Litar

Dalam sains komputer, litar adalah model pengiraan di mana maklumat dibawa oleh wayar melalui rangkaian get, yang mewakili operasi pada maklumat yang dibawa oleh wayar. Litar kuantum adalah model pengiraan khusus berdasarkan konsep yang lebih umum ini.

Walaupun perkataan "litar" sering merujuk kepada laluan bulatan, laluan bulatan sebenarnya tidak dibenarkan dalam model litar pengiraan yang paling biasa dikaji. Ertinya, kita biasanya mempertimbangkan litar asiklik apabila kita berfikir tentang litar sebagai model pengiraan. Litar kuantum mengikuti corak ini; litar kuantum mewakili urutan terhingga operasi yang tidak boleh mengandungi gelung maklum balas.

Litar Boolean

Berikut adalah contoh litar Boolean (klasik), di mana wayar membawa nilai binari dan get mewakili operasi logik Boolean:

Aliran maklumat sepanjang wayar pergi dari kiri ke kanan: wayar di bahagian kiri rajah berlabel $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bit input, yang masing-masing boleh ditetapkan kepada apa sahaja nilai binari yang kita pilih, dan wayar di bahagian kanan adalah output. Wayar pertengahan mengambil nilai yang ditentukan oleh get, yang dinilai dari kiri ke kanan.

Get-get tersebut adalah get AND (berlabel $\wedge$), get OR (berlabel $\vee$), dan get NOT (berlabel $\neg$). Fungsi yang dikira oleh get-get ini mungkin sudah biasa bagi ramai pembaca, tetapi di sini ia diwakili oleh jadual nilai:

$$\begin{array}{c} \begin{array}{c|c} a & \neg a\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array}\\ \\ \\ \end{array} \qquad\quad \begin{array}{c|c} ab & a \wedge b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 0\\ 10 & 0\\ 11 & 1 \end{array} \qquad\quad \begin{array}{c|c} ab & a \vee b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 1\\ 10 & 1\\ 11 & 1 \end{array}$$

Dua bulatan kecil pepejal pada wayar tepat di sebelah kanan nama $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ mewakili operasi penyebaran, yang hanya mencipta salinan apa sahaja nilai yang dibawa pada wayar yang ia muncul, membolehkan nilai ini dimasukkan ke dalam berbilang get. Operasi penyebaran tidak selalu dianggap sebagai get dalam setting klasik; kadang-kadang ia dianggap seolah-olah "percuma" dalam erti kata tertentu. Walau bagaimanapun, apabila litar Boolean ditukar kepada litar kuantum yang setara, kita perlu mengkelaskan operasi penyebaran secara eksplisit sebagai get untuk menangani dan menjelaskannya dengan betul.

Berikut adalah litar yang sama digambarkan dalam gaya yang lebih biasa dalam kejuruteraan elektrik, yang menggunakan simbol konvensional untuk get AND, OR, dan NOT:

Kita tidak akan menggunakan gaya ini atau simbol get tertentu ini lagi, tetapi kita akan menggunakan simbol berbeza untuk mewakili get dalam litar kuantum, yang akan kita jelaskan apabila kita menemuinya.

Litar tertentu dalam contoh ini mengira OR eksklusif (atau XOR untuk ringkas), yang ditandakan dengan simbol $\oplus$:

$$\begin{array}{c|c} ab & a \oplus b\\ \hline 00 & 0\\ 01 & 1\\ 10 & 1\\ 11 & 0 \end{array}$$

Dalam gambar rajah seterusnya kita mempertimbangkan hanya satu pilihan untuk input: $\mathsf{X}=0$ dan $\mathsf{Y}=1.$ Setiap wayar dilabel dengan nilai yang dibawanya supaya anda boleh mengikuti operasi. Nilai output ialah $1$ dalam kes ini, iaitu nilai yang betul untuk XOR: $0 \oplus 1 = 1.$

Tiga tetapan input lain yang mungkin boleh diperiksa dengan cara yang serupa.

Jenis litar lain

Seperti yang dicadangkan di atas, tanggapan litar dalam sains komputer sangat umum. Contohnya, litar yang wayarnya membawa nilai selain $0$ dan $1$ kadang-kadang dianalisis, begitu juga dengan get yang mewakili pilihan operasi yang berbeza.

Dalam litar aritmetik, misalnya, wayar mungkin membawa nilai integer sementara get mewakili operasi aritmetik, seperti penambahan dan pendaraban. Rajah berikut menggambarkan litar aritmetik yang mengambil dua nilai input yang boleh berubah ($x$ dan $y$) serta input ketiga yang ditetapkan kepada nilai $1.$ Nilai yang dibawa oleh wayar, sebagai fungsi nilai $x$ dan $y,$ ditunjukkan dalam rajah.

Kita juga boleh mempertimbangkan litar yang menggabungkan kerawakan, seperti yang gate mewakili operasi kebarangkalian.

Litar kuantum

Dalam model litar kuantum, wayar mewakili Qubit dan get mewakili operasi pada Qubit-Qubit ini. Kita akan fokus buat masa ini pada operasi yang telah kita temui setakat ini, iaitu operasi unitari dan pengukuran asas standard. Apabila kita belajar tentang jenis operasi kuantum dan pengukuran lain, kita boleh meningkatkan model kita sewajarnya.

Berikut adalah contoh mudah litar kuantum:

Dalam litar ini, kita mempunyai satu Qubit bernama $\mathsf{X},$ yang diwakili oleh garisan mendatar, dan urutan get yang mewakili operasi unitari pada Qubit ini. Sama seperti dalam contoh di atas, aliran maklumat pergi dari kiri ke kanan — jadi operasi pertama yang dilakukan ialah operasi Hadamard, kedua adalah operasi $S$, ketiga adalah operasi Hadamard yang lain, dan operasi akhir adalah operasi $T$. Menggunakan keseluruhan litar ini oleh itu menggunakan komposisi operasi-operasi ini, $T H S H,$ pada Qubit $\mathsf{X}.$

Kadang-kadang kita mungkin ingin menunjukkan secara eksplisit keadaan input atau output litar. Contohnya, jika kita menggunakan operasi $T H S H$ pada keadaan $\vert 0\rangle,$ kita mendapat keadaan $\frac{1+i}{2}\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle.$ Ini boleh ditunjukkan seperti berikut:

Litar kuantum sering bermula dengan semua Qubit dimulakan kepada $\vert 0\rangle,$ seperti dalam kes ini, tetapi ada juga situasi di mana Qubit input pada mulanya ditetapkan kepada keadaan yang berbeza. Berikut adalah contoh lain litar kuantum, kali ini dengan dua Qubit:

Seperti biasa, get berlabel $H$ merujuk kepada operasi Hadamard, manakala get kedua adalah operasi NOT-terkawal: bulatan pepejal mewakili Qubit kawalan dan bulatan yang menyerupai simbol $\oplus$ menandakan Qubit sasaran.

Sebelum meneliti litar ini dengan lebih terperinci dan menerangkan apa yang dilakukannya, adalah penting untuk kita menjelaskan terlebih dahulu bagaimana Qubit disusunan dalam litar kuantum. Ini berkaitan dengan konvensyen yang Qiskit gunakan untuk menamakan dan menyusun sistem yang disebutkan secara ringkas dalam pelajaran sebelumnya.

Konvensyen susunan Qubit Qiskit untuk litar

Dalam Qiskit, Qubit paling atas dalam gambar rajah litar mempunyai indeks $0$ dan sepadan dengan kedudukan paling kanan dalam tupel Qubit (atau dalam rentetan, hasil Cartesian, atau hasil tensor yang sepadan dengan tupel ini), Qubit kedua dari atas mempunyai indeks $1,$ dan sepadan dengan kedudukan kedua dari kanan dalam tupel, dan seterusnya. Qubit paling bawah, yang mempunyai indeks tertinggi, oleh itu sepadan dengan kedudukan paling kiri dalam tupel. Khususnya, nama lalai Qiskit untuk Qubit dalam litar $n$-Qubit diwakili oleh $n$-tupel $(\mathsf{q_{n-1}},\ldots,\mathsf{q_{0}}),$ dengan $\mathsf{q_{0}}$ menjadi Qubit di atas dan $\mathsf{q_{n-1}}$ di bawah dalam gambar rajah litar kuantum.

Perhatikan bahawa ini adalah pembalikan konvensyen yang lebih biasa untuk menyusun Qubit dalam litar, dan merupakan punca kekeliruan yang kerap. Maklumat lanjut tentang konvensyen susunan ini boleh didapati di halaman dokumentasi Bit-ordering in Qiskit.

Walaupun kita kadang-kadang menyimpang daripada nama lalai khusus $\mathsf{q_{0}},\ldots,\mathsf{q_{n-1}}$ yang Qiskit gunakan untuk Qubit, kita akan sentiasa mengikuti konvensyen susunan yang diterangkan di atas apabila mentafsir gambar rajah litar sepanjang kursus ini. Oleh itu, tafsiran kita terhadap litar di atas ialah ia menerangkan operasi pada pasangan Qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Jika input kepada litar adalah keadaan kuantum $\vert\psi\rangle \otimes \vert\phi\rangle,$ misalnya, ini bermakna Qubit bawah $\mathsf{X}$ bermula dalam keadaan $\vert\psi\rangle$ dan Qubit atas $\mathsf{Y}$ bermula dalam keadaan $\vert\phi\rangle.$

Untuk memahami apa yang dilakukan oleh litar, kita boleh pergi dari kiri ke kanan melalui operasinya.

1. Operasi pertama adalah operasi Hadamard pada $\mathsf{Y}$:

   

   Apabila menggunakan get pada satu Qubit seperti ini, tiada apa yang berlaku pada Qubit lain (yang hanya satu Qubit lain dalam kes ini). Tiada apa yang berlaku bersamaan dengan operasi identiti yang dilakukan. Segi empat tepat bertitik dalam rajah di atas oleh itu mewakili operasi ini:

   $$\mathbb{I}\otimes H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

   Perhatikan bahawa matriks identiti berada di sebelah kiri hasil darab tensor dan $H$ di sebelah kanan, yang konsisten dengan konvensyen susunan Qiskit.

2. Operasi kedua adalah operasi NOT-terkawal, di mana $\mathsf{Y}$ adalah kawalan dan $\mathsf{X}$ adalah sasaran:

   

   Tindakan get NOT-terkawal pada keadaan asas standard adalah seperti berikut:

   

   Memandangkan kita menyusun Qubit sebagai $(\mathsf{X}, \mathsf{Y}),$ dengan $\mathsf{X}$ di bawah dan $\mathsf{Y}$ di atas litar kita, perwakilan matriks get NOT-terkawal adalah seperti ini:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Operasi unitari yang dilaksanakan oleh keseluruhan litar, yang akan kita namakan $U,$ adalah komposisi operasi-operasi:

$$U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Khususnya, mengingat semula notasi kita untuk keadaan Bell,

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 1 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 1 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 1 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 0 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 1 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 0 \rangle, \end{aligned}$$

kita dapati bahawa

$$\begin{aligned} U \vert 00\rangle & = \vert \phi^+\rangle\\ U \vert 01\rangle & = \vert \phi^-\rangle\\ U \vert 10\rangle & = \vert \psi^+\rangle\\ U \vert 11\rangle & = -\vert \psi^-\rangle. \end{aligned}$$

Litar ini oleh itu memberi kita cara untuk mencipta keadaan $\vert\phi^+\rangle$ jika kita menjalankannya pada dua Qubit yang dimulakan kepada $\vert 00\rangle.$ Secara lebih umum, ia memberi kita cara untuk menukar asas standard kepada asas Bell. (Perhatikan bahawa, walaupun ia tidak penting untuk contoh ini, faktor fasa $-1$ pada keadaan terakhir, $-\vert \psi^-\rangle,$ boleh dihapuskan jika kita ingin dengan membuat penambahan kecil pada litar. Contohnya, kita boleh menambah get $Z$-terkawal di permulaan, yang serupa dengan get NOT-terkawal kecuali operasi $Z$ digunakan pada Qubit sasaran dan bukannya operasi NOT apabila kawalan ditetapkan kepada $1.$ Sebagai alternatif, kita boleh menambah get tukar di akhir. Mana-mana pilihan menghapuskan tanda tolak tanpa mempengaruhi tindakan litar pada tiga keadaan asas standard yang lain.)

Secara umum, litar kuantum boleh mengandungi sebarang bilangan wayar Qubit. Kita juga boleh menyertakan wayar bit klasik, yang ditunjukkan oleh garisan berganda, seperti dalam contoh ini:

Di sini kita mempunyai get Hadamard dan get NOT-terkawal pada dua Qubit $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ sama seperti dalam contoh sebelumnya. Kita juga mempunyai dua bit klasik, $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B},$ serta dua get pengukuran. Get-get pengukuran mewakili pengukuran asas standard: Qubit-Qubit bertukar kepada keadaan selepas-pengukurannya, manakala keputusan pengukuran ditimpa ke atas bit klasik yang anak panah menunjuk kepadanya.

Sering kali mudah untuk menggambarkan pengukuran sebagai get yang mengambil Qubit sebagai input dan menghasilkan bit klasik (berbanding menghasilkan Qubit dalam keadaan selepas-pengukurannya dan menulis keputusan ke bit klasik yang berasingan). Ini bermakna Qubit yang diukur telah dibuang dan boleh diabaikan selepas itu, keadaannya telah berubah menjadi $\vert 0\rangle$ atau $\vert 1\rangle$ bergantung pada keputusan pengukuran.

Contohnya, gambar rajah litar berikut mewakili proses yang sama seperti dalam gambar rajah sebelumnya, tetapi di mana kita mengabaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ selepas mengukurnya:

Apabila kursus ini diteruskan, kita akan melihat lebih banyak contoh litar kuantum, yang biasanya lebih rumit daripada contoh mudah di atas. Berikut adalah beberapa contoh simbol yang digunakan untuk menandakan get yang biasa muncul dalam gambar rajah litar:

• Get satu-Qubit secara amnya ditunjukkan sebagai petak dengan huruf yang menunjukkan operasi yang dimaksudkan, seperti ini:

  

  Get NOT (atau setara, get $X$) juga kadang-kadang ditandakan dengan bulatan di sekeliling tanda tambah:

  

• Get tukar ditandakan seperti berikut:

  

• Get terkawal, iaitu get yang menerangkan operasi unitari-terkawal, ditandakan oleh bulatan berisi (menunjukkan kawalan) yang dihubungkan oleh garisan menegak kepada operasi yang dikawal. Contohnya, get NOT-terkawal, get NOT-terkawal-terkawal (atau Toffoli), dan get tukar-terkawal (Fredkin) ditandakan seperti ini:

  

• Operasi unitari sewenang-wenang pada berbilang Qubit boleh dilihat sebagai get. Ia digambarkan oleh segi empat tepat berlabel dengan nama operasi unitari tersebut. Contohnya, berikut adalah gambaran operasi unitari $U$ (tidak ditentukan) sebagai get, berserta versi terkawal get ini: