Maklumat kuantum

Kita kini bersedia untuk meneruskan ke maklumat kuantum dalam konteks sistem berbilang. Seperti dalam pelajaran sebelumnya tentang sistem tunggal, huraian matematik bagi maklumat kuantum untuk sistem berbilang agak serupa dengan kes kebarangkalian dan menggunakan konsep serta teknik yang sama.

Keadaan kuantum

Sistem berbilang boleh dilihat secara kolektif sebagai satu sistem kompaun tunggal. Kita sudah perhatikan ini dalam konteks kebarangkalian, dan konteks kuantum adalah analognya. Keadaan kuantum sistem berbilang diwakili oleh vektor lajur yang mengandungi nombor kompleks dengan norma Euclidean bersamaan $1,$ sama seperti keadaan kuantum sistem tunggal. Dalam kes sistem berbilang, entri vektor ini dipadankan dengan hasil darab Cartesian set keadaan klasikal yang berkaitan dengan setiap sistem individu, kerana itulah set keadaan klasikal sistem kompaun.

Sebagai contoh, jika $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, maka set keadaan klasikal pasangan qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ yang dilihat secara kolektif sebagai satu sistem, adalah hasil darab Cartesian $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Dengan mewakili pasangan nilai binari sebagai rentetan binari panjang dua, kita mengaitkan set hasil darab Cartesian ini dengan set $\{00,01,10,11\}.$ Vektor berikut adalah contoh vektor keadaan kuantum bagi pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Terdapat variasi dalam cara vektor keadaan kuantum sistem berbilang dinyatakan, dan kita boleh pilih mana-mana variasi yang kita suka. Berikut adalah beberapa contoh untuk vektor keadaan kuantum pertama di atas.

1. Kita boleh gunakan fakta bahawa $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (untuk mana-mana keadaan klasikal $a$ dan $b$) dan menulis

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Kita boleh memilih untuk menulis simbol hasil darab tensor secara eksplisit seperti ini:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Kita boleh memberi subskrip pada ket untuk menunjukkan bagaimana ia sepadan dengan sistem yang dipertimbangkan, seperti ini:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Sudah tentu, kita juga boleh menulis vektor keadaan kuantum secara eksplisit sebagai vektor lajur:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Bergantung pada konteks di mana ia muncul, salah satu variasi ini mungkin lebih diutamakan — tetapi semuanya setara dalam erti kata bahawa ia menerangkan vektor yang sama.

Hasil darab tensor vektor keadaan kuantum

Sama seperti yang kita ada untuk vektor kebarangkalian, hasil darab tensor vektor keadaan kuantum juga adalah vektor keadaan kuantum — dan sekali lagi ia mewakili kebebasan antara sistem.

Secara lebih terperinci, bermula dengan kes dua sistem, andaikan bahawa $\vert \phi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum sistem $\mathsf{X}$ dan $\vert \psi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum sistem $\mathsf{Y}.$ Hasil darab tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ yang boleh ditulis sebagai $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ atau sebagai $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ adalah vektor keadaan kuantum sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Sekali lagi kita merujuk keadaan dalam bentuk ini sebagai keadaan hasil darab.

Secara intuitif, apabila sepasang sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan hasil darab $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ kita boleh tafsirkan ini sebagai bermaksud bahawa $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan kuantum $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ berada dalam keadaan kuantum $\vert \psi \rangle,$ dan keadaan kedua-dua sistem tidak ada kena-mengena antara satu sama lain.

Fakta bahawa vektor hasil darab tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ memang merupakan vektor keadaan kuantum adalah konsisten dengan norma Euclidean yang bersifat multiplikatif berkenaan hasil darab tensor:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Kerana $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum, kita ada $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ dan $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ dan oleh itu $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ jadi $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ juga adalah vektor keadaan kuantum.

Ini digeneralisasi kepada lebih daripada dua sistem. Jika $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ maka $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum yang mewakili keadaan hasil darab sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Sekali lagi, kita tahu ini adalah vektor keadaan kuantum kerana

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Keadaan terbelit

Tidak semua vektor keadaan kuantum sistem berbilang adalah keadaan hasil darab. Sebagai contoh, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

bagi dua qubit bukanlah keadaan hasil darab. Untuk membuktikan ini, kita boleh ikuti hujah yang sama seperti yang kita gunakan dalam bahagian sebelumnya untuk keadaan kebarangkalian. Iaitu, jika $(1)$ adalah keadaan hasil darab, akan wujud vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ di mana

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Tetapi kemudian semestinya

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

bermaksud bahawa $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ atau $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (atau kedua-duanya). Ini bercanggah dengan fakta bahawa

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

dan

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

kedua-duanya adalah bukan sifar. Oleh itu, vektor keadaan kuantum $(1)$ mewakili korelasi antara dua sistem, dan khususnya kita katakan sistem-sistem itu adalah terbelit.

Perhatikan bahawa nilai khusus $1/\sqrt{2}$ tidak penting untuk hujah ini — yang penting hanyalah nilai ini bukan sifar. Oleh itu, sebagai contoh, keadaan kuantum

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

juga bukan keadaan hasil darab, dengan hujah yang sama.

Keterbelitan adalah ciri asas maklumat kuantum yang akan dibincangkan dengan lebih terperinci dalam pelajaran kemudian. Keterbelitan boleh menjadi rumit, terutamanya untuk keadaan kuantum berderau yang boleh diterangkan oleh matriks ketumpatan (yang dibincangkan dalam kursus Formulasi am maklumat kuantum, yang merupakan kursus ketiga dalam siri Memahami Maklumat dan Pengiraan Kuantum). Namun untuk vektor keadaan kuantum, keterbelitan bersamaan dengan korelasi: mana-mana vektor keadaan kuantum yang bukan keadaan hasil darab mewakili keadaan terbelit.

Sebaliknya, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

adalah contoh keadaan hasil darab.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Oleh itu, keadaan ini tidak terbelit.

Keadaan Bell

Kita akan melihat beberapa contoh penting keadaan kuantum berbilang qubit, bermula dengan keadaan Bell. Ini adalah empat keadaan dua qubit berikut:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Keadaan Bell dinamakan sempena John Bell. Perhatikan bahawa hujah yang sama yang membuktikan $\vert\phi^+\rangle$ bukan keadaan hasil darab juga menunjukkan bahawa tiada satu pun daripada keadaan Bell yang lain adalah keadaan hasil darab: kesemua empat keadaan Bell mewakili keterbelitan antara dua qubit.

Koleksi kesemua empat keadaan Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

dikenali sebagai asas Bell. Sesuai dengan namanya, ini adalah satu asas; mana-mana vektor keadaan kuantum dua qubit, atau sememangnya mana-mana vektor kompleks yang mempunyai entri sepadan dengan empat keadaan klasikal dua bit, boleh dinyatakan sebagai gabungan linear empat keadaan Bell. Sebagai contoh,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Keadaan GHZ dan W

Seterusnya kita akan pertimbangkan dua contoh menarik keadaan tiga qubit. Contoh pertama adalah keadaan GHZ (dinamakan sempena Daniel Greenberger, Michael Horne, dan Anton Zeilinger, yang pertama kali mengkaji beberapa sifatnya):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Contoh kedua adalah apa yang dipanggil keadaan W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Tiada satu pun daripada keadaan ini adalah keadaan hasil darab, bermaksud ia tidak boleh ditulis sebagai hasil darab tensor tiga vektor keadaan kuantum qubit. Kita akan periksa kedua-dua keadaan ini kemudian apabila kita membincangkan pengukuran separa keadaan kuantum sistem berbilang.

Contoh tambahan

Contoh keadaan kuantum sistem berbilang yang kita lihat setakat ini adalah keadaan dua atau tiga qubit, tetapi kita juga boleh mempertimbangkan keadaan kuantum sistem berbilang yang mempunyai set keadaan klasikal yang berbeza.

Sebagai contoh, berikut adalah keadaan kuantum tiga sistem, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ di mana set keadaan klasikal $\mathsf{X}$ adalah abjad binari (jadi $\mathsf{X}$ adalah qubit) dan set keadaan klasikal $\mathsf{Y}$ dan $\mathsf{Z}$ adalah $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Dan berikut adalah contoh keadaan kuantum tiga sistem, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ yang semuanya berkongsi set keadaan klasikal yang sama $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\{0,1,2\}$ sering dipanggil trit atau (dengan andaian ia boleh berada dalam keadaan kuantum) qutrit. Istilah qudit merujuk kepada sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\{0,\ldots,d-1\}$ untuk pilihan $d$ yang sewenang-wenangnya.

Pengukuran keadaan kuantum

Pengukuran asas standard keadaan kuantum sistem tunggal telah dibincangkan dalam pelajaran sebelumnya: jika sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\Sigma$ berada dalam keadaan kuantum yang diwakili oleh vektor $\vert \psi \rangle,$ dan sistem itu diukur (berkenaan pengukuran asas standard), maka setiap keadaan klasikal $a\in\Sigma$ muncul dengan kebarangkalian $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Ini memberitahu kita apa yang berlaku apabila kita mempunyai keadaan kuantum sistem berbilang dan memilih untuk mengukur seluruh sistem kompaun, yang bersamaan dengan mengukur semua sistem.

Untuk menyatakan ini dengan tepat, andaikan $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ masing-masing. Kita kemudian boleh melihat $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ secara kolektif sebagai satu sistem tunggal yang set keadaan klasikalnya adalah hasil darab Cartesian $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Jika keadaan kuantum sistem ini diwakili oleh vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle,$ dan semua sistem diukur, maka setiap kemungkinan keputusan $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ muncul dengan kebarangkalian $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Sebagai contoh, jika sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ secara bersama berada dalam keadaan kuantum

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

maka mengukur kedua-dua sistem dengan pengukuran asas standard menghasilkan keputusan $(0,\heartsuit)$ dengan kebarangkalian $9/25$ dan keputusan $(1,\spadesuit)$ dengan kebarangkalian $16/25.$

Pengukuran separa

Sekarang mari kita pertimbangkan situasi di mana kita mempunyai sistem berbilang dalam suatu keadaan kuantum, dan kita mengukur subset yang betul daripada sistem-sistem tersebut. Seperti sebelumnya, kita akan bermula dengan dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang mempunyai set keadaan klasikal $\Sigma$ dan $\Gamma,$ masing-masing.

Secara umum, vektor keadaan kuantum $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berbentuk

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

di mana $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ adalah koleksi nombor kompleks yang memenuhi

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

yang bersamaan dengan $\vert \psi \rangle$ sebagai vektor unit.

Kita sudah tahu, dari perbincangan di atas, bahawa jika kedua-dua $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ diukur, maka setiap kemungkinan keputusan $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ muncul dengan kebarangkalian

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Jika kita andaikan sebaliknya bahawa hanya sistem pertama $\mathsf{X}$ diukur, kebarangkalian untuk setiap keputusan $a\in\Sigma$ muncul mesti bersamaan dengan

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Ini konsisten dengan apa yang kita lihat dalam konteks kebarangkalian, serta pemahaman semasa kita tentang fizik: kebarangkalian setiap keputusan muncul apabila $\mathsf{X}$ diukur tidak mungkin bergantung pada sama ada $\mathsf{Y}$ juga diukur atau tidak, kerana itu akan membenarkan komunikasi lebih pantas daripada cahaya.

Setelah mendapat keputusan tertentu $a\in\Sigma$ daripada pengukuran asas standard $\mathsf{X},$ kita secara semula jadi mengharapkan keadaan kuantum $\mathsf{X}$ berubah supaya ia bersamaan dengan $\vert a\rangle,$ sama seperti yang berlaku untuk sistem tunggal. Tetapi apa yang berlaku kepada keadaan kuantum $\mathsf{Y}$?

Untuk menjawab soalan ini, kita boleh mula-mula nyatakan vektor $\vert\psi\rangle$ sebagai

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

di mana

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

untuk setiap $a\in\Sigma.$ Di sini kita mengikuti metodologi yang sama seperti dalam kes kebarangkalian, iaitu mengasingkan keadaan asas standard bagi sistem yang diukur. Kebarangkalian pengukuran asas standard $\mathsf{X}$ memberikan setiap keputusan $a$ adalah seperti berikut:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Dan, sebagai hasil pengukuran asas standard $\mathsf{X}$ yang memberikan keputusan $a,$ keadaan kuantum pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ bersama-sama menjadi

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Iaitu, keadaan "runtuh" seperti dalam kes sistem tunggal, tetapi hanya setakat yang diperlukan supaya keadaan konsisten dengan pengukuran $\mathsf{X}$ yang menghasilkan keputusan $a.$

Secara tidak rasmi, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ mewakili komponen $\vert \psi\rangle$ yang konsisten dengan pengukuran $\mathsf{X}$ menghasilkan keputusan $a.$ Kita kemudian menormalkan vektor ini — dengan membahagikannya dengan norma Euclidean, yang bersamaan dengan $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — untuk mendapatkan vektor keadaan kuantum yang sah dengan norma Euclidean bersamaan $1.$ Langkah penormalan ini adalah analogus dengan apa yang kita lakukan dalam konteks kebarangkalian apabila kita membahagikan vektor dengan jumlah entrinya untuk mendapatkan vektor kebarangkalian.

Sebagai contoh, pertimbangkan keadaan dua qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dari awal bahagian:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Untuk memahami apa yang berlaku apabila sistem pertama $\mathsf{X}$ diukur, kita mulakan dengan menulis

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Kita kini nampak, berdasarkan huraian di atas, bahawa kebarangkalian pengukuran menghasilkan keputusan $0$ adalah

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

dalam kes ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

dan kebarangkalian pengukuran menghasilkan keputusan $1$ adalah

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

dalam kes ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Teknik yang sama, digunakan secara simetri, menerangkan apa yang berlaku jika sistem kedua $\mathsf{Y}$ diukur dan bukannya sistem pertama. Kali ini kita tulis semula vektor $\vert \psi \rangle$ sebagai

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Kebarangkalian pengukuran $\mathsf{Y}$ memberikan keputusan $0$ adalah

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

dalam kes ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

dan kebarangkalian keputusan pengukuran adalah $1$ ialah

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

dalam kes ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Catatan tentang keadaan kuantum tereduksi

Contoh sebelumnya menunjukkan batasan huraian ringkas maklumat kuantum, iaitu ia tidak menawarkan cara untuk menerangkan keadaan kuantum tereduksi (atau marginal) bagi hanya satu daripada dua sistem (atau subset yang betul daripada mana-mana bilangan sistem) seperti dalam kes kebarangkalian.

Khususnya, untuk keadaan kebarangkalian dua sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang diterangkan oleh vektor kebarangkalian

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

kita boleh menulis keadaan kebarangkalian tereduksi atau marginal $\mathsf{X}$ sahaja sebagai

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Untuk vektor keadaan kuantum, tidak ada cara analogus untuk melakukan ini. Khususnya, untuk vektor keadaan kuantum

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

vektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

bukan vektor keadaan kuantum secara umum, dan tidak mewakili konsep keadaan tereduksi atau marginal dengan betul.

Apa yang boleh kita lakukan sebaliknya adalah beralih kepada konsep matriks ketumpatan, yang dibincangkan dalam kursus Formulasi am maklumat kuantum. Matriks ketumpatan memberi kita cara yang bermakna untuk menentukan keadaan kuantum tereduksi yang analogus dengan konteks kebarangkalian.

Pengukuran separa untuk tiga sistem atau lebih

Pengukuran separa untuk tiga sistem atau lebih, di mana subset yang betul daripada sistem diukur, boleh diturunkan kepada kes dua sistem dengan membahagikan sistem kepada dua koleksi, iaitu yang diukur dan yang tidak. Berikut adalah contoh khusus yang menggambarkan cara ini boleh dilakukan. Ia menunjukkan secara khusus bagaimana memberikan subskrip pada ket dengan nama sistem yang mereka wakili boleh berguna — dalam kes ini kerana ia memberi kita cara mudah untuk menerangkan pilih atur sistem.

Untuk contoh ini, kita akan pertimbangkan keadaan kuantum 5-tupel sistem $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ di mana kelima-lima sistem ini berkongsi set keadaan klasikal yang sama $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Kita akan pertimbangkan situasi di mana sistem pertama dan ketiga diukur, dan sistem yang lain dibiarkan.

Secara konseptual, tidak ada perbezaan asas antara situasi ini dan situasi di mana satu daripada dua sistem diukur. Malangnya, kerana sistem yang diukur bercampur dengan sistem yang tidak diukur, kita menghadapi halangan dalam menulis ungkapan yang diperlukan untuk melakukan pengiraan ini.

Satu cara untuk meneruskan, seperti yang dicadangkan di atas, adalah dengan memberikan subskrip pada ket untuk menunjukkan sistem yang dirujuknya. Ini memberi kita cara untuk menjejaki sistem semasa kita menukar susunan ket, yang memudahkan matematik.

Pertama, vektor keadaan kuantum di atas boleh ditulis semula sebagai

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Tiada yang berubah, kecuali setiap ket kini mempunyai subskrip yang menunjukkan sistem yang sepadan dengannya. Di sini kita menggunakan subskrip $0,\ldots,4,$ tetapi nama sistem itu sendiri juga boleh digunakan (dalam situasi di mana kita mempunyai nama sistem seperti $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ sebagai contoh).

Kita kini boleh menyusun semula ket dan mengumpulkan sebutan seperti berikut:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Hasil darab tensor masih tersirat, walaupun apabila kurungan digunakan, seperti dalam contoh ini.

Untuk menjelaskan tentang menukar susunan ket, hasil darab tensor tidak komutatif: jika $\vert \phi\rangle$ dan $\vert \pi \rangle$ adalah vektor, maka, secara umum, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ berbeza daripada $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ dan begitu juga untuk hasil darab tensor tiga vektor atau lebih. Sebagai contoh, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ adalah vektor yang berbeza daripada $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Menyusun semula ket seperti yang baru kita lakukan tidak harus ditafsirkan sebagai menunjukkan sebaliknya.

Sebaliknya, untuk tujuan melakukan pengiraan, kita hanya membuat keputusan bahawa lebih mudah untuk mengumpulkan sistem sebagai $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ berbanding $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Subskrip pada ket berfungsi untuk memastikan semua ini teratur, dan kita bebas untuk kembali kepada susunan asal kemudian jika kita mahu.

Kita kini nampak bahawa, jika sistem $\mathsf{X}_4$ dan $\mathsf{X}_2$ diukur, kebarangkalian (bukan sifar) bagi keputusan yang berbeza adalah seperti berikut:

• Keputusan pengukuran $(\heartsuit,\diamondsuit)$ berlaku dengan kebarangkalian

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Keputusan pengukuran $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ berlaku dengan kebarangkalian

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Keputusan pengukuran $(\spadesuit,\clubsuit)$ berlaku dengan kebarangkalian

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Jika keputusan pengukuran adalah $(\heartsuit,\diamondsuit),$ sebagai contoh, keadaan yang terhasil bagi lima sistem kita menjadi

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Di sini, untuk jawapan akhir, kita telah kembali kepada susunan asal sistem kita, hanya untuk menggambarkan bahawa kita boleh berbuat demikian. Untuk keputusan pengukuran yang lain, keadaan boleh ditentukan dengan cara yang serupa.

Akhirnya, berikut adalah dua contoh yang dijanjikan lebih awal, bermula dengan keadaan GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Jika hanya sistem pertama diukur, kita mendapat keputusan $0$ dengan kebarangkalian $1/2,$ dalam kes ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 000\rangle;$ dan kita juga mendapat keputusan $1$ dengan kebarangkalian $1/2,$ dalam kes ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 111\rangle.$

Untuk keadaan W pula, dengan andaian sekali lagi bahawa hanya sistem pertama diukur, kita mulakan dengan menulis keadaan ini seperti ini:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Kebarangkalian pengukuran qubit pertama menghasilkan keputusan 0 oleh itu bersamaan dengan

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

dan bergantung pada pengukuran yang menghasilkan keputusan ini, keadaan kuantum tiga qubit menjadi

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Kebarangkalian keputusan pengukuran adalah 1 ialah $1/3,$ dalam kes ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 100\rangle.$

Keadaan W adalah simetri, dalam erti kata ia tidak berubah jika kita menukar susunan qubit. Oleh itu kita mendapat huraian yang serupa untuk mengukur qubit kedua atau ketiga dan bukannya yang pertama.

Operasi unitari

Pada prinsipnya, mana-mana matriks unitari yang baris dan lajurnya sepadan dengan keadaan klasikal sistem mewakili operasi kuantum yang sah pada sistem tersebut. Ini, sudah tentu, tetap benar untuk sistem kompaun, yang set keadaan klasikalnya kebetulan merupakan hasil darab Cartesian set keadaan klasikal sistem individu.

Dengan fokus pada dua sistem, jika $\mathsf{X}$ adalah sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\Sigma,$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang mempunyai set keadaan klasikal $\Gamma,$ maka set keadaan klasikal sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah $\Sigma\times\Gamma.$ Oleh itu, operasi kuantum pada sistem gabungan ini diwakili oleh matriks unitari yang baris dan lajurnya dipadankan dengan set $\Sigma\times\Gamma.$ Susunan baris dan lajur matriks ini adalah sama dengan susunan yang digunakan untuk vektor keadaan kuantum sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Sebagai contoh, andaikan $\Sigma = \{1,2,3\}$ dan $\Gamma = \{0,1\},$ dan ingat bahawa konvensyen standard untuk memesan elemen hasil darab Cartesian $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ adalah ini:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Berikut adalah contoh matriks unitari yang mewakili operasi pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Matriks unitari ini tidak istimewa, ia hanya satu contoh. Untuk memeriksa bahawa $U$ adalah unitari, sudah cukup untuk mengira dan memeriksa bahawa $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ sebagai contoh. Sebagai alternatif, kita boleh memeriksa bahawa baris (atau lajur) adalah ortonormal, yang lebih mudah dalam kes ini memandangkan bentuk khusus matriks $U.$

Tindakan $U$ pada vektor asas standard $\vert 1, 1 \rangle,$ sebagai contoh, adalah

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

yang dapat kita lihat dengan memeriksa lajur kedua $U,$ memandangkan susunan kita untuk set $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Seperti mana-mana matriks, adalah mungkin untuk menyatakan $U$ menggunakan notasi Dirac, yang memerlukan 20 sebutan untuk 20 entri bukan sifar $U.$ Namun jika kita memang menulis kesemua sebutan ini, berbanding menulis matriks $6\times 6,$ ia akan menjadi kucar-kacir dan corak yang jelas daripada ekspresi matriks mungkin tidak akan sejelas itu. Ringkasnya, notasi Dirac tidak selalu menjadi pilihan terbaik.

Operasi unitari pada tiga sistem atau lebih berfungsi dengan cara yang serupa, dengan matriks unitari yang mempunyai baris dan lajur yang sepadan dengan hasil darab Cartesian set keadaan klasikal sistem. Kita sudah lihat satu contoh dalam pelajaran ini: operasi tiga qubit

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

di mana nombor dalam bra dan ket bermaksud pengekodan binari $3$-bit mereka. Selain menjadi operasi deterministik, ini juga merupakan operasi unitari. Operasi yang bersifat deterministik dan unitari dipanggil operasi boleh balik. Transpos konjugat matriks ini boleh ditulis seperti ini:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Ini mewakili songsangan, atau dalam istilah matematik invers, operasi asal — yang mana ini adalah yang kita jangkakan daripada transpos konjugat matriks unitari. Kita akan lihat contoh lain operasi unitari pada sistem berbilang apabila pelajaran diteruskan.

Operasi unitari yang dilakukan secara bebas pada sistem individu

Apabila operasi unitari dilakukan secara bebas pada koleksi sistem individu, tindakan gabungan operasi bebas ini diterangkan oleh hasil darab tensor matriks unitari yang mewakilinya. Iaitu, jika $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem kuantum, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ adalah matriks unitari yang mewakili operasi pada sistem ini, dan operasi dilakukan secara bebas pada sistem, tindakan gabungan pada $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ diwakili oleh matriks $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Sekali lagi, kita dapati konteks kebarangkalian dan kuantum adalah analogus dalam hal ini.

Seseorang secara semula jadi akan menjangka, dari membaca perenggan sebelumnya, bahawa hasil darab tensor mana-mana koleksi matriks unitari adalah unitari. Memang betul, dan kita boleh mengesahkannya seperti berikut.

Perhatikan pertama bahawa operasi transpos konjugat memenuhi

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

untuk mana-mana matriks yang dipilih $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ Ini boleh diperiksa dengan kembali kepada definisi hasil darab tensor dan transpos konjugat, dan memeriksa bahawa setiap entri kedua-dua belah persamaan adalah selaras. Ini bermaksud bahawa

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Kerana hasil darab tensor matriks bersifat multiplikatif, kita dapati bahawa

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Di sini kita telah menulis $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ untuk merujuk kepada matriks yang mewakili operasi identiti pada sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ iaitu matriks identiti yang saiznya sepadan dengan bilangan keadaan klasikal $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Akhirnya, hasil darab tensor $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ bersamaan dengan matriks identiti yang bilangan baris dan lajurnya sepadan dengan hasil darab bilangan baris dan lajur matriks $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Matriks identiti yang lebih besar ini mewakili operasi identiti pada sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Ringkasnya, kita ada urutan kesamaan berikut:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Oleh itu kita simpulkan bahawa $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ adalah unitari.

Situasi penting yang sering timbul adalah apabila operasi unitari diterapkan hanya pada satu sistem — atau subset yang betul daripada sistem — dalam sistem gabungan yang lebih besar. Sebagai contoh, andaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang boleh kita lihat bersama-sama sebagai membentuk satu sistem kompaun $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ dan kita melakukan operasi hanya pada sistem $\mathsf{X}.$ Untuk menjadi tepat, andaikan $U$ adalah matriks unitari yang mewakili operasi pada $\mathsf{X},$ supaya baris dan lajurnya telah dipadankan dengan keadaan klasikal $\mathsf{X}.$

Untuk mengatakan bahawa kita melakukan operasi yang diwakili oleh $U$ hanya pada sistem $\mathsf{X}$ bermaksud kita tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y},$ bermakna kita secara bebas melakukan $U$ pada $\mathsf{X}$ dan operasi identiti pada $\mathsf{Y}.$ Iaitu, "tidak melakukan apa-apa" pada $\mathsf{Y}$ adalah bersamaan dengan melakukan operasi identiti pada $\mathsf{Y},$ yang diwakili oleh matriks identiti $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Di sini, omong-omong, subskrip $\mathsf{Y}$ memberitahu kita bahawa $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ merujuk kepada matriks identiti yang bilangan baris dan lajurnya sepadan dengan set keadaan klasikal $\mathsf{Y}.$) Operasi pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang diperoleh apabila kita melakukan $U$ pada $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ oleh itu diwakili oleh matriks unitari

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Sebagai contoh, jika $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, melakukan operasi Hadamard pada $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ adalah bersamaan dengan melakukan operasi

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Begitu juga, jika operasi yang diwakili oleh matriks unitari $U$ diterapkan pada $\mathsf{Y}$ dan tiada yang dilakukan pada $\mathsf{X},$ operasi yang terhasil pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diwakili oleh matriks unitari

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Sebagai contoh, jika kita semula mempertimbangkan situasi di mana kedua-dua $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit dan $U$ adalah operasi Hadamard, operasi yang terhasil pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ diwakili oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Tidak setiap operasi unitari pada koleksi sistem boleh ditulis sebagai hasil darab tensor operasi unitari seperti ini, sama seperti tidak setiap vektor keadaan kuantum sistem ini adalah keadaan hasil darab. Sebagai contoh, neither operasi swap mahupun operasi controlled-NOT pada dua qubit, yang diterangkan di bawah, boleh dinyatakan sebagai hasil darab tensor operasi unitari.

Operasi swap

Untuk menyimpulkan pelajaran, mari kita lihat dua kelas contoh operasi unitari pada sistem berbilang, bermula dengan operasi swap.

Andaikan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang berkongsi set keadaan klasikal yang sama $\Sigma.$ Operasi swap pada pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah operasi yang menukar kandungan dua sistem, tetapi selain itu membiarkan sistem sahaja — supaya $\mathsf{X}$ kekal di kiri dan $\mathsf{Y}$ kekal di kanan. Kita akan labelkan operasi ini sebagai $\operatorname{SWAP},$ dan ia beroperasi seperti ini untuk setiap pilihan keadaan klasikal $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Satu cara untuk menulis matriks yang berkaitan dengan operasi ini menggunakan notasi Dirac adalah seperti berikut:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Mungkin tidak segera jelas bahawa matriks ini mewakili $\operatorname{SWAP},$ tetapi kita boleh periksa ia memenuhi syarat $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ untuk setiap pilihan keadaan klasikal $a,b\in\Sigma.$ Sebagai contoh mudah, apabila $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, kita dapati bahawa

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operasi controlled-unitary

Sekarang andaikan $\mathsf{Q}$ adalah qubit dan $\mathsf{R}$ adalah sistem sewenang-wenangnya, yang mempunyai set keadaan klasikal apa pun yang kita mahu. Untuk setiap operasi unitari $U$ yang bertindak pada sistem $\mathsf{R},$ operasi controlled-$U$ adalah operasi unitari pada pasangan $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ yang ditakrifkan seperti berikut:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Sebagai contoh, jika $\mathsf{R}$ juga adalah qubit, dan kita pertimbangkan operasi Pauli $X$ pada $\mathrm{R},$ maka operasi controlled-$X$ diberikan oleh

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Kita sudah bertemu dengan operasi ini dalam konteks maklumat klasikal dan operasi kebarangkalian lebih awal dalam pelajaran. Menggantikan operasi Pauli $X$ pada $\mathsf{R}$ dengan operasi $Z$ memberikan operasi ini:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Jika sebaliknya kita ambil $\mathsf{R}$ sebagai dua qubit, dan kita ambil $U$ sebagai operasi swap antara dua qubit ini, kita mendapat operasi ini:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operasi ini juga dikenali sebagai operasi Fredkin, atau lebih biasa, get Fredkin. Tindakannya pada keadaan asas standard boleh diterangkan seperti berikut:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Akhirnya, operasi controlled-controlled-NOT, yang boleh kita labelkan sebagai $CCX,$ dipanggil operasi Toffoli atau get Toffoli. Perwakilan matriksnya kelihatan seperti ini:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Kita boleh menyatakannya secara alternatif menggunakan notasi Dirac seperti berikut:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$