Asas saluran kuantum

Dalam istilah matematik, saluran adalah pemetaan linear daripada matriks ketumpatan kepada matriks ketumpatan yang memenuhi keperluan tertentu. Sepanjang pelajaran ini kita akan menggunakan huruf Greek huruf besar, termasuk $\Phi$ dan $\Psi,$ serta beberapa huruf lain dalam kes tertentu, untuk merujuk kepada saluran.

Setiap saluran $\Phi$ mempunyai sistem input dan sistem output, dan kita biasanya akan menggunakan nama $\mathsf{X}$ untuk merujuk kepada sistem input dan $\mathsf{Y}$ untuk merujuk kepada sistem output. Lazim bahawa sistem output suatu saluran adalah sama dengan sistem input, dan dalam kes ini kita boleh menggunakan huruf yang sama $\mathsf{X}$ untuk merujuk kepada kedua-duanya.

Saluran adalah pemetaan linear

Saluran diterangkan oleh pemetaan linear, sama seperti operasi kebarangkalian dalam rumusan klasikal piawai bagi maklumat dan operasi unitar dalam rumusan kuantum yang dipermudahkan.

Jika saluran $\Phi$ dilakukan ke atas sistem input $\mathsf{X}$ yang keadaannya diterangkan oleh matriks ketumpatan $\rho,$ maka sistem output saluran diterangkan oleh matriks ketumpatan $\Phi(\rho).$ Dalam situasi di mana sistem output $\Phi$ juga ialah $\mathsf{X},$ kita boleh hanya memandang bahawa saluran mewakili perubahan dalam keadaan $\mathsf{X},$ daripada $\rho$ kepada $\Phi(\rho).$ Apabila sistem output $\Phi$ adalah sistem yang berbeza, $\mathsf{Y},$ bukannya $\mathsf{X},$ perlu difahami bahawa $\mathsf{Y}$ adalah sistem baru yang dicipta oleh proses penerapan saluran, dan bahawa sistem input, $\mathsf{X},$ tidak lagi tersedia setelah saluran diterapkan — seolah-olah saluran itu sendiri mengubah $\mathsf{X}$ menjadi $\mathsf{Y},$ meninggalkannya dalam keadaan $\Phi(\rho).$

Andaian bahawa saluran diterangkan oleh pemetaan linear boleh dipandang sebagai suatu aksiom — atau dengan kata lain, postulat asas teori dan bukan sesuatu yang dibuktikan. Namun, kita dapat melihat keperluan untuk saluran bertindak secara linear ke atas kombinasi cembung input matriks ketumpatan agar konsisten dengan teori kebarangkalian dan apa yang telah kita pelajari tentang matriks ketumpatan.

Lebih khusus lagi, andaikan kita mempunyai saluran $\Phi$ dan kita menerapkannya ke atas sistem apabila ia berada dalam salah satu daripada dua keadaan yang diwakili oleh matriks ketumpatan $\rho$ dan $\sigma.$ Jika kita menerapkan saluran ke atas $\rho$ kita mendapat matriks ketumpatan $\Phi(\rho)$ dan jika kita menerapkannya ke atas $\sigma$ kita mendapat matriks ketumpatan $\Phi(\sigma).$ Jadi, jika kita memilih keadaan input $\mathsf{X}$ secara rawak sebagai $\rho$ dengan kebarangkalian $p$ dan $\sigma$ dengan kebarangkalian $1-p,$ kita akan mendapatkan keadaan output $\Phi(\rho)$ dengan kebarangkalian $p,$ dan $\Phi(\sigma)$ dengan kebarangkalian $1-p,$ yang kita wakili oleh purata berwajaran matriks ketumpatan sebagai $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

Sebaliknya, kita boleh memikirkan keadaan input saluran sebagai diwakili oleh purata berwajaran $p\rho + (1-p)\sigma,$ dalam kes ini outputnya ialah $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ Keadaannya sama tanpa mengira cara kita memilih untuk memikirkannya, jadi kita mesti mempunyai

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Bila-bila masa kita mempunyai pemetaan yang memenuhi syarat ini untuk setiap pilihan matriks ketumpatan $\rho$ dan $\sigma$ dan skalar $p\in [0,1],$ sentiasa ada satu cara unik untuk melanjutkan pemetaan itu kepada setiap input matriks (iaitu, bukan hanya input matriks ketumpatan) supaya ia adalah linear.

Saluran mengubah matriks ketumpatan kepada matriks ketumpatan

Secara semulajadi, selain menjadi pemetaan linear, saluran juga mesti mengubah matriks ketumpatan kepada matriks ketumpatan. Jika saluran $\Phi$ diterapkan ke atas sistem input semasa sistem ini berada dalam keadaan yang diwakili oleh matriks ketumpatan $\rho,$ maka kita mendapat sistem yang keadaannya diwakili oleh $\Phi(\rho),$ yang mestilah matriks ketumpatan yang sah agar kita boleh mentafsirkannya sebagai suatu keadaan.

Namun sangat penting untuk kita mempertimbangkan situasi yang lebih umum, di mana saluran $\Phi$ mengubah sistem $\mathsf{X}$ kepada sistem $\mathsf{Y}$ dengan kehadiran sistem tambahan $\mathsf{Z}$ yang tidak berubah. Iaitu, jika kita bermula dengan pasangan sistem $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ dalam keadaan yang diterangkan oleh beberapa matriks ketumpatan, dan kemudian menerapkan $\Phi$ hanya ke atas $\mathsf{X},$ mengubahnya menjadi $\mathsf{Y},$ kita mesti mendapatkan matriks ketumpatan yang menerangkan keadaan pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Kita boleh menerangkan dalam istilah matematik bagaimana saluran $\Phi,$ yang mempunyai sistem input $\mathsf{X}$ dan sistem output $\mathsf{Y},$ mengubah keadaan pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ kepada keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ apabila tiada apa yang dilakukan ke atas $\mathsf{Z}.$ Untuk memudahkan, kita akan andaikan bahawa set keadaan klasikal $\mathsf{Z}$ ialah $\{0,\ldots,m-1\}.$ Ini membolehkan kita menulis matriks ketumpatan sewenang-wenangnya $\rho,$ yang mewakili keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ dalam bentuk berikut.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Di sebelah kanan persamaan ini kita mempunyai matriks blok, yang boleh kita bayangkan sebagai matriks yang terdiri daripada matriks kecuali tanda kurung dalam dibuang. Ini meninggalkan kita dengan matriks biasa yang boleh diterangkan secara alternatif menggunakan notasi Dirac seperti yang ada dalam ungkapan tengah. Setiap matriks $\rho_{a,b}$ mempunyai baris dan lajur yang sepadan dengan keadaan klasikal $\mathsf{X},$ dan matriks ini boleh ditentukan oleh formula mudah.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Perhatikan bahawa ini bukan matriks ketumpatan secara umumnya — hanya apabila ia disusun bersama untuk membentuk $\rho$ barulah kita mendapat matriks ketumpatan.

Persamaan berikut menerangkan keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ yang diperoleh apabila $\Phi$ diterapkan ke atas $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Perhatikan bahawa, untuk menilai ungkapan ini bagi pilihan $\Phi$ dan $\rho$ yang diberikan, kita mesti memahami bagaimana $\Phi$ berfungsi sebagai pemetaan linear ke atas input bukan-matriks ketumpatan, kerana setiap $\rho_{a,b}$ secara amnya tidak akan menjadi matriks ketumpatan dengan sendirinya. Persamaan ini konsisten dengan ungkapan $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ di mana $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ merujuk kepada saluran identiti ke atas sistem $\mathsf{Z}.$ Ini mengandaikan bahawa kita telah melanjutkan konsep hasil tensor kepada pemetaan linear dari matriks ke matriks, yang mudah — tetapi ia tidak benar-benar penting untuk pelajaran ini dan tidak akan dijelaskan lebih lanjut.

Mengulangi pernyataan yang dibuat di atas, agar pemetaan linear $\Phi$ menjadi saluran yang sah, mestilah berlaku bahawa, untuk setiap pilihan $\mathsf{Z}$ dan setiap matriks ketumpatan $\rho$ bagi pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ kita sentiasa mendapat matriks ketumpatan apabila $\Phi$ diterapkan ke atas $\mathsf{X}.$ Dalam istilah matematik, sifat-sifat yang mesti dimiliki pemetaan untuk menjadi saluran ialah ia mesti memelihara surih — supaya matriks yang kita peroleh dengan menerapkan saluran mempunyai surih sama dengan satu — serta positif sepenuhnya — supaya matriks yang terhasil adalah positif semidefinit. Kedua-dua sifat ini penting dan boleh dipertimbangkan serta dikaji secara berasingan, tetapi tidak kritikal untuk pelajaran ini mempertimbangkan sifat-sifat ini secara terasing.

Sebenarnya, terdapat pemetaan linear yang sentiasa menghasilkan matriks ketumpatan apabila diberikan matriks ketumpatan sebagai input, tetapi gagal memetakan matriks ketumpatan kepada matriks ketumpatan untuk sistem kompaun, jadi kita memang menghapuskan beberapa pemetaan linear dari kelas saluran dengan cara ini. (Pemetaan linear yang diberikan oleh transpos matriks adalah contoh yang paling mudah.)

Kita mempunyai formula yang analog dengan yang di atas dalam kes di mana dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Z}$ ditukar ganti, supaya $\Phi$ diterapkan ke atas sistem di sebelah kiri bukannya kanan.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Ini mengandaikan bahawa $\rho$ adalah keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ bukannya $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Kali ini penerangan matriks blok tidak berfungsi kerana matriks $\rho_{a,b}$ tidak jatuh ke dalam baris dan lajur yang berterusan dalam $\rho,$ tetapi ia adalah struktur matematik yang sama.

Sebarang pemetaan linear yang memenuhi keperluan bahawa ia sentiasa mengubah matriks ketumpatan kepada matriks ketumpatan, walaupun ia diterapkan hanya ke atas sebahagian daripada sistem kompaun, mewakili saluran yang sah. Jadi, dalam pengertian abstrak, konsep saluran ditentukan oleh konsep matriks ketumpatan, bersama andaian bahawa saluran bertindak secara linear. Dalam hal ini, saluran adalah analog dengan operasi unitar dalam rumusan kuantum yang dipermudahkan, yang tepat-tepat adalah pemetaan linear yang sentiasa mengubah vektor keadaan kuantum kepada vektor keadaan kuantum untuk sistem tertentu; serta dengan operasi kebarangkalian (diwakili oleh matriks stokastik) dalam rumusan klasikal piawai bagi maklumat, yang tepat-tepat adalah pemetaan linear yang sentiasa mengubah vektor kebarangkalian kepada vektor kebarangkalian.

Operasi unitar sebagai saluran

Andaikan $\mathsf{X}$ adalah sistem dan $U$ adalah matriks unitar yang mewakili operasi ke atas $\mathsf{X}.$ Saluran $\Phi$ yang menerangkan operasi ini ke atas matriks ketumpatan ditakrifkan seperti berikut untuk setiap matriks ketumpatan $\rho$ yang mewakili keadaan kuantum $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Tindakan ini, di mana kita mendarab dengan $U$ di sebelah kiri dan $U^{\dagger}$ di sebelah kanan, biasanya dirujuk sebagai konjugasi oleh matriks $U.$

Penerangan ini konsisten dengan fakta bahawa matriks ketumpatan yang mewakili vektor keadaan kuantum tertentu $\vert\psi\rangle$ adalah $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Khususnya, jika operasi unitar $U$ dilakukan ke atas $\vert\psi\rangle,$ maka keadaan output diwakili oleh vektor $U\vert\psi\rangle,$ dan oleh itu matriks ketumpatan yang menerangkan keadaan ini adalah sama dengan

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Setelah kita mengetahui bahawa, sebagai saluran, operasi $U$ mempunyai tindakan $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ ke atas keadaan tulen, kita boleh menyimpulkan oleh kelinearan bahawa ia mesti berfungsi seperti yang ditetapkan oleh persamaan $(1)$ di atas untuk mana-mana matriks ketumpatan $\rho.$

Saluran khusus yang kita peroleh apabila kita mengambil $U = \mathbb{I}$ adalah saluran identiti$\;\operatorname{Id},$ yang juga boleh kita berikan subskrip (seperti $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ seperti yang telah kita jumpai) apabila kita ingin menunjukkan secara eksplisit sistem mana yang saluran ini bertindak. Outputnya sentiasa sama dengan inputnya: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Ini mungkin tidak kelihatan seperti saluran yang menarik, tetapi ia sebenarnya sangat penting — dan wajar bahawa ini adalah contoh pertama kita. Saluran identiti adalah saluran yang sempurna dalam beberapa konteks, mewakili memori yang ideal atau penghantaran maklumat yang sempurna tanpa hingar dari pengirim ke penerima.

Setiap saluran yang ditakrifkan oleh operasi unitar dengan cara ini memang merupakan saluran yang sah: konjugasi oleh matriks $U$ memberikan kita pemetaan linear; dan jika $\rho$ adalah matriks ketumpatan sistem $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ dan $U$ adalah unitar, maka hasilnya, yang boleh kita nyatakan sebagai

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

juga adalah matriks ketumpatan. Khususnya, matriks ini mestilah positif semidefinit, kerana jika $\rho = M^{\dagger} M$ maka

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

untuk $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ dan ia mesti mempunyai surih unit berdasarkan sifat kitaran surih.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Gabungan cembung saluran

Andaikan kita mempunyai dua saluran, $\Phi_0$ dan $\Phi_1,$ yang berkongsi sistem input yang sama dan sistem output yang sama. Untuk sebarang nombor nyata $p\in[0,1],$ kita boleh memutuskan untuk menerapkan $\Phi_0$ dengan kebarangkalian $p$ dan $\Phi_1$ dengan kebarangkalian $1-p,$ yang memberikan kita saluran baru yang boleh ditulis sebagai $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Secara eksplisit, cara saluran ini bertindak ke atas matriks ketumpatan yang diberikan ditetapkan oleh persamaan mudah berikut.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Secara lebih umum, jika kita mempunyai saluran $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ dan vektor kebarangkalian $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ maka kita boleh mengambil purata saluran-saluran ini untuk mendapatkan saluran baru.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Ini adalah gabungan cembung saluran, dan kita sentiasa mendapat saluran yang sah melalui proses ini. Cara mudah untuk menyatakan ini dalam istilah matematik ialah, untuk pilihan sistem input dan output tertentu, set semua saluran adalah set cembung.

Sebagai contoh, kita boleh memilih untuk menerapkan salah satu daripada koleksi operasi unitar ke atas sistem tertentu. Kita mendapat apa yang dikenali sebagai saluran unitar bercampur, iaitu saluran yang boleh dinyatakan dalam bentuk berikut.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Saluran unitar bercampur di mana semua operasi unitar adalah matriks Pauli (atau hasil tensor matriks Pauli) dipanggil saluran Pauli, dan lazim dijumpai dalam pengkomputeran kuantum.

Contoh saluran qubit

Kini kita akan melihat beberapa contoh khusus saluran yang bukan unitar. Untuk semua contoh ini, sistem input dan output adalah kedua-duanya qubit tunggal, ertinya ini adalah contoh saluran qubit.

Saluran set semula qubit

Saluran ini melakukan sesuatu yang sangat mudah: ia menetapkan semula qubit kepada keadaan $\vert 0\rangle$. Sebagai pemetaan linear saluran ini boleh dinyatakan seperti berikut untuk setiap matriks ketumpatan qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Walaupun surih setiap matriks ketumpatan $\rho$ adalah sama dengan $1,$ menulis saluran dengan cara ini menjadikannya jelas bahawa ia adalah pemetaan linear yang boleh diterapkan ke atas sebarang matriks $2\times 2,$ bukan hanya matriks ketumpatan. Seperti yang kita perhatikan, kita perlu memahami bagaimana saluran berfungsi sebagai pemetaan linear ke atas input bukan-matriks ketumpatan untuk menerangkan apa yang berlaku apabila ia diterapkan hanya ke atas sebahagian daripada sistem kompaun.

Sebagai contoh, andaikan $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ adalah qubit dan bersama pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Sebagai matriks ketumpatan, keadaan ini diberikan oleh

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Menggunakan notasi Dirac kita boleh menyatakan keadaan ini secara alternatif seperti berikut.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Dengan menerapkan saluran set semula qubit ke atas $\mathsf{A}$ dan tidak melakukan apa-apa ke atas $\mathsf{B}$ kita mendapat keadaan berikut.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Mungkin menggoda untuk mengatakan bahawa menetapkan semula $\mathsf{A}$ telah memberi kesan ke atas $\mathsf{B},$ menyebabkan ia menjadi bercampur sepenuhnya — tetapi dalam suatu pengertian ia sebenarnya sebaliknya. Sebelum $\mathsf{A}$ ditetapkan semula, keadaan tereduksi $\mathsf{B}$ adalah keadaan bercampur sepenuhnya, dan itu tidak berubah akibat penetapan semula $\mathsf{A}.$

Saluran penyahfas sepenuhnya

Berikut adalah contoh saluran qubit yang dipanggil $\Delta,$ diterangkan oleh tindakannya ke atas matriks $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Dengan kata-kata, $\Delta$ menolakkan entri luar pepenjuru bagi matriks $2\times 2$. Contoh ini boleh digeneralisasikan kepada sistem sewenang-wenangnya, bukan hanya qubit: untuk apa-apa matriks ketumpatan yang dimasukkan, saluran menolakkan semua entri luar pepenjuru dan membiarkan pepenjuru sahaja.

Saluran ini dipanggil saluran penyahfas sepenuhnya, dan ia boleh difikirkan sebagai mewakili bentuk ekstrem daripada proses yang dikenali sebagai penyahkoherensi — yang pada dasarnya merosakkan superposisi kuantum dan mengubahnya kepada keadaan kebarangkalian klasikal.

Cara lain untuk memikirkan saluran ini ialah ia menerangkan pengukuran asas piawai ke atas qubit, di mana qubit input diukur dan kemudian dibuang, dan di mana outputnya adalah matriks ketumpatan yang menerangkan hasil pengukuran. Sebagai alternatif, tetapi setara, kita boleh bayangkan bahawa hasil pengukuran dibuang, meninggalkan qubit dalam keadaan pasca-pengukurannya.

Mari kita sekali lagi pertimbangkan e-bit, dan lihat apa yang berlaku apabila $\Delta$ diterapkan ke atas salah satu daripada dua qubit. Secara khusus, kita mempunyai qubit $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ yang mana $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan $\vert\phi^+\rangle,$ dan kali ini mari kita terapkan saluran ke atas qubit kedua. Berikut adalah keadaan yang kita peroleh.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Sebagai alternatif kita boleh menyatakan persamaan ini menggunakan matriks blok.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Kita juga boleh mempertimbangkan saluran qubit yang hanya sedikit menyahfas qubit, berbanding menyahfas sepenuhnya, yang merupakan bentuk penyahkoherensi yang kurang ekstrem berbanding dengan apa yang diwakili oleh saluran penyahfas sepenuhnya. Khususnya, andaikan $\varepsilon \in (0,1)$ adalah nombor nyata yang kecil tetapi bukan sifar. Kita boleh mentakrifkan saluran

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

yang mengubah matriks ketumpatan qubit $\rho$ yang diberikan seperti ini:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Iaitu, tiada apa yang berlaku dengan kebarangkalian $1-\varepsilon,$ dan dengan kebarangkalian $\varepsilon,$ qubit menyahfas. Dalam sebutan matriks, tindakan ini boleh dinyatakan seperti berikut, di mana entri pepenjuru dibiarkan sahaja dan entri luar pepenjuru didarab dengan $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Saluran depolar sepenuhnya

Berikut adalah contoh lain saluran qubit yang dipanggil $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Di sini $\mathbb{I}$ merujuk kepada matriks identiti $2\times 2$. Dengan kata-kata, untuk sebarang input matriks ketumpatan $\rho,$ saluran $\Omega$ menghasilkan keadaan bercampur sepenuhnya. Tidak ada yang lebih bising dari ini! Saluran ini dipanggil saluran depolar sepenuhnya, dan seperti saluran penyahfas sepenuhnya ia boleh digeneralisasikan kepada sistem sewenang-wenangnya menggantikan qubit.

Kita juga boleh mempertimbangkan varian yang kurang ekstrem daripada saluran ini di mana depolarisasi berlaku dengan kebarangkalian $\varepsilon,$ serupa dengan apa yang kita lihat untuk saluran penyahfas.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$