Algoritma pengoptimuman hampiran kuantum

Anggaran penggunaan: 22 minit pada pemproses Heron r3 (NOTA: Ini hanyalah anggaran. Masa jalan anda mungkin berbeza.)

Latar Belakang

Tutorial ini menunjukkan cara melaksanakan Algoritma Pengoptimuman Hampiran Kuantum (QAOA) – kaedah iteratif hibrid (kuantum-klasik) – dalam konteks corak Qiskit. Anda akan menyelesaikan masalah Pemotongan Maksimum (atau Max-Cut) untuk graf kecil terlebih dahulu, kemudian belajar cara melaksanakannya pada skala utiliti. Semua pelaksanaan perkakasan dalam tutorial ini sepatutnya dapat dijalankan dalam had masa Pelan Terbuka yang boleh diakses secara percuma.

Masalah Max-Cut ialah masalah pengoptimuman yang sukar diselesaikan (lebih khusus, ia adalah masalah NP-hard) dengan pelbagai aplikasi dalam pengelompokan, sains rangkaian, dan fizik statistik. Tutorial ini mempertimbangkan graf nod yang disambungkan oleh tepi, dan bertujuan untuk membahagikan nod kepada dua set supaya bilangan tepi yang dilalui potongan ini dimaksimumkan.

Keperluan

Sebelum memulakan tutorial ini, pastikan anda telah memasang perkara berikut:

• Qiskit SDK v1.0 atau lebih baharu, dengan sokongan visualisasi
• Qiskit Runtime v0.22 atau lebih baharu (pip install qiskit-ibm-runtime)

Selain itu, anda perlu mengakses instans pada IBM Quantum Platform. Perhatikan bahawa tutorial ini tidak boleh dilaksanakan pada Pelan Terbuka, kerana ia menjalankan beban kerja menggunakan sesi, yang hanya tersedia dengan akses Pelan Premium.

Persediaan

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime rustworkx scipy

import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import rustworkx as rx
from rustworkx.visualization import mpl_draw as draw_graph
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from collections import defaultdict
from typing import Sequence

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.circuit.library import QAOAAnsatz
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import Session, EstimatorV2 as Estimator
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

Bahagian I. QAOA skala kecil

Bahagian pertama tutorial ini menggunakan masalah Max-Cut berskala kecil untuk menggambarkan langkah-langkah menyelesaikan masalah pengoptimuman menggunakan komputer kuantum.

Untuk memberikan konteks sebelum memetakan masalah ini kepada algoritma kuantum, anda boleh lebih memahami bagaimana masalah Max-Cut menjadi masalah pengoptimuman kombinatorial klasik dengan terlebih dahulu mempertimbangkan peminimuman fungsi $f(x)$

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n}f(x),$$

di mana input $x$ ialah vektor yang komponennya sepadan dengan setiap nod dalam graf. Kemudian, hadkan setiap komponen ini kepada sama ada $0$ atau $1$ (yang mewakili sama ada ia dimasukkan atau tidak dalam potongan). Kes contoh berskala kecil ini menggunakan graf dengan $n=5$ nod.

Anda boleh menulis fungsi pasangan nod $i,j$ yang menunjukkan sama ada tepi $(i,j)$ yang sepadan berada dalam potongan. Sebagai contoh, fungsi $x_i + x_j - 2 x_i x_j$ bernilai 1 hanya jika salah satu daripada $x_i$ atau $x_j$ adalah 1 (yang bermaksud tepi berada dalam potongan) dan sifar sebaliknya. Masalah memaksimumkan tepi dalam potongan boleh diformulasikan sebagai

$$\max_{x\in \{0, 1\}^n} \sum_{(i,j)} x_i + x_j - 2 x_i x_j,$$

yang boleh ditulis semula sebagai peminimuman dalam bentuk

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n} \sum_{(i,j)} 2 x_i x_j - x_i - x_j.$$

Minimum $f(x)$ dalam kes ini adalah apabila bilangan tepi yang dilalui potongan adalah maksimum. Seperti yang anda lihat, tiada apa-apa yang berkaitan dengan pengkomputeran kuantum lagi. Anda perlu memformulasikan semula masalah ini kepada sesuatu yang boleh difahami oleh komputer kuantum. Mulakan masalah anda dengan mencipta graf dengan $n=5$ nod.

n = 5

graph = rx.PyGraph()
graph.add_nodes_from(np.arange(0, n, 1))
edge_list = [
    (0, 1, 1.0),
    (0, 2, 1.0),
    (0, 4, 1.0),
    (1, 2, 1.0),
    (2, 3, 1.0),
    (3, 4, 1.0),
]
graph.add_edges_from(edge_list)
draw_graph(graph, node_size=600, with_labels=True)

Langkah 1: Petakan input klasik kepada masalah kuantum

Langkah pertama corak ini ialah memetakan masalah klasik (graf) kepada litar dan operator kuantum. Untuk melakukan ini, terdapat tiga langkah utama yang perlu diambil:

1. Gunakan siri reformulasi matematik untuk mewakili masalah ini menggunakan notasi masalah Pengoptimuman Binari Tak Berkekangan Kuadratik (QUBO).
2. Tulis semula masalah pengoptimuman sebagai Hamiltonian yang keadaan asasnya sepadan dengan penyelesaian yang meminimumkan fungsi kos.
3. Cipta litar kuantum yang akan menyediakan keadaan asas Hamiltonian ini melalui proses yang serupa dengan penganilan kuantum.

Nota: Dalam metodologi QAOA, anda akhirnya ingin mempunyai operator (Hamiltonian) yang mewakili fungsi kos algoritma hibrid kita, serta litar terparameter (Ansatz) yang mewakili keadaan kuantum dengan penyelesaian calon kepada masalah tersebut. Anda boleh mengambil sampel daripada keadaan calon ini dan kemudian menilainya menggunakan fungsi kos.

Graf → masalah pengoptimuman

Langkah pertama pemetaan ialah perubahan notasi. Berikut menyatakan masalah dalam notasi QUBO:

$$\min_{x\in \{0, 1\}^n}x^T Q x,$$

di mana $Q$ ialah matriks $n\times n$ nombor nyata, $n$ sepadan dengan bilangan nod dalam graf anda, $x$ ialah vektor pemboleh ubah binari yang diperkenalkan di atas, dan $x^T$ menunjukkan transpos vektor $x$.

Maximize
 -2*x_0*x_1 - 2*x_0*x_2 - 2*x_0*x_4 - 2*x_1*x_2 - 2*x_2*x_3 - 2*x_3*x_4 + 3*x_0
 + 2*x_1 + 3*x_2 + 2*x_3 + 2*x_4

Subject to
  No constraints

  Binary variables (5)
    x_0 x_1 x_2 x_3 x_4

Masalah pengoptimuman → Hamiltonian

Anda kemudian boleh memformulasikan semula masalah QUBO sebagai Hamiltonian (di sini, matriks yang mewakili tenaga suatu sistem):

$$H_C=\sum_{ij}Q_{ij}Z_iZ_j + \sum_i b_iZ_i.$$

Langkah reformulasi daripada masalah QAOA kepada Hamiltonian

Untuk menunjukkan bagaimana masalah QAOA boleh ditulis semula dengan cara ini, pertama gantikan pemboleh ubah binari $x_i$ dengan set pemboleh ubah baru $z_i\in\{-1, 1\}$ melalui

$$x_i = \frac{1-z_i}{2}.$$

Di sini anda dapat lihat bahawa jika $x_i$ adalah $0$, maka $z_i$ mesti $1$. Apabila $x_i$ digantikan dengan $z_i$ dalam masalah pengoptimuman ($x^TQx$), formulasi yang setara boleh diperoleh.

$$x^TQx=\sum_{ij}Q_{ij}x_ix_j \\ =\frac{1}{4}\sum_{ij}Q_{ij}(1-z_i)(1-z_j) \\=\frac{1}{4}\sum_{ij}Q_{ij}z_iz_j-\frac{1}{4}\sum_{ij}(Q_{ij}+Q_{ji})z_i + \frac{n^2}{4}.$$

Sekarang jika kita takrifkan $b_i=-\sum_{j}(Q_{ij}+Q_{ji})$, buang faktor pra, dan sebutan pemalar $n^2$, kita tiba pada dua formulasi setara bagi masalah pengoptimuman yang sama.

$$\min_{x\in\{0,1\}^n} x^TQx\Longleftrightarrow \min_{z\in\{-1,1\}^n}z^TQz + b^Tz$$

Di sini, $b$ bergantung kepada $Q$. Perhatikan bahawa untuk mendapatkan $z^TQz + b^Tz$ kita menggugurkan faktor 1/4 dan ofset pemalar $n^2$ yang tidak memainkan peranan dalam pengoptimuman.

Sekarang, untuk mendapatkan formulasi kuantum masalah tersebut, naikkan pemboleh ubah $z_i$ kepada matriks Pauli $Z$, seperti matriks $2\times 2$ dalam bentuk

$$Z_i = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}.$$

Apabila anda menggantikan matriks-matriks ini dalam masalah pengoptimuman di atas, anda memperoleh Hamiltonian berikut

$$H_C=\sum_{ij}Q_{ij}Z_iZ_j + \sum_i b_iZ_i.$$

Ingat juga bahawa matriks $Z$ tertanam dalam ruang komputasi komputer kuantum, iaitu ruang Hilbert bersaiz $2^n\times 2^n$. Oleh itu, anda harus memahami sebutan seperti $Z_iZ_j$ sebagai hasil darab tensor $Z_i\otimes Z_j$ yang tertanam dalam ruang Hilbert $2^n\times 2^n$. Sebagai contoh, dalam masalah dengan lima pemboleh ubah keputusan, sebutan $Z_1Z_3$ difahami bermaksud $I\otimes Z_3\otimes I\otimes Z_1\otimes I$ di mana $I$ ialah matriks identiti $2\times 2$.

Hamiltonian ini dipanggil Hamiltonian fungsi kos. Ia mempunyai sifat bahawa keadaan asasnya sepadan dengan penyelesaian yang meminimumkan fungsi kos $f(x)$. Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah pengoptimuman anda, kini anda perlu menyediakan keadaan asas $H_C$ (atau keadaan dengan pertindihan tinggi dengannya) pada komputer kuantum. Kemudian, mengambil sampel daripada keadaan ini akan, dengan kebarangkalian tinggi, menghasilkan penyelesaian kepada $min~f(x)$. Sekarang mari kita pertimbangkan Hamiltonian $H_C$ untuk masalah Max-Cut. Biarkan setiap bucu graf dikaitkan dengan qubit dalam keadaan $|0\rangle$ atau $|1\rangle$, di mana nilai menandakan set yang dimasuki bucu tersebut. Matlamat masalah adalah untuk memaksimumkan bilangan tepi $(v_1, v_2)$ di mana $v_1 = |0\rangle$ dan $v_2 = |1\rangle$, atau sebaliknya. Jika kita kaitkan operator $Z$ dengan setiap qubit, di mana

$$Z|0\rangle = |0\rangle \qquad Z|1\rangle = -|1\rangle$$

maka tepi $(v_1, v_2)$ termasuk dalam potongan jika nilai eigen $(Z_1|v_1\rangle) \cdot (Z_2|v_2\rangle) = -1$; dengan kata lain, qubit yang dikaitkan dengan $v_1$ dan $v_2$ adalah berbeza. Begitu juga, $(v_1, v_2)$ tidak termasuk dalam potongan jika nilai eigen $(Z_1|v_1\rangle) \cdot (Z_2|v_2\rangle) = 1$. Perhatikan bahawa kita tidak mempedulikan keadaan qubit tepat yang dikaitkan dengan setiap bucu, sebaliknya kita hanya mempedulikan sama ada ia sama atau tidak merentasi satu tepi. Masalah Max-Cut memerlukan kita mencari penetapan qubit pada bucu-bucu supaya nilai eigen Hamiltonian berikut diminimumkan

$$H_C = \sum_{(i,j) \in e} Q_{ij} \cdot Z_i Z_j.$$

Dengan kata lain, $b_i = 0$ untuk semua $i$ dalam masalah Max-Cut. Nilai $Q_{ij}$ menandakan berat tepi. Dalam tutorial ini kita mempertimbangkan graf tidak berwajaran, iaitu $Q_{ij} = 1.0$ untuk semua $i, j$.

def build_max_cut_paulis(
    graph: rx.PyGraph,
) -> list[tuple[str, list[int], float]]:
    """Convert the graph to Pauli list.

    This function does the inverse of `build_max_cut_graph`
    """
    pauli_list = []
    for edge in list(graph.edge_list()):
        weight = graph.get_edge_data(edge[0], edge[1])
        pauli_list.append(("ZZ", [edge[0], edge[1]], weight))
    return pauli_list

max_cut_paulis = build_max_cut_paulis(graph)
cost_hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(max_cut_paulis, n)
print("Cost Function Hamiltonian:", cost_hamiltonian)

Cost Function Hamiltonian: SparsePauliOp(['IIIZZ', 'IIZIZ', 'ZIIIZ', 'IIZZI', 'IZZII', 'ZZIII'],
              coeffs=[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])

Hamiltonian → litar kuantum

Hamiltonian $H_C$ mengandungi definisi kuantum masalah anda. Sekarang anda boleh mencipta litar kuantum yang akan membantu mengambil sampel penyelesaian yang baik daripada komputer kuantum. QAOA diilhamkan oleh penganilan kuantum dan menggunakan lapisan operator bersilih-ganti dalam litar kuantum.

Idea umumnya ialah memulakan dalam keadaan asas sistem yang diketahui, $H^{\otimes n}|0\rangle$ di atas, kemudian mengarahkan sistem ke dalam keadaan asas operator kos yang diminati. Ini dilakukan dengan menggunakan operator $\exp\{-i\gamma_k H_C\}$ dan $\exp\{-i\beta_k H_m\}$ dengan sudut $\gamma_1,...,\gamma_p$ dan $\beta_1,...,\beta_p~$.

Litar kuantum yang anda jana adalah terparameter oleh $\gamma_i$ dan $\beta_i$, jadi anda boleh mencuba nilai $\gamma_i$ dan $\beta_i$ yang berbeza dan mengambil sampel daripada keadaan yang terhasil.

Dalam kes ini, anda akan mencuba contoh dengan satu lapisan QAOA yang mengandungi dua parameter: $\gamma_1$ dan $\beta_1$.

circuit = QAOAAnsatz(cost_operator=cost_hamiltonian, reps=2)
circuit.measure_all()

circuit.draw("mpl")

circuit.parameters

ParameterView([ParameterVectorElement(β[0]), ParameterVectorElement(β[1]), ParameterVectorElement(γ[0]), ParameterVectorElement(γ[1])])

Langkah 2: Optimumkan masalah untuk pelaksanaan perkakasan kuantum

Litar di atas mengandungi siri abstraksi yang berguna untuk berfikir tentang algoritma kuantum, tetapi tidak boleh dijalankan pada perkakasan. Untuk dapat dijalankan pada QPU, litar perlu melalui siri operasi yang membentuk langkah transpilasi atau pengoptimuman litar dalam corak tersebut.

Perpustakaan Qiskit menawarkan siri laluan transpilasi yang melayani pelbagai transformasi litar. Anda perlu memastikan litar anda dioptimumkan untuk tujuan anda.

Transpilasi mungkin melibatkan beberapa langkah, seperti:

• Pemetaan awal qubit dalam litar (seperti pemboleh ubah keputusan) kepada qubit fizikal pada peranti.
• Pengembangan arahan dalam litar kuantum kepada arahan natif perkakasan yang difahami oleh Backend.
• Penghalauan mana-mana qubit dalam litar yang berinteraksi kepada qubit fizikal yang bersebelahan antara satu sama lain.
• Penindasan ralat dengan menambah get satu-qubit untuk menindas hingar dengan penyahgandingan dinamik.

Maklumat lanjut tentang transpilasi tersedia dalam dokumentasi kami.

Kod berikut mengubah dan mengoptimumkan litar abstrak kepada format yang sedia untuk dilaksanakan pada salah satu peranti yang boleh diakses melalui awan menggunakan perkhidmatan Qiskit IBM Runtime.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
print(backend)

# Create pass manager for transpilation
pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)

candidate_circuit = pm.run(circuit)
candidate_circuit.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

<IBMBackend('test_heron_pok_1')>

Langkah 3: Laksanakan menggunakan primitif Qiskit

Dalam aliran kerja QAOA, parameter QAOA optimum ditemui dalam gelung pengoptimuman iteratif, yang menjalankan siri penilaian litar dan menggunakan pengoptimum klasik untuk mencari parameter $\beta_k$ dan $\gamma_k$ yang optimum. Gelung pelaksanaan ini dilaksanakan melalui langkah-langkah berikut:

1. Takrifkan parameter awal
2. Mulakan Session baharu yang mengandungi gelung pengoptimuman dan primitif yang digunakan untuk mengambil sampel litar
3. Setelah set parameter optimum ditemui, laksanakan litar sekali lagi untuk mendapatkan taburan akhir yang akan digunakan dalam langkah pasca-proses.

Takrifkan litar dengan parameter awal

Kita mulakan dengan parameter yang dipilih secara sewenang-wenangnya.

initial_gamma = np.pi
initial_beta = np.pi / 2
init_params = [initial_beta, initial_beta, initial_gamma, initial_gamma]

Takrifkan Backend dan primitif pelaksanaan

Gunakan primitif Qiskit Runtime untuk berinteraksi dengan Backend IBM®. Dua primitif ialah Sampler dan Estimator, dan pilihan primitif bergantung pada jenis pengukuran yang ingin anda jalankan pada komputer kuantum. Untuk meminimumkan $H_C$, gunakan Estimator kerana pengukuran fungsi kos hanyalah nilai jangkaan $\langle H_C \rangle$.

Jalankan

Primitif menawarkan pelbagai mod pelaksanaan untuk menjadualkan beban kerja pada peranti kuantum, dan aliran kerja QAOA berjalan secara iteratif dalam sesi.

Anda boleh memasukkan fungsi kos berasaskan Sampler ke dalam rutin peminimuman SciPy untuk mencari parameter optimum.

def cost_func_estimator(params, ansatz, hamiltonian, estimator):
    # transform the observable defined on virtual qubits to
    # an observable defined on all physical qubits
    isa_hamiltonian = hamiltonian.apply_layout(ansatz.layout)

    pub = (ansatz, isa_hamiltonian, params)
    job = estimator.run([pub])

    results = job.result()[0]
    cost = results.data.evs

    objective_func_vals.append(cost)

    return cost

objective_func_vals = []  # Global variable
with Session(backend=backend) as session:
    # If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `session=`
    estimator = Estimator(mode=session)
    estimator.options.default_shots = 1000

    # Set simple error suppression/mitigation options
    estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
    estimator.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
    estimator.options.twirling.enable_gates = True
    estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"

    result = minimize(
        cost_func_estimator,
        init_params,
        args=(candidate_circuit, cost_hamiltonian, estimator),
        method="COBYLA",
        tol=1e-2,
    )
    print(result)

message: Return from COBYLA because the trust region radius reaches its lower bound.
 success: True
  status: 0
     fun: -1.6295230263157894
       x: [ 1.530e+00  1.439e+00  4.071e+00  4.434e+00]
    nfev: 26
   maxcv: 0.0

Pengoptimum berjaya mengurangkan kos dan mencari parameter yang lebih baik untuk litar.

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(objective_func_vals)
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

Setelah anda menemui parameter optimum untuk litar, anda boleh menetapkan parameter ini dan mengambil sampel taburan akhir yang diperoleh dengan parameter yang dioptimumkan. Di sinilah primitif Sampler harus digunakan kerana ia adalah taburan kebarangkalian rentetan bit yang sepadan dengan potongan optimum graf.

Nota: Ini bermakna menyediakan keadaan kuantum $\psi$ dalam komputer dan kemudian mengukurnya. Pengukuran akan meruntuhkan keadaan kepada satu keadaan asas komputasi tunggal - contohnya, 010101110000... - yang sepadan dengan penyelesaian calon $x$ kepada masalah pengoptimuman asal kita ($\max f(x)$ atau $\min f(x)$ bergantung kepada tugas).

optimized_circuit = candidate_circuit.assign_parameters(result.x)
optimized_circuit.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

# If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `backend=`
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = 10000

# Set simple error suppression/mitigation options
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = True
sampler.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
sampler.options.twirling.enable_gates = True
sampler.options.twirling.num_randomizations = "auto"

pub = (optimized_circuit,)
job = sampler.run([pub], shots=int(1e4))
counts_int = job.result()[0].data.meas.get_int_counts()
counts_bin = job.result()[0].data.meas.get_counts()
shots = sum(counts_int.values())
final_distribution_int = {key: val / shots for key, val in counts_int.items()}
final_distribution_bin = {key: val / shots for key, val in counts_bin.items()}
print(final_distribution_int)

{28: 0.0328, 11: 0.0343, 2: 0.0296, 25: 0.0308, 16: 0.0303, 27: 0.0302, 13: 0.0323, 7: 0.0312, 4: 0.0296, 9: 0.0295, 26: 0.0321, 30: 0.031, 23: 0.0324, 31: 0.0303, 21: 0.0335, 15: 0.0317, 12: 0.0309, 29: 0.0297, 3: 0.0313, 5: 0.0312, 6: 0.0274, 10: 0.0329, 22: 0.0353, 0: 0.0315, 20: 0.0326, 8: 0.0322, 14: 0.0306, 17: 0.0295, 18: 0.0279, 1: 0.0325, 24: 0.0334, 19: 0.0295}

Langkah 4: Pasca-proses dan kembalikan keputusan dalam format klasik yang dikehendaki

Langkah pasca-proses mentafsirkan output pensampelan untuk mengembalikan penyelesaian bagi masalah asal anda. Dalam kes ini, anda berminat dengan rentetan bit yang mempunyai kebarangkalian tertinggi kerana ini menentukan potongan optimum. Simetri dalam masalah membolehkan empat penyelesaian yang mungkin, dan proses pensampelan akan mengembalikan salah satunya dengan kebarangkalian yang sedikit lebih tinggi, tetapi anda dapat lihat dalam taburan yang diplot di bawah bahawa empat rentetan bit jelas lebih mungkin berbanding yang lain.

# auxiliary functions to sample most likely bitstring
def to_bitstring(integer, num_bits):
    result = np.binary_repr(integer, width=num_bits)
    return [int(digit) for digit in result]

keys = list(final_distribution_int.keys())
values = list(final_distribution_int.values())
most_likely = keys[np.argmax(np.abs(values))]
most_likely_bitstring = to_bitstring(most_likely, len(graph))
most_likely_bitstring.reverse()

print("Result bitstring:", most_likely_bitstring)

Result bitstring: [0, 1, 1, 0, 1]

matplotlib.rcParams.update({"font.size": 10})
final_bits = final_distribution_bin
values = np.abs(list(final_bits.values()))
top_4_values = sorted(values, reverse=True)[:4]
positions = []
for value in top_4_values:
    positions.append(np.where(values == value)[0])
fig = plt.figure(figsize=(11, 6))
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
plt.xticks(rotation=45)
plt.title("Result Distribution")
plt.xlabel("Bitstrings (reversed)")
plt.ylabel("Probability")
ax.bar(list(final_bits.keys()), list(final_bits.values()), color="tab:grey")
for p in positions:
    ax.get_children()[int(p[0])].set_color("tab:purple")
plt.show()

Visualisasikan potongan terbaik

Daripada rentetan bit optimum, anda kemudian boleh menggambarkan potongan ini pada graf asal.

# auxiliary function to plot graphs
def plot_result(G, x):
    colors = ["tab:grey" if i == 0 else "tab:purple" for i in x]
    pos, _default_axes = rx.spring_layout(G), plt.axes(frameon=True)
    rx.visualization.mpl_draw(
        G, node_color=colors, node_size=100, alpha=0.8, pos=pos
    )

plot_result(graph, most_likely_bitstring)

Dan kira nilai potongan:

def evaluate_sample(x: Sequence[int], graph: rx.PyGraph) -> float:
    assert len(x) == len(
        list(graph.nodes())
    ), "The length of x must coincide with the number of nodes in the graph."
    return sum(
        x[u] * (1 - x[v]) + x[v] * (1 - x[u])
        for u, v in list(graph.edge_list())
    )

cut_value = evaluate_sample(most_likely_bitstring, graph)
print("The value of the cut is:", cut_value)

The value of the cut is: 5

Bahagian II. Skala ia lebih besar!

Anda mempunyai akses kepada banyak peranti dengan lebih 100 qubit pada IBM Quantum® Platform. Pilih salah satu untuk menyelesaikan Max-Cut pada graf berwajaran 100 nod. Ini ialah masalah "skala utiliti". Langkah-langkah untuk membina aliran kerja diikuti sama seperti di atas, tetapi dengan graf yang jauh lebih besar.

n = 100  # Number of nodes in graph
graph_100 = rx.PyGraph()
graph_100.add_nodes_from(np.arange(0, n, 1))
elist = []
for edge in backend.coupling_map:
    if edge[0] < n and edge[1] < n:
        elist.append((edge[0], edge[1], 1.0))
graph_100.add_edges_from(elist)
draw_graph(graph_100, node_size=200, with_labels=True, width=1)

Langkah 1: Petakan input klasik kepada masalah kuantum

Graf → Hamiltonian

Pertama, tukar graf yang ingin anda selesaikan terus kepada Hamiltonian yang sesuai untuk QAOA.

max_cut_paulis_100 = build_max_cut_paulis(graph_100)

cost_hamiltonian_100 = SparsePauliOp.from_sparse_list(max_cut_paulis_100, 100)
print("Cost Function Hamiltonian:", cost_hamiltonian_100)

Cost Function Hamiltonian: SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j,
 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j, 1.+0.j])

Hamiltonian → litar kuantum

circuit_100 = QAOAAnsatz(cost_operator=cost_hamiltonian_100, reps=1)
circuit_100.measure_all()

circuit_100.draw("mpl", fold=False, scale=0.2, idle_wires=False)

Langkah 2: Optimumkan masalah untuk pelaksanaan kuantum

Untuk menskalakan langkah pengoptimuman litar kepada masalah skala utiliti, anda boleh memanfaatkan strategi transpilasi berprestasi tinggi yang diperkenalkan dalam Qiskit SDK v1.0. Alat lain termasuk perkhidmatan Transpiler baharu dengan laluan Transpiler dipertingkat AI.

pm = generate_preset_pass_manager(optimization_level=3, backend=backend)

candidate_circuit_100 = pm.run(circuit_100)
candidate_circuit_100.draw("mpl", fold=False, scale=0.1, idle_wires=False)

Langkah 3: Laksanakan menggunakan primitif Qiskit

Untuk menjalankan QAOA, anda perlu mengetahui parameter optimum $\gamma_k$ dan $\beta_k$ untuk dimasukkan ke dalam litar variasional. Optimumkan parameter ini dengan menjalankan gelung pengoptimuman pada peranti. Sel ini menghantar kerja sehingga nilai fungsi kos menumpu dan parameter optimum untuk $\gamma_k$ dan $\beta_k$ ditentukan.

Cari penyelesaian calon dengan menjalankan pengoptimuman pada peranti

Pertama, jalankan gelung pengoptimuman untuk parameter litar pada peranti.

initial_gamma = np.pi
initial_beta = np.pi / 2
init_params = [initial_beta, initial_gamma]

objective_func_vals = []  # Global variable
with Session(backend=backend) as session:
    # If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `session=`
    estimator = Estimator(mode=session)

    estimator.options.default_shots = 1000

    # Set simple error suppression/mitigation options
    estimator.options.dynamical_decoupling.enable = True
    estimator.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
    estimator.options.twirling.enable_gates = True
    estimator.options.twirling.num_randomizations = "auto"

    result = minimize(
        cost_func_estimator,
        init_params,
        args=(candidate_circuit_100, cost_hamiltonian_100, estimator),
        method="COBYLA",
    )
    print(result)

message: Return from COBYLA because the trust region radius reaches its lower bound.
 success: True
  status: 0
     fun: -3.9939191365979383
       x: [ 1.571e+00  3.142e+00]
    nfev: 29
   maxcv: 0.0

Setelah parameter optimum daripada menjalankan QAOA pada peranti ditemui, tetapkan parameter pada litar.

optimized_circuit_100 = candidate_circuit_100.assign_parameters(result.x)
optimized_circuit_100.draw("mpl", fold=False, idle_wires=False)

Akhirnya, laksanakan litar dengan parameter optimum untuk mengambil sampel daripada taburan yang sepadan.

# If using qiskit-ibm-runtime<0.24.0, change `mode=` to `backend=`
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = 10000

# Set simple error suppression/mitigation options
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = True
sampler.options.dynamical_decoupling.sequence_type = "XY4"
sampler.options.twirling.enable_gates = True
sampler.options.twirling.num_randomizations = "auto"

pub = (optimized_circuit_100,)
job = sampler.run([pub], shots=int(1e4))

counts_int = job.result()[0].data.meas.get_int_counts()
counts_bin = job.result()[0].data.meas.get_counts()
shots = sum(counts_int.values())
final_distribution_100_int = {
    key: val / shots for key, val in counts_int.items()
}

Semak bahawa kos yang diminimumkan dalam gelung pengoptimuman telah menumpu kepada nilai tertentu.

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(objective_func_vals)
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

Langkah 4: Pasca-proses dan kembalikan keputusan dalam format klasik yang dikehendaki

Memandangkan kebarangkalian setiap penyelesaian adalah rendah, ekstrak penyelesaian yang sepadan dengan kos terendah.

_PARITY = np.array(
    [-1 if bin(i).count("1") % 2 else 1 for i in range(256)],
    dtype=np.complex128,
)

def evaluate_sparse_pauli(state: int, observable: SparsePauliOp) -> complex:
    """Utility for the evaluation of the expectation value of a measured state."""
    packed_uint8 = np.packbits(observable.paulis.z, axis=1, bitorder="little")
    state_bytes = np.frombuffer(
        state.to_bytes(packed_uint8.shape[1], "little"), dtype=np.uint8
    )
    reduced = np.bitwise_xor.reduce(packed_uint8 & state_bytes, axis=1)
    return np.sum(observable.coeffs * _PARITY[reduced])

def best_solution(samples, hamiltonian):
    """Find solution with lowest cost"""
    min_cost = 1000
    min_sol = None
    for bit_str in samples.keys():
        # Qiskit use little endian hence the [::-1]
        candidate_sol = int(bit_str)
        # fval = qp.objective.evaluate(candidate_sol)
        fval = evaluate_sparse_pauli(candidate_sol, hamiltonian).real
        if fval <= min_cost:
            min_sol = candidate_sol

    return min_sol

best_sol_100 = best_solution(final_distribution_100_int, cost_hamiltonian_100)
best_sol_bitstring_100 = to_bitstring(int(best_sol_100), len(graph_100))
best_sol_bitstring_100.reverse()

print("Result bitstring:", best_sol_bitstring_100)

Result bitstring: [1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1]

Seterusnya, visualisasikan potongan. Nod yang berwarna sama termasuk dalam kumpulan yang sama.

plot_result(graph_100, best_sol_bitstring_100)

Kira nilai potongan.

cut_value_100 = evaluate_sample(best_sol_bitstring_100, graph_100)
print("The value of the cut is:", cut_value_100)

The value of the cut is: 124

Kini anda perlu mengira nilai objektif setiap sampel yang anda ukur pada komputer kuantum. Sampel dengan nilai objektif terendah ialah penyelesaian yang dikembalikan oleh komputer kuantum.

# auxiliary function to help plot cumulative distribution functions
def _plot_cdf(objective_values: dict, ax, color):
    x_vals = sorted(objective_values.keys(), reverse=True)
    y_vals = np.cumsum([objective_values[x] for x in x_vals])
    ax.plot(x_vals, y_vals, color=color)

def plot_cdf(dist, ax, title):
    _plot_cdf(
        dist,
        ax,
        "C1",
    )
    ax.vlines(min(list(dist.keys())), 0, 1, "C1", linestyle="--")

    ax.set_title(title)
    ax.set_xlabel("Objective function value")
    ax.set_ylabel("Cumulative distribution function")
    ax.grid(alpha=0.3)

# auxiliary function to convert bit-strings to objective values
def samples_to_objective_values(samples, hamiltonian):
    """Convert the samples to values of the objective function."""

    objective_values = defaultdict(float)
    for bit_str, prob in samples.items():
        candidate_sol = int(bit_str)
        fval = evaluate_sparse_pauli(candidate_sol, hamiltonian).real
        objective_values[fval] += prob

    return objective_values

result_dist = samples_to_objective_values(
    final_distribution_100_int, cost_hamiltonian_100
)

Akhirnya, anda boleh memplot fungsi taburan kumulatif untuk menggambarkan bagaimana setiap sampel menyumbang kepada jumlah taburan kebarangkalian dan nilai objektif yang sepadan. Penyebaran mendatar menunjukkan julat nilai objektif sampel dalam taburan akhir. Secara idealnya, anda akan melihat bahawa fungsi taburan kumulatif mempunyai "lompatan" di hujung bawah paksi nilai fungsi objektif. Ini bermakna beberapa penyelesaian dengan kos rendah mempunyai kebarangkalian tinggi untuk diambil sampel. Keluk yang licin dan lebar menunjukkan bahawa setiap sampel berkemungkinan sama, dan boleh mempunyai nilai objektif yang sangat berbeza, rendah atau tinggi.

fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))
plot_cdf(result_dist, ax, "Eagle device")

Kesimpulan

Tutorial ini menunjukkan cara menyelesaikan masalah pengoptimuman dengan komputer kuantum menggunakan rangka kerja corak Qiskit. Demonstrasi ini merangkumi contoh skala utiliti, dengan saiz litar yang tidak boleh disimulasikan secara tepat secara klasik. Pada masa ini, komputer kuantum tidak mengatasi komputer klasik untuk pengoptimuman kombinatorial kerana hingar. Namun, perkakasan terus bertambah baik, dan algoritma baharu untuk komputer kuantum sentiasa dibangunkan. Sesungguhnya, banyak penyelidikan yang mengerjakan heuristik kuantum untuk pengoptimuman kombinatorial diuji dengan simulasi klasik yang hanya membenarkan bilangan qubit yang kecil, biasanya sekitar 20 qubit. Kini, dengan bilangan qubit yang lebih besar dan peranti yang lebih kurang bising, penyelidik akan dapat mula menanda aras heuristik kuantum ini pada saiz masalah besar pada perkakasan kuantum.

Tinjauan tutorial

Sila ambil tinjauan ringkas ini untuk memberikan maklum balas tentang tutorial ini. Pandangan anda akan membantu kami menambah baik tawaran kandungan dan pengalaman pengguna.

Link to survey

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.