Maklumat klasik

Sama seperti yang kita buat dalam pelajaran sebelum ini, kita akan mulakan pelajaran ini dengan perbincangan tentang maklumat klasik. Sekali lagi, penerangan kebarangkalian dan kuantum adalah serupa secara matematik, dan memahami cara matematik berfungsi dalam konteks maklumat klasik yang biasa kita kenali membantu kita faham kenapa maklumat kuantum dihuraikan seperti mana ia dihuraikan.

Keadaan klasik melalui hasil darab Cartesian

Kita akan mula dari peringkat yang paling asas, iaitu keadaan klasik bagi sistem berbilang. Untuk memudahkan, kita akan bermula dengan dua sistem sahaja, kemudian umumkan kepada lebih dari dua sistem.

Untuk lebih tepat, biar $\mathsf{X}$ ialah suatu sistem yang set keadaan klasiknya ialah $\Sigma,$ dan biar $\mathsf{Y}$ ialah sistem kedua yang set keadaan klasiknya ialah $\Gamma.$ Perlu diingat bahawa, kerana kita menyebut set-set ini sebagai set keadaan klasik, andaian kita ialah $\Sigma$ dan $\Gamma$ kedua-duanya terhingga dan tidak kosong. Boleh jadi $\Sigma = \Gamma,$ tetapi ini tidak semestinya begitu — dan walau apa pun, membantu untuk menggunakan nama yang berbeza bagi merujuk set-set ini demi kejelasan.

Sekarang bayangkan dua sistem, $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ diletakkan bersebelahan, dengan $\mathsf{X}$ di sebelah kiri dan $\mathsf{Y}$ di sebelah kanan. Jika kita mahu, kita boleh memandang kedua-dua sistem ini seolah-olah ia membentuk satu sistem tunggal, yang boleh kita tandakan sebagai $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ atau $\mathsf{XY}$ mengikut pilihan kita. Soalan yang wajar ditanya tentang sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ini ialah, "Apakah keadaan klasiknya?"

Jawapannya ialah set keadaan klasik bagi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah hasil darab Cartesian antara $\Sigma$ dan $\Gamma,$ iaitu set yang ditakrifkan sebagai

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

Secara ringkas, hasil darab Cartesian adalah tepat-tepat konsep matematik yang menangkap idea untuk melihat satu elemen daripada satu set dan satu elemen daripada set kedua bersama-sama, seolah-olah ia membentuk satu elemen bagi satu set tunggal. Dalam kes ini, untuk mengatakan bahawa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan klasik $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ bermaksud $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan klasik $a\in\Sigma$ dan $\mathsf{Y}$ berada dalam keadaan klasik $b\in\Gamma;$ dan jika keadaan klasik $\mathsf{X}$ ialah $a\in\Sigma$ dan keadaan klasik $\mathsf{Y}$ ialah $b\in\Gamma,$ maka keadaan klasik sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ialah $(a,b).$

Untuk lebih daripada dua sistem, situasinya digeneralisasikan dengan cara yang semula jadi. Jika kita andaikan bahawa $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ adalah sistem-sistem yang mempunyai set keadaan klasik $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ masing-masing, untuk mana-mana integer positif $n,$ set keadaan klasik bagi $n$-tuple $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ yang dilihat sebagai satu sistem gabungan tunggal, adalah hasil darab Cartesian

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

Sudah tentu, kita bebas menggunakan nama apa sahaja yang kita mahu untuk sistem-sistem, dan menyusunnya mengikut apa yang kita pilih. Khususnya, jika kita ada $n$ sistem seperti di atas, kita boleh memilih untuk menamakan mereka $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ dan menyusunnya dari kanan ke kiri, supaya sistem gabungan menjadi $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Mengikut corak penamaan yang sama untuk keadaan klasik dan set keadaan klasik yang berkaitan, kita mungkin merujuk kepada keadaan klasik

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

bagi sistem gabungan ini. Memang, inilah konvensyen susunan yang digunakan oleh Qiskit ketika menamakan beberapa qubit. Kita akan kembali ke konvensyen ini dan bagaimana ia berkaitan dengan litar kuantum dalam pelajaran seterusnya, tetapi kita akan mula menggunakannya sekarang untuk membiasakan diri dengannya.

Kerap kali senang untuk menulis keadaan klasik dalam bentuk $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ sebagai rentetan $a_{n-1}\cdots a_0$ demi keringkasan, terutama dalam situasi yang sangat biasa di mana set keadaan klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ dikaitkan dengan set simbol atau aksara. Dalam konteks ini, istilah abjad lazimnya digunakan untuk merujuk set simbol yang digunakan untuk membentuk rentetan, tetapi takrifan matematik abjad adalah tepat sama dengan takrifan set keadaan klasik: ia adalah set yang terhingga dan tidak kosong.

Sebagai contoh, andaikan bahawa $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ adalah bit-bit, supaya set keadaan klasik bagi sistem-sistem ini semuanya sama.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

Terdapat kemudian $2^{10} = 1024$ keadaan klasik bagi sistem gabungan $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ yang merupakan elemen-elemen set

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

Ditulis sebagai rentetan, keadaan-keadaan klasik ini kelihatan seperti ini:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

Untuk keadaan klasik $0000000110,$ sebagai contoh, kita dapat lihat bahawa $\mathsf{X}_1$ dan $\mathsf{X}_2$ berada dalam keadaan $1,$ sementara semua sistem lain berada dalam keadaan $0.$

Keadaan kebarangkalian

Ingat kembali dari pelajaran sebelum ini bahawa keadaan kebarangkalian mengaitkan kebarangkalian dengan setiap keadaan klasik sebuah sistem. Oleh itu, keadaan kebarangkalian bagi sistem berbilang — yang dilihat secara kolektif sebagai satu sistem tunggal — mengaitkan kebarangkalian dengan setiap elemen hasil darab Cartesian daripada set keadaan klasik sistem-sistem individu.

Sebagai contoh, andaikan bahawa $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ kedua-duanya adalah bit, supaya set keadaan klasik yang sepadan adalah $\Sigma = \{0,1\}$ dan $\Gamma = \{0,1\},$ masing-masing. Berikut adalah keadaan kebarangkalian bagi pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

Keadaan kebarangkalian ini ialah satu di mana kedua-dua $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bit rawak — setiap satu ialah $0$ dengan kebarangkalian $1/2$ dan $1$ dengan kebarangkalian $1/2$ — tetapi keadaan klasik kedua-dua bit sentiasa sama. Ini adalah contoh korelasi antara sistem-sistem ini.

Menyusun set keadaan hasil darab Cartesian

Keadaan kebarangkalian sistem boleh diwakili oleh vektor kebarangkalian, seperti yang dibincangkan dalam pelajaran sebelum ini. Khususnya, entri vektor mewakili kebarangkalian sistem berada dalam keadaan klasik yang mungkin, dan difahami bahawa penyesuaian antara entri-entri dan set keadaan klasik telah dipilih.

Memilih penyesuaian sebegitu bermakna menentukan susunan keadaan klasik, yang sering kali semula jadi atau ditentukan oleh konvensyen standard. Sebagai contoh, abjad binari $\{0,1\}$ secara semula jadi disusun dengan $0$ dahulu dan $1$ kedua, jadi entri pertama dalam vektor kebarangkalian yang mewakili keadaan kebarangkalian bagi satu bit adalah kebarangkalian ia berada dalam keadaan $0,$ dan entri kedua adalah kebarangkalian ia berada dalam keadaan $1.$

Tiada yang berubah dalam konteks sistem berbilang, tetapi ada keputusan yang perlu dibuat. Set keadaan klasik bagi beberapa sistem bersama, dilihat secara kolektif sebagai satu sistem tunggal, adalah hasil darab Cartesian daripada set keadaan klasik sistem-sistem individu — jadi kita perlu memutuskan bagaimana elemen-elemen hasil darab Cartesian set keadaan klasik hendak disusun.

Terdapat konvensyen mudah yang kita ikuti untuk ini, iaitu bermula dengan apa sahaja susunan yang sudah ada untuk set keadaan klasik individu, dan kemudian menyusun elemen-elemen hasil darab Cartesian secara abjad. Cara lain untuk mengatakannya ialah entri dalam setiap $n$-tuple (atau, setara, simbol dalam setiap rentetan) dianggap mempunyai kepentingan yang berkurangan dari kiri ke kanan. Sebagai contoh, mengikut konvensyen ini, hasil darab Cartesian $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ disusun seperti ini:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

Apabila $n$-tuple ditulis sebagai rentetan dan disusun dengan cara ini, kita perhatikan corak yang biasa, seperti $\{0,1\}\times\{0,1\}$ disusun sebagai $00, 01, 10, 11,$ dan set $\{0,1\}^{10}$ disusun seperti yang ditulis sebelum ini dalam pelajaran. Sebagai contoh lain, memandang set $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ sebagai set rentetan, kita mendapat nombor dua digit $00$ hingga $99,$ disusun secara berangka. Ini jelas bukan kebetulan; sistem perpuluhan kita menggunakan tepat-tepat jenis susunan abjad ini, di mana perkataan abjad harus difahami dengan makna yang luas yang merangkumi angka selain daripada huruf.

Kembali kepada contoh dua bit dari atas, keadaan kebarangkalian yang diterangkan sebelum ini diwakili oleh vektor kebarangkalian berikut, di mana entri-entri dilabelkan secara eksplisit demi kejelasan.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

Kebebasan dua sistem

Satu jenis khas keadaan kebarangkalian bagi dua sistem ialah keadaan di mana sistem-sistem itu bebas. Secara intuitif, dua sistem adalah bebas jika mengetahui keadaan klasik salah satu sistem tidak mempengaruhi kebarangkalian yang berkaitan dengan yang lain. Maksudnya, mengetahui keadaan klasik salah satu sistem tidak memberikan sebarang maklumat tentang keadaan klasik yang lain.

Untuk mentakrifkan konsep ini dengan tepat, mari kita andaikan sekali lagi bahawa $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang mempunyai set keadaan klasik $\Sigma$ dan $\Gamma,$ masing-masing. Berkenaan dengan keadaan kebarangkalian tertentu sistem-sistem ini, mereka dikatakan bebas jika

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

untuk setiap pilihan $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Untuk menyatakan syarat ini dalam bentuk vektor kebarangkalian, andaikan keadaan kebarangkalian yang diberikan bagi $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dihuraikan oleh vektor kebarangkalian, ditulis dalam notasi Dirac sebagai

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

Syarat $(2)$ untuk kebebasan kemudiannya bersamaan dengan kewujudan dua vektor kebarangkalian

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

yang mewakili kebarangkalian yang berkaitan dengan keadaan klasik $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ masing-masing, sedemikian rupa sehingga

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

untuk semua $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Sebagai contoh, keadaan kebarangkalian pasangan bit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang diwakili oleh vektor

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

adalah satu di mana $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bebas. Secara khususnya, syarat yang diperlukan untuk kebebasan adalah benar untuk vektor-vektor kebarangkalian

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

Sebagai contoh, untuk memadankan kebarangkalian bagi keadaan $00,$ kita perlu $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ dan memang inilah yang berlaku. Entri-entri lain boleh disahkan dengan cara yang sama.

Sebaliknya, keadaan kebarangkalian $(1),$ yang boleh kita tulis sebagai

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

tidak mewakili kebebasan antara sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}.$ Berikut adalah cara mudah untuk membuktikannya.

Andaikan wujud vektor kebarangkalian $\vert \phi\rangle$ dan $\vert \psi \rangle,$ seperti dalam persamaan $(3)$ di atas, yang memenuhi syarat $(4)$ untuk setiap pilihan $a$ dan $b.$ Maka semestinya

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

Ini bermakna sama ada $q_0 = 0$ atau $r_1 = 0,$ kerana jika kedua-duanya tak sifar, hasil darab $q_0 r_1$ juga tak sifar. Ini membawa kepada kesimpulan bahawa sama ada $q_0 r_0 = 0$ (jika $q_0 = 0$) atau $q_1 r_1 = 0$ (jika $r_1 = 0$). Namun, kita lihat bahawa tiada satu pun daripada persamaan tersebut boleh benar kerana kita perlu $q_0 r_0 = 1/2$ dan $q_1 r_1 = 1/2.$ Oleh itu, tidak wujud vektor $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ yang memenuhi sifat yang diperlukan untuk kebebasan.

Setelah mentakrifkan kebebasan antara dua sistem, kita kini boleh mentakrifkan maksud korelasi: ia adalah ketiadaan kebebasan. Sebagai contoh, kerana dua bit dalam keadaan kebarangkalian yang diwakili oleh vektor $(5)$ tidak bebas, mereka, secara takrifan, berkorelasi.

Hasil darab tensor bagi vektor

Syarat kebebasan yang baru diterangkan boleh dinyatakan secara ringkas melalui konsep hasil darab tensor. Walaupun hasil darab tensor adalah konsep yang sangat umum, dan boleh ditakrifkan secara abstrak serta diaplikasikan kepada pelbagai struktur matematik, kita boleh menerima pakai takrifan yang mudah dan konkrit dalam kes ini.

Diberi dua vektor

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

hasil darab tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ adalah vektor yang ditakrifkan sebagai

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

Entri-entri vektor baru ini bersesuaian dengan elemen-elemen hasil darab Cartesian $\Sigma\times\Gamma,$ yang ditulis sebagai rentetan dalam persamaan sebelumnya. Setara dengan itu, vektor $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ ditakrifkan oleh persamaan

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

yang benar untuk setiap $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Kita kini boleh menyatakan semula syarat kebebasan: untuk sistem gabungan $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ dalam keadaan kebarangkalian yang diwakili oleh vektor kebarangkalian $\vert \pi \rangle,$ sistem-sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bebas jika $\vert\pi\rangle$ diperoleh dengan mengambil hasil darab tensor

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

daripada vektor-vektor kebarangkalian $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ pada setiap subsistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}.$ Dalam situasi ini, $\vert \pi \rangle$ dikatakan sebagai keadaan hasil darab atau vektor hasil darab.

Kita sering tidak menggunakan simbol $\otimes$ ketika mengambil hasil darab tensor bagi ket, seperti menulis $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ berbanding $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ Konvensyen ini menangkap idea bahawa hasil darab tensor adalah, dalam konteks ini, cara yang paling semula jadi atau lalai untuk mengambil hasil darab dua vektor. Walaupun kurang lazim, notasi $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ kadang-kadang juga digunakan.

Apabila kita menggunakan konvensyen abjad untuk menyusun elemen-elemen hasil darab Cartesian, kita mendapat spesifikasi berikut untuk hasil darab tensor dua vektor lajur.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

Sebagai catatan penting, perhatikan ungkapan berikut untuk hasil darab tensor bagi vektor asas standard:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

Kita juga boleh menulis $(a,b)$ sebagai pasangan tertib, dan bukannya rentetan, dan dalam kes itu kita mendapat $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ Namun, lebih biasa untuk tidak menggunakan tanda kurung dalam situasi ini, sebaliknya menulis $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ Ini biasa dalam matematik secara amnya; tanda kurung yang tidak menambah kejelasan atau menghilangkan kekaburan sering kali ditinggalkan begitu sahaja.

Hasil darab tensor bagi dua vektor mempunyai sifat penting iaitu ia bersifat bilinear, yang bermaksud ia adalah linear dalam setiap dua argumen secara berasingan, dengan andaian argumen yang lain adalah tetap. Sifat ini boleh dinyatakan melalui persamaan-persamaan ini:

1. Kelinearan dalam argumen pertama:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. Kelinearan dalam argumen kedua:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

Memandang persamaan kedua dalam setiap pasangan persamaan ini, kita dapat lihat bahawa skalar "terapung bebas" dalam hasil darab tensor:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

Oleh itu tiada kekaburan dalam hanya menulis $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ atau secara alternatif $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ atau $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ untuk merujuk vektor ini.

Kebebasan dan hasil darab tensor bagi tiga sistem atau lebih

Konsep kebebasan dan hasil darab tensor tergeneralisasi secara mudah kepada tiga sistem atau lebih. Jika $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem-sistem yang mempunyai set keadaan klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ masing-masing, maka keadaan kebarangkalian bagi sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ adalah keadaan hasil darab jika vektor kebarangkalian yang berkaitan mengambil bentuk

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

untuk vektor-vektor kebarangkalian $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ yang menghuraikan keadaan kebarangkalian $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ Di sini, takrifan hasil darab tensor tergeneralisasi dengan cara yang semula jadi: vektor

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

ditakrifkan oleh persamaan

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

yang benar untuk setiap $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

Cara lain yang berbeza, tetapi setara, untuk mentakrifkan hasil darab tensor tiga atau lebih vektor adalah secara rekursif dalam bentuk hasil darab tensor dua vektor:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

Sama seperti hasil darab tensor hanya dua vektor, hasil darab tensor tiga atau lebih vektor adalah linear dalam setiap argumen secara individu, dengan andaian semua argumen lain adalah tetap. Dalam kes ini, dikatakan bahawa hasil darab tensor tiga atau lebih vektor bersifat multilinear.

Seperti dalam kes dua sistem, kita boleh mengatakan bahawa sistem-sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah bebas apabila mereka berada dalam keadaan hasil darab, tetapi istilah bebas secara bersama adalah lebih tepat. Terdapat konsep kebebasan lain untuk tiga atau lebih sistem, seperti kebebasan berpasangan, yang menarik dan penting — tetapi bukan dalam konteks kursus ini.

Menggeneralisasikan pemerhatian sebelumnya tentang hasil darab tensor bagi vektor asas standard, untuk mana-mana integer positif $n$ dan mana-mana keadaan klasik $a_0,\ldots,a_{n-1},$ kita ada

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

Pengukuran keadaan kebarangkalian

Sekarang mari kita beralih kepada pengukuran keadaan kebarangkalian bagi sistem berbilang. Dengan memilih untuk melihat beberapa sistem bersama sebagai sistem tunggal, kita serta-merta mendapat spesifikasi bagaimana pengukuran mesti berfungsi untuk sistem berbilang — dengan syarat semua sistem diukur.

Sebagai contoh, jika keadaan kebarangkalian dua bit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dihuraikan oleh vektor kebarangkalian

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

maka hasil $00$ — bermaksud $0$ untuk pengukuran $\mathsf{X}$ dan $0$ untuk pengukuran $\mathsf{Y}$ — diperoleh dengan kebarangkalian $1/2$ dan hasil $11$ juga diperoleh dengan kebarangkalian $1/2.$ Dalam setiap kes kita mengemaskini huraian vektor kebarangkalian pengetahuan kita dengan sewajarnya, supaya keadaan kebarangkalian menjadi $|00\rangle$ atau $|11\rangle,$ masing-masing.

Namun, kita boleh memilih untuk tidak mengukur setiap sistem, sebaliknya hanya sebahagian daripada sistem. Ini akan menghasilkan hasil pengukuran bagi setiap sistem yang diukur, dan juga akan (secara umumnya) mempengaruhi pengetahuan kita tentang sistem-sistem yang tinggal yang tidak diukur.

Untuk menerangkan cara ini berfungsi, kita akan fokus kepada kes dua sistem, di mana satu daripadanya diukur. Situasi yang lebih umum — di mana subset yang sewajarnya daripada tiga atau lebih sistem diukur — secara berkesan kembali kepada kes dua sistem apabila kita memandang sistem-sistem yang diukur secara kolektif seolah-olah ia membentuk satu sistem dan sistem-sistem yang tidak diukur seolah-olah ia membentuk sistem kedua.

Untuk lebih tepat, mari andaikan bahawa $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang set keadaan klasiknya masing-masing ialah $\Sigma$ dan $\Gamma,$ dan kedua-dua sistem bersama berada dalam keadaan kebarangkalian tertentu. Kita akan mempertimbangkan apa yang berlaku apabila kita mengukur hanya $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}.$ Situasi di mana hanya $\mathsf{Y}$ diukur dan tiada apa yang berlaku pada $\mathsf{X}$ dikendalikan secara simetri.

Pertama, kita tahu bahawa kebarangkalian untuk memerhatikan keadaan klasik tertentu $a\in\Sigma$ apabila hanya $\mathsf{X}$ diukur mestilah konsisten dengan kebarangkalian yang kita peroleh andaikan $\mathsf{Y}$ turut diukur. Maksudnya, kita mestilah ada

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

Ini adalah formula bagi apa yang disebut keadaan kebarangkalian tereduksi (atau marginal) bagi $\mathsf{X}$ sahaja.

Formula ini masuk akal pada tahap intuitif, dalam erti kata bahawa sesuatu yang sangat pelik terpaksa berlaku jika ia salah. Jika ia salah, itu bermakna mengukur $\mathsf{Y}$ entah bagaimana boleh mempengaruhi kebarangkalian yang berkaitan dengan hasil pengukuran yang berbeza bagi $\mathsf{X},$ tanpa mengira hasil sebenar pengukuran $\mathsf{Y}.$ Jika $\mathsf{Y}$ kebetulan berada di lokasi yang jauh, seperti di suatu tempat di galaksi lain misalnya, ini memungkinkan isyarat lebih laju daripada cahaya — yang kita tolak berdasarkan pemahaman kita tentang fizik. Cara lain untuk memahami ini datang daripada tafsiran kebarangkalian sebagai mencerminkan tahap kepercayaan. Hakikat bahawa orang lain mungkin memutuskan untuk melihat $\mathsf{Y}$ tidak boleh mengubah keadaan klasik $\mathsf{X},$ jadi tanpa sebarang maklumat tentang apa yang mereka buat atau tidak lihat, kepercayaan seseorang tentang keadaan $\mathsf{X}$ tidak seharusnya berubah akibatnya.

Sekarang, dengan andaian hanya $\mathsf{X}$ diukur dan $\mathsf{Y}$ tidak, mungkin masih terdapat ketidaktentuan tentang keadaan klasik $\mathsf{Y}.$ Atas sebab ini, daripada mengemaskini huraian kita tentang keadaan kebarangkalian $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ kepada $\vert ab\rangle$ untuk sesetengah pilihan $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma,$ kita perlu mengemaskini huraian kita supaya ketidaktentuan tentang $\mathsf{Y}$ ini tercermin dengan betul.

Formula kebarangkalian bersyarat berikut mencerminkan ketidaktentuan ini.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

Di sini, ungkapan $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ menandakan kebarangkalian bahawa $\mathsf{Y} = b$ bersyarat pada (atau diberi bahawa) $\mathsf{X} = a.$ Secara teknikal, ungkapan ini hanya masuk akal jika $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ adalah tak sifar, kerana jika $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ maka kita membahagi dengan sifar dan mendapat bentuk tak tentu $\frac{0}{0}.$ Namun ini bukanlah masalah, kerana jika kebarangkalian yang berkaitan dengan $a$ adalah sifar, maka kita tidak akan pernah mendapat $a$ sebagai hasil pengukuran $\mathsf{X},$ jadi kita tidak perlu bimbang dengan kemungkinan ini.

Untuk menyatakan formula-formula ini dalam bentuk vektor kebarangkalian, pertimbangkan vektor kebarangkalian $\vert \pi \rangle$ yang menghuraikan keadaan kebarangkalian gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

Mengukur $\mathsf{X}$ sahaja menghasilkan setiap hasil yang mungkin $a\in\Sigma$ dengan kebarangkalian

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

Vektor yang mewakili keadaan kebarangkalian $\mathsf{X}$ sahaja oleh itu diberikan oleh

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

Setelah mendapat hasil tertentu $a\in\Sigma$ daripada pengukuran $\mathsf{X},$ keadaan kebarangkalian $\mathsf{Y}$ dikemaskini mengikut formula kebarangkalian bersyarat, supaya ia diwakili oleh vektor kebarangkalian ini:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

Dalam kes pengukuran $\mathsf{X}$ menghasilkan keadaan klasik $a,$ kita oleh itu mengemaskini huraian kita tentang keadaan kebarangkalian sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ kepada $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

Satu cara untuk memahami takrifan $\vert\psi_a\rangle$ ini adalah melihatnya sebagai penormalan vektor $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ di mana kita bahagi dengan jumlah entri dalam vektor ini untuk mendapat vektor kebarangkalian. Penormalan ini secara berkesan mengambil kira pengkondisian pada peristiwa bahawa pengukuran $\mathsf{X}$ telah menghasilkan hasil $a.$

Untuk contoh yang spesifik, andaikan set keadaan klasik $\mathsf{X}$ ialah $\Sigma = \{0,1\},$ set keadaan klasik $\mathsf{Y}$ ialah $\Gamma = \{1,2,3\},$ dan keadaan kebarangkalian $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ialah

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

Matlamat kita adalah untuk menentukan kebarangkalian dua hasil yang mungkin ($0$ dan $1$), dan mengira apa keadaan kebarangkalian $\mathsf{Y}$ untuk dua hasil tersebut, dengan andaian sistem $\mathsf{X}$ diukur.

Menggunakan bilineariti hasil darab tensor, dan khususnya hakikat bahawa ia linear dalam argumen kedua, kita boleh menulis semula vektor $\vert \pi \rangle$ seperti berikut:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

Dalam kata-kata, apa yang kita lakukan adalah mengasingkan vektor asas standard yang berbeza untuk sistem pertama (iaitu yang diukur), mengkuantumkan setiap satu dengan gabungan linear vektor asas standard untuk sistem kedua yang kita peroleh dengan memilih entri vektor asal yang konsisten dengan keadaan klasik sistem pertama yang berkaitan. Sejenak berfikir mendedahkan bahawa ini sentiasa mungkin, tanpa mengira vektor mana yang kita mulai.

Setelah menyatakan vektor kebarangkalian kita dengan cara ini, kesan pengukuran sistem pertama menjadi mudah untuk dianalisis. Kebarangkalian dua hasil boleh diperoleh dengan menjumlahkan kebarangkalian dalam tanda kurung.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

Kebarangkalian-kebarangkalian ini berjumlah satu, seperti yang dijangkakan — tetapi ini adalah semakan berguna pada pengiraan kita.

Dan sekarang, keadaan kebarangkalian $\mathsf{Y}$ yang bersyarat pada setiap hasil yang mungkin boleh disimpulkan dengan menormalkan vektor-vektor dalam tanda kurung. Maksudnya, kita bahagi vektor-vektor ini dengan kebarangkalian yang berkaitan yang baru kita kira, supaya ia menjadi vektor kebarangkalian.

Jadi, bersyarat pada $\mathsf{X}$ ialah $0,$ keadaan kebarangkalian $\mathsf{Y}$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

dan bersyarat pada pengukuran $\mathsf{X}$ ialah $1,$ keadaan kebarangkalian $\mathsf{Y}$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

Operasi pada keadaan kebarangkalian

Untuk mengakhiri perbincangan tentang maklumat klasik bagi sistem berbilang, kita akan mempertimbangkan operasi pada sistem berbilang dalam keadaan kebarangkalian. Mengikut idea yang sama seperti sebelumnya, kita boleh memandang sistem berbilang secara kolektif sebagai sistem tunggal yang berbilang, dan kemudian merujuk kepada pelajaran sebelumnya untuk melihat bagaimana ini berfungsi.

Kembali kepada set-up biasa di mana kita ada dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ mari kita pertimbangkan operasi klasik pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Berdasarkan pelajaran sebelumnya dan perbincangan di atas, kita simpulkan bahawa mana-mana operasi sedemikian diwakili oleh matriks stokastik yang baris dan lajurnya diindeks oleh hasil darab Cartesian $\Sigma\times\Gamma.$

Sebagai contoh, andaikan bahawa $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bit, dan pertimbangkan operasi dengan penerangan berikut.

Operasi

Jika $\mathsf{X} = 1,$ lakukan operasi NOT pada $\mathsf{Y}.$
Jika tidak, jangan buat apa-apa.

Ini adalah operasi deterministik yang dikenali sebagai operasi controlled-NOT, di mana $\mathsf{X}$ adalah bit kawalan yang menentukan sama ada operasi NOT perlu dikenakan pada bit sasaran $\mathsf{Y}.$ Berikut adalah perwakilan matriks bagi operasi ini:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Tindakannya pada keadaan asas standard adalah seperti berikut.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Jika kita menukar peranan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ menjadikan $\mathsf{Y}$ sebagai bit kawalan dan $\mathsf{X}$ sebagai bit sasaran, maka perwakilan matriks operasi tersebut akan menjadi

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

dan tindakannya pada keadaan asas standard akan menjadi seperti ini:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

Contoh lain adalah operasi dengan penerangan ini:

Operasi

Lakukan salah satu daripada dua operasi berikut, masing-masing dengan kebarangkalian $1/2:$

1. Tetapkan $\mathsf{Y}$ sama dengan $\mathsf{X}.$
2. Tetapkan $\mathsf{X}$ sama dengan $\mathsf{Y}.$

Perwakilan matriks bagi operasi ini adalah seperti berikut:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Tindakan operasi ini pada vektor asas standard adalah seperti berikut:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

Dalam contoh-contoh ini, kita hanya memandang dua sistem bersama sebagai satu sistem dan meneruskan seperti dalam pelajaran sebelumnya.

Perkara yang sama boleh dilakukan untuk sebarang bilangan sistem. Sebagai contoh, bayangkan kita ada tiga bit, dan kita menambah tiga bit modulo $8$ — bermakna kita menganggap tiga bit sebagai pengekodan nombor antara $0$ dan $7$ menggunakan notasi binari, tambah $1,$ dan kemudian ambil baki selepas dibahagi dengan $8.$ Satu cara untuk menyatakan operasi ini adalah seperti ini:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

Cara lain untuk menyatakannya ialah sebagai

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

dengan andaian kita bersetuju bahawa nombor dari $0$ hingga $7$ dalam ket merujuk kepada pengekodan binari tiga-bit nombor-nombor tersebut. Pilihan ketiga adalah untuk menyatakan operasi ini sebagai matriks.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Operasi bebas

Sekarang andaikan kita ada beberapa sistem dan kita secara bebas melakukan operasi yang berbeza pada sistem-sistem tersebut secara berasingan.

Sebagai contoh, dengan set-up biasa kita yang ada dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang mempunyai set keadaan klasik $\Sigma$ dan $\Gamma,$ masing-masing, mari andaikan kita melakukan satu operasi pada $\mathsf{X}$ dan, secara bebas sepenuhnya, operasi lain pada $\mathsf{Y}.$ Seperti yang kita tahu dari pelajaran sebelumnya, operasi-operasi ini diwakili oleh matriks stokastik — dan untuk lebih tepat, katakan bahawa operasi pada $\mathsf{X}$ diwakili oleh matriks $M$ dan operasi pada $\mathsf{Y}$ diwakili oleh matriks $N.$ Jadi, baris dan lajur $M$ mempunyai indeks yang disepadankan dengan elemen-elemen $\Sigma$ dan, begitu juga, baris dan lajur $N$ bersesuaian dengan elemen-elemen $\Gamma.$

Soalan yang wajar ditanya ialah: jika kita memandang $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ bersama sebagai satu sistem gabungan tunggal $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ apakah matriks yang mewakili tindakan gabungan dua operasi pada sistem gabungan ini? Untuk menjawab soalan ini, kita perlu terlebih dahulu memperkenalkan hasil darab tensor bagi matriks, yang serupa dengan hasil darab tensor bagi vektor dan ditakrifkan secara analog.

Hasil darab tensor bagi matriks

Hasil darab tensor $M\otimes N$ bagi matriks-matriks

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

dan

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

adalah matriks

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

Setara dengan itu, hasil darab tensor $M$ dan $N$ ditakrifkan oleh persamaan

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

yang benar untuk setiap pilihan $a,b\in\Sigma$ dan $c,d\in\Gamma.$

Cara lain yang alternatif, tetapi setara, untuk menghuraikan $M\otimes N$ ialah ia adalah matriks unik yang memenuhi persamaan

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

untuk setiap pilihan vektor $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ yang mungkin, dengan andaian indeks $\vert\phi\rangle$ bersesuaian dengan elemen-elemen $\Sigma$ dan indeks $\vert\psi\rangle$ bersesuaian dengan $\Gamma.$

Mengikut konvensyen yang diterangkan sebelumnya untuk menyusun elemen-elemen hasil darab Cartesian, kita juga boleh menulis hasil darab tensor dua matriks secara eksplisit seperti berikut:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Hasil darab tensor bagi tiga atau lebih matriks ditakrifkan dengan cara yang analog. Jika $M_0, \ldots, M_{n-1}$ adalah matriks-matriks yang indeksnya bersesuaian dengan set keadaan klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ maka hasil darab tensor $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ ditakrifkan oleh syarat bahawa

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

untuk setiap pilihan keadaan klasik $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ Sebagai alternatif, hasil darab tensor tiga atau lebih matriks boleh ditakrifkan secara rekursif, dalam bentuk hasil darab tensor dua matriks, sama seperti yang kita perhatikan untuk vektor.

Hasil darab tensor bagi matriks kadang-kadang dikatakan bersifat multiplikatif kerana persamaan

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

sentiasa benar, untuk mana-mana pilihan matriks $M_0,\ldots,M_{n-1}$ dan $N_0\ldots,N_{n-1},$ dengan syarat hasil darab $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ masuk akal.

Operasi bebas (sambungan)

Kini kita boleh menjawab soalan yang ditanya sebelumnya: jika $M$ adalah operasi kebarangkalian pada $\mathsf{X},$ $N$ adalah operasi kebarangkalian pada $\mathsf{Y},$ dan kedua-dua operasi dilakukan secara bebas, maka operasi yang terhasil pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah hasil darab tensor $M\otimes N.$

Jadi, untuk kedua-dua keadaan kebarangkalian dan operasi kebarangkalian, hasil darab tensor mewakili kebebasan. Jika kita ada dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang secara bebas berada dalam keadaan kebarangkalian $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle,$ maka sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan kebarangkalian $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ dan jika kita mengenakan operasi kebarangkalian $M$ dan $N$ pada dua sistem secara bebas, maka tindakan yang terhasil pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dihuraikan oleh operasi $M\otimes N.$

Mari kita lihat satu contoh, yang mengingatkan kita tentang operasi kebarangkalian pada satu bit dari pelajaran sebelumnya: jika keadaan klasik bit itu ialah $0,$ ia dibiarkan begitu sahaja; dan jika keadaan klasik bit itu ialah $1,$ ia dibalik kepada 0 dengan kebarangkalian $1/2.$ Kita perhatikan bahawa operasi ini diwakili oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Jika operasi ini dilakukan pada bit $\mathsf{X},$ dan operasi NOT (secara bebas) dilakukan pada bit kedua $\mathsf{Y},$ maka operasi gabungan pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ mempunyai perwakilan matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

Dengan pemeriksaan, kita dapat lihat bahawa ini adalah matriks stokastik. Ini sentiasa berlaku: hasil darab tensor dua atau lebih matriks stokastik sentiasa bersifat stokastik.

Situasi biasa yang kita temui adalah satu di mana satu operasi dilakukan pada satu sistem dan tiada apa yang dilakukan pada sistem lain. Dalam kes sedemikian, preskripsi yang sama diikuti, dengan mengambil kira bahawa tidak melakukan apa-apa diwakili oleh matriks identiti. Sebagai contoh, menetapkan semula bit $\mathsf{X}$ ke keadaan $0$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ menghasilkan operasi kebarangkalian (dan sebenarnya deterministik) pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang diwakili oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$