Hasil darab dalam dan unjuran

Untuk lebih bersedia meneroka keupayaan dan had litar kuantum, kita akan perkenalkan beberapa konsep matematik tambahan — iaitu hasil darab dalam antara vektor (dan hubungannya dengan norma Euclidean), gagasan ortogonaliti dan ortonormaliti untuk set vektor, serta matriks unjuran, yang akan membolehkan kita memperkenalkan generalisasi berguna bagi pengukuran asas piawai.

Hasil darab dalam

Ingat bahawa apabila kita menggunakan notasi Dirac untuk merujuk kepada vektor lajur sewenang-wenangnya sebagai ket, seperti

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

vektor bra yang sepadan adalah transpos konjugat vektor tersebut:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Atau, jika kita ada set keadaan klasik $\Sigma$ dalam fikiran, dan kita nyatakan vektor lajur sebagai ket, seperti

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

maka vektor baris (atau bra) yang sepadan adalah transpos konjugat

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Kita juga tahu bahawa hasil darab vektor bra dengan vektor ket, yang dilihat sebagai matriks berbaris tunggal atau berlajur tunggal, menghasilkan skalar. Khususnya, jika kita ada dua vektor lajur

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

supaya vektor baris $\langle \psi \vert$ adalah seperti dalam persamaan $(1)$, maka

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Atau, jika kita ada dua vektor lajur yang ditulis sebagai

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

supaya $\langle \psi \vert$ adalah vektor baris $(2)$, kita dapati bahawa

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

di mana kesamaan terakhir mengikut daripada pemerhatian bahawa $\langle a \vert a \rangle = 1$ dan $\langle a \vert b \rangle = 0$ untuk keadaan klasik $a$ dan $b$ yang memenuhi $a\neq b$.

Nilai $\langle \psi \vert \phi \rangle$ dipanggil hasil darab dalam antara vektor $\vert \psi\rangle$ dan $\vert \phi \rangle$. Hasil darab dalam amat penting dalam maklumat dan pengiraan kuantum; kita tidak akan pergi jauh dalam memahami maklumat kuantum pada tahap matematik tanpanya.

Mari kita kumpulkan beberapa fakta asas tentang hasil darab dalam vektor.

1. Hubungan dengan norma Euclidean. Hasil darab dalam mana-mana vektor

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   dengan dirinya sendiri ialah

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Oleh itu, norma Euclidean sesebuah vektor boleh dinyatakan secara alternatif sebagai

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Perlu diingat bahawa norma Euclidean sesebuah vektor mestilah sentiasa nombor nyata bukan negatif. Selain itu, satu-satunya cara norma Euclidean sesebuah vektor boleh sama dengan sifar ialah jika setiap entri adalah sama dengan sifar, yang bermaksud vektor tersebut adalah vektor sifar.

   Kita boleh meringkaskan pemerhatian ini seperti berikut: untuk setiap vektor $\vert \psi \rangle$ kita ada

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   dengan $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ jika dan hanya jika $\vert \psi \rangle = 0$. Sifat hasil darab dalam ini kadang-kadang dirujuk sebagai ketentuan positif.

2. Simetri konjugat. Untuk mana-mana dua vektor

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   kita ada

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   dan oleh itu

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Kelinearan dalam hujah kedua (dan kelinearan konjugat dalam hujah pertama). Andaikan $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ dan $\vert \phi_2 \rangle$ adalah vektor dan $\alpha_1$ serta $\alpha_2$ adalah nombor kompleks. Jika kita takrifkan vektor baru

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   maka

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Maksudnya, hasil darab dalam adalah linear dalam hujah kedua. Ini boleh disahkan sama ada melalui formula di atas atau hanya dengan menyedari bahawa pendaraban matriks adalah linear dalam setiap hujah (dan khususnya dalam hujah kedua).

   Menggabungkan fakta ini dengan simetri konjugat mendedahkan bahawa hasil darab dalam adalah linear konjugat dalam hujah pertama. Iaitu, jika $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ dan $\vert \phi \rangle$ adalah vektor dan $\alpha_1$ serta $\alpha_2$ adalah nombor kompleks, dan kita takrifkan

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   maka

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Ketaksamaan Cauchy–Schwarz. Untuk setiap pilihan vektor $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ yang mempunyai bilangan entri yang sama, kita ada

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Ini adalah ketaksamaan yang sangat berguna yang digunakan secara meluas dalam maklumat kuantum (dan dalam banyak topik kajian lain).

Set ortogonal dan ortonormal

Dua vektor $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ dikatakan ortogonal jika hasil darab dalam mereka adalah sifar:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Secara geometri, kita boleh memikirkan vektor ortogonal sebagai vektor yang bersudut tepat antara satu sama lain.

Set vektor $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ dipanggil set ortogonal jika setiap vektor dalam set adalah ortogonal dengan setiap vektor lain dalam set. Iaitu, set ini adalah ortogonal jika

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

untuk semua pilihan $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ di mana $j\neq k$.

Set vektor $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ dipanggil set ortonormal jika ia adalah set ortogonal dan, selain itu, setiap vektor dalam set adalah vektor unit. Secara alternatif, set ini adalah set ortonormal jika kita ada

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

untuk semua pilihan $j,k\in\{1,\ldots,m\}$.

Akhirnya, set $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ adalah asas ortonormal jika, selain menjadi set ortonormal, ia membentuk asas. Ini bersamaan dengan $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ menjadi set ortonormal dan $m$ sama dengan dimensi ruang dari mana $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ diambil.

Sebagai contoh, untuk mana-mana set keadaan klasik $\Sigma$, set semua vektor asas piawai

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

adalah asas ortonormal. Set $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ adalah asas ortonormal untuk ruang berdimensi $2$ yang sepadan dengan satu qubit, dan asas Bell $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ adalah asas ortonormal untuk ruang berdimensi $4$ yang sepadan dengan dua qubit.

Meluaskan set ortonormal kepada asas ortonormal

Andaikan $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ adalah vektor yang berada dalam ruang berdimensi $n$, dan andaikan pula $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ adalah set ortonormal. Set ortonormal sentiasa merupakan set bebas linear, jadi vektor-vektor ini semestinya merentangi subruang berdimensi $m$. Daripada ini kita menyimpulkan bahawa $m\leq n$ kerana dimensi subruang yang direntangi oleh vektor-vektor ini tidak boleh lebih besar daripada dimensi keseluruhan ruang dari mana mereka diambil.

Jika memang $m<n$, maka sentiasa boleh dipilih tambahan $n-m$ vektor $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ supaya $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ membentuk asas ortonormal. Prosedur yang dikenali sebagai proses ortogonalisasi Gram–Schmidt boleh digunakan untuk membina vektor-vektor ini.

Set ortonormal dan matriks uniter

Set vektor ortonormal berkait rapat dengan matriks uniter. Satu cara untuk menyatakan kaitan ini ialah dengan mengatakan bahawa tiga pernyataan berikut adalah setara secara logik (bermaksud semuanya benar atau semuanya salah) untuk mana-mana pilihan matriks segiempat $U$:

1. Matriks $U$ adalah uniter (iaitu, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).

2. Baris-baris $U$ membentuk set ortonormal.

3. Lajur-lajur $U$ membentuk set ortonormal.

Kesetaraan ini sebenarnya agak mudah apabila kita fikirkan cara pendaraban matriks dan transpos konjugat berfungsi. Andaikan, misalnya, kita ada matriks $3\times 3$ seperti ini:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Transpos konjugat $U$ kelihatan seperti ini:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Mendarabkan dua matriks, dengan transpos konjugat di sebelah kiri, memberi kita matriks ini:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Jika kita bentuk tiga vektor daripada lajur-lajur $U$,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

maka kita boleh menyatakan hasil darab di atas secara alternatif seperti berikut:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Merujuk kepada persamaan $(3)$, kita kini nampak bahawa syarat matriks ini sama dengan matriks identiti adalah bersamaan dengan ortonormaliti set $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$.

Hujah ini boleh diumumkan kepada matriks uniter bersaiz apa pun. Fakta bahawa baris-baris sesebuah matriks membentuk asas ortonormal jika dan hanya jika matriks tersebut uniter kemudiannya mengikut daripada fakta bahawa sesebuah matriks adalah uniter jika dan hanya jika transposnya adalah uniter.

Memandangkan kesetaraan yang diterangkan di atas, bersama-sama dengan fakta bahawa setiap set ortonormal boleh dilanjutkan untuk membentuk asas ortonormal, kita menyimpulkan fakta berguna berikut: Diberi mana-mana set vektor ortonormal $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ yang diambil dari ruang berdimensi $n$, terdapat matriks uniter $U$ yang $m$ lajur pertamanya adalah vektor $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$. Secara bergambar, kita sentiasa boleh mencari matriks uniter berbentuk ini:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Di sini, $n-m$ lajur terakhir diisi dengan mana-mana pilihan vektor $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ yang menjadikan $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ asas ortonormal.

Unjuran dan pengukuran unjuran

Matriks unjuran

Matriks segiempat $\Pi$ dipanggil unjuran jika ia memenuhi dua sifat:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}$.

2. $\Pi^2 = \Pi$.

Matriks yang memenuhi syarat pertama — iaitu sama dengan transpos konjugat mereka sendiri — dipanggil matriks Hermitian, dan matriks yang memenuhi syarat kedua — iaitu mengkuasadua mereka tidak mengubahnya — dipanggil matriks idempoten.

Sebagai peringatan, perkataan unjuran kadang-kadang digunakan untuk merujuk kepada mana-mana matriks yang memenuhi hanya syarat kedua tetapi tidak semestinya yang pertama, dan apabila ini berlaku, istilah unjuran ortogonal biasanya digunakan untuk merujuk kepada matriks yang memenuhi kedua-dua sifat. Walau bagaimanapun, dalam konteks maklumat dan pengiraan kuantum, istilah unjuran dan matriks unjuran lebih kerap merujuk kepada matriks yang memenuhi kedua-dua syarat.

Contoh unjuran ialah matriks

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

untuk mana-mana vektor unit $\vert \psi\rangle$. Kita boleh melihat bahawa matriks ini adalah Hermitian seperti berikut:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Di sini, untuk mendapatkan kesamaan kedua, kita telah menggunakan formula

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

yang sentiasa benar, untuk mana-mana dua matriks $A$ dan $B$ di mana hasil darab $AB$ boleh dilakukan.

Untuk melihat bahawa matriks $\Pi$ dalam $(4)$ adalah idempoten, kita boleh menggunakan andaian bahawa $\vert\psi\rangle$ adalah vektor unit, supaya ia memenuhi $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$. Oleh itu, kita ada

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Secara lebih umum, jika $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ adalah mana-mana set vektor ortonormal, maka matriks

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

adalah unjuran. Khususnya, kita ada

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

dan

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

di mana ortonormaliti $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ menyiratkan kesamaan kedua dari belakang.

Sebenarnya, ini menghabiskan semua kemungkinan: setiap unjuran $\Pi$ boleh ditulis dalam bentuk $(5)$ bagi suatu pilihan set ortonormal $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$. (Secara teknikalnya, matriks sifar $\Pi=0$, yang merupakan unjuran, adalah kes istimewa. Untuk memuatkannya ke dalam bentuk umum $(5)$ kita perlu membenarkan kemungkinan bahawa jumlahan adalah kosong, menghasilkan matriks sifar.)

Pengukuran unjuran

Gagasan pengukuran sistem kuantum adalah lebih umum daripada sekadar pengukuran asas piawai. Pengukuran unjuran adalah pengukuran yang diterangkan oleh koleksi unjuran yang jumlahnya sama dengan matriks identiti. Dalam simbol, koleksi $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ matriks unjuran menerangkan pengukuran unjuran jika

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Apabila pengukuran sedemikian dilakukan pada sistem $\mathsf{X}$ semasa berada dalam keadaan $\vert\psi\rangle$, dua perkara berlaku:

1. Untuk setiap $k\in\{0,\ldots,m-1\}$, hasil pengukuran adalah $k$ dengan kebarangkalian sama dengan

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Untuk hasil $k$ mana yang dihasilkan oleh pengukuran, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Kita juga boleh memilih hasil selain $\{0,\ldots,m-1\}$ untuk pengukuran unjuran jika kita mahu. Secara lebih umum, untuk mana-mana set terhingga dan tidak kosong $\Sigma$, jika kita ada koleksi matriks unjuran

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

yang memenuhi syarat

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

maka koleksi ini menerangkan pengukuran unjuran yang hasil yang mungkin bertepatan dengan set $\Sigma$, di mana peraturannya sama seperti sebelumnya:

1. Untuk setiap $a\in\Sigma$, hasil pengukuran adalah $a$ dengan kebarangkalian sama dengan

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Untuk hasil $a$ mana yang dihasilkan oleh pengukuran, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Sebagai contoh, pengukuran asas piawai adalah bersamaan dengan pengukuran unjuran, di mana $\Sigma$ adalah set keadaan klasik bagi sistem $\mathsf{X}$ yang kita bicarakan dan set matriks unjuran kita ialah $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$.

Contoh lain pengukuran unjuran, kali ini pada dua qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, diberikan oleh set $\{\Pi_0,\Pi_1\}$, di mana

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Jika kita ada berbilang sistem yang secara bersama berada dalam keadaan kuantum dan pengukuran unjuran dilakukan hanya pada satu sistem, tindakannya adalah serupa dengan yang kita ada untuk pengukuran asas piawai — dan sebenarnya kita kini boleh menerangkan tindakan ini dalam istilah yang jauh lebih mudah berbanding sebelumnya.

Lebih tepat lagi, andaikan kita ada dua sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dalam keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$, dan pengukuran unjuran yang diterangkan oleh koleksi $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ dilakukan pada sistem $\mathsf{X}$, sementara tiada apa yang dilakukan pada $\mathsf{Y}$. Melakukan ini adalah bersamaan dengan melaksanakan pengukuran unjuran yang diterangkan oleh koleksi

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

pada sistem bersama $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Setiap hasil pengukuran $a$ terhasil dengan kebarangkalian

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

dan dengan syarat hasil $a$ muncul, keadaan sistem bersama $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Melaksanakan pengukuran unjuran

Pengukuran unjuran sewenang-wenang boleh dilaksanakan menggunakan operasi uniter, pengukuran asas piawai, dan sistem ruang kerja tambahan, seperti yang akan diterangkan sekarang.

Andaikan $\mathsf{X}$ adalah sistem dan $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ adalah pengukuran unjuran pada $\mathsf{X}$. Kita boleh dengan mudah mengumumkan perbincangan ini kepada pengukuran unjuran yang mempunyai set hasil yang berbeza, tetapi demi kemudahan dan kesederhanaan kita akan andaikan set hasil yang mungkin untuk pengukuran kita adalah $\{0,\ldots,m-1\}$.

Mari kita nyatakan secara eksplisit bahawa $m$ tidak semestinya sama dengan bilangan keadaan klasik $\mathsf{X}$ — kita biarkan $n$ menjadi bilangan keadaan klasik $\mathsf{X}$, yang bermaksud setiap matriks $\Pi_k$ adalah matriks unjuran $n\times n$.

Kerana kita andaikan $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ mewakili pengukuran unjuran, semestinya

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Matlamat kita adalah untuk melaksanakan proses yang mempunyai kesan yang sama seperti melakukan pengukuran unjuran ini pada $\mathsf{X}$, tetapi melakukannya menggunakan hanya operasi uniter dan pengukuran asas piawai.

Kita akan menggunakan sistem ruang kerja tambahan $\mathsf{Y}$ untuk melakukan ini, dan khususnya kita akan ambil set keadaan klasik $\mathsf{Y}$ sebagai $\{0,\ldots,m-1\}$, yang sama dengan set hasil pengukuran unjuran. Ideanya ialah kita akan melakukan pengukuran asas piawai pada $\mathsf{Y}$, dan mentafsirkan hasil pengukuran ini sebagai bersamaan dengan hasil pengukuran unjuran pada $\mathsf{X}$. Kita perlu mengandaikan bahawa $\mathsf{Y}$ dimulakan kepada keadaan tetap, yang kita pilih sebagai $\vert 0\rangle$. (Mana-mana pilihan lain vektor keadaan kuantum tetap boleh dibuat untuk berfungsi, tetapi memilih $\vert 0\rangle$ menjadikan penjelasan berikut jauh lebih mudah.)

Sudah tentu, agar pengukuran asas piawai $\mathsf{Y}$ memberitahu kita sesuatu tentang $\mathsf{X}$, kita perlu membenarkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ berinteraksi entah bagaimana sebelum mengukur $\mathsf{Y}$, dengan melakukan operasi uniter pada sistem $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$. Pertimbangkan dahulu matriks ini:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Dinyatakan secara eksplisit sebagai apa yang dipanggil matriks blok, yang pada dasarnya adalah matriks daripada matriks yang kita tafsirkan sebagai satu matriks yang lebih besar, $M$ kelihatan seperti ini:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Di sini, setiap $0$ mewakili matriks $n\times n$ yang dipenuhi sepenuhnya dengan sifar, supaya keseluruhan matriks $M$ adalah matriks $nm\times nm.$

Kini, $M$ sudah tentu bukan matriks uniter (kecuali $m=1,$ di mana $\Pi_0 = \mathbb{I},$ memberikan $M = \mathbb{I}$ dalam kes remeh ini) kerana matriks uniter tidak boleh mempunyai mana-mana lajur (atau baris) yang seluruhnya $0;$ matriks uniter mempunyai lajur yang membentuk asas ortonormal, dan vektor semua-sifar bukan vektor unit.

Walau bagaimanapun, memang benar bahawa $n$ lajur pertama matriks $M$ adalah ortonormal, dan kita mendapat ini daripada andaian bahawa $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ adalah pengukuran. Untuk mengesahkan tuntutan ini, perhatikan bahawa untuk setiap $j\in\{0,\ldots,n-1\}$, vektor yang terbentuk oleh lajur nombor $j$ bagi $M$ adalah seperti berikut:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Perhatikan bahawa di sini kita menomborkan lajur bermula dari lajur $0$. Mengambil hasil darab dalam lajur $i$ dengan lajur $j$ apabila $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ memberikan

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

yang merupakan apa yang perlu kita tunjukkan.

Oleh itu, kerana $n$ lajur pertama matriks $M$ adalah ortonormal, kita boleh menggantikan semua entri sifar yang tinggal dengan pilihan entri nombor kompleks yang berbeza supaya keseluruhan matriks adalah uniter.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Jika kita diberi matriks $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$, kita boleh mengira matriks yang sesuai untuk diisi bagi blok bertanda $\fbox{?}$ dalam persamaan — menggunakan proses Gram–Schmidt — tetapi tidak penting secara khusus apakah matriks-matriks ini untuk tujuan perbincangan ini.

Akhirnya kita boleh menerangkan proses pengukuran: kita pertama kali lakukan $U$ pada sistem bersama $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ kemudian ukur $\mathsf{Y}$ berkenaan dengan pengukuran asas piawai. Untuk keadaan sewenang-wenang $\vert \phi \rangle$ bagi $\mathsf{X}$, kita peroleh keadaan

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

di mana kesamaan pertama mengikut daripada fakta bahawa $U$ dan $M$ adalah sama pada $n$ lajur pertamanya. Apabila kita melakukan pengukuran unjuran pada $\mathsf{Y}$, kita memperoleh setiap hasil $k$ dengan kebarangkalian

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

dan dengan syarat hasil $k$ muncul, keadaan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ menjadi

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Oleh itu, $\mathsf{Y}$ menyimpan salinan hasil pengukuran dan $\mathsf{X}$ berubah tepat seperti yang akan berlaku sekiranya pengukuran unjuran yang diterangkan oleh $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ dilakukan terus pada $\mathsf{X}.$