasi kebarangkalian kedua $M_2$ kepada vektor kebarangkalian baru ini, kita mendapat vektor kebarangkalian

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

Persamaan ini mengikut fakta bahawa pendaraban matriks (yang termasuk pendaraban matriks-vektor sebagai kes khas) adalah operasi bersekutu. Oleh itu, operasi kebarangkalian yang diperoleh dengan menggabungkan operasi kebarangkalian pertama dan kedua, di mana kita pertama mengaplikasikan $M_1$ dan kemudian mengaplikasikan $M_2,$ diwakili oleh matriks $M_2 M_1,$ yang semestinya stokastik.

Secara lebih umum, menggabungkan operasi kebarangkalian yang diwakili oleh matriks $M_1,\ldots,M_n$ mengikut urutan ini, bermakna $M_1$ diaplikasikan pertama, $M_2$ diaplikasikan kedua, dan seterusnya, dengan $M_n$ diaplikasikan terakhir, diwakili oleh hasil darab matriks

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

Perhatikan bahawa urutan di sini adalah penting: walaupun pendaraban matriks adalah bersekutu, ia bukan operasi kalis tukar tertib. Sebagai contoh, jika

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

maka

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{dan}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Iaitu, urutan di mana operasi kebarangkalian digabungkan adalah penting; mengubah urutan pengaplikasian operasi dalam komposisi boleh mengubah operasi yang terhasil.