Pengekodan suprapadat

Pengekodan suprapadat ialah protokol yang, dalam erti kata tertentu, mencapai matlamat yang pelengkap kepada teleportasi. Daripada membolehkan penghantaran satu Qubit menggunakan dua bit komunikasi klasik (pada kos satu e-bit belitan), ia membolehkan penghantaran dua bit klasik menggunakan satu Qubit komunikasi kuantum (sekali lagi, pada kos satu e-bit belitan).

Secara lebih terperinci, kita mempunyai penghantar (Alice) dan penerima (Bob) yang berkongsi satu e-bit belitan. Mengikut konvensyen yang ditetapkan untuk pelajaran ini, ini bermakna Alice memegang Qubit $\mathsf{A},$ Bob memegang Qubit $\mathsf{B},$ dan bersama-sama pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan $\vert\phi^+\rangle.$ Alice ingin menghantar dua bit klasik kepada Bob, yang akan kita tandakan sebagai $c$ dan $d,$ dan dia akan melakukan ini dengan menghantar satu Qubit kepadanya.

Ada baiknya untuk melihat pencapaian ini sebagai kurang menarik daripada yang dicapai oleh teleportasi. Menghantar Qubit berkemungkinan besar jauh lebih sukar daripada menghantar bit klasik untuk masa yang boleh diramalkan sehingga pertukaran satu Qubit komunikasi kuantum dengan dua bit komunikasi klasik, pada kos e-bit pula, hampir tidak berbaloi. Walau bagaimanapun, ini tidak bermakna pengekodan suprapadat tidak menarik, kerana ia memang menarik.

Sesuai dengan tema pelajaran ini, salah satu sebab mengapa pengekodan suprapadat menarik ialah ia menunjukkan penggunaan belitan yang konkrit dan (dalam konteks teori maklumat) agak mengagumkan. Teorem terkenal dalam teori maklumat kuantum, yang dikenali sebagai teorem Holevo, membayangkan bahawa tanpa penggunaan keadaan terikat yang dikongsi, adalah mustahil untuk berkomunikasi lebih daripada satu bit maklumat klasik dengan menghantar satu Qubit. (Teorem Holevo lebih umum daripada ini. Pernyataan tepatnya adalah teknikal dan memerlukan penjelasan, tetapi ini adalah salah satu konsekuensinya.) Jadi, melalui pengekodan suprapadat, belitan yang dikongsi secara efektif membolehkan penggandaan kapasiti membawa maklumat klasik daripada menghantar Qubit.

Protokol

Gambar rajah litar kuantum berikut menerangkan protokol pengekodan suprapadat:

Dalam kata-kata, inilah yang Alice lakukan:

1. Jika $d=1,$ Alice melakukan get $Z$ pada Qubitnya $\mathsf{A}$ (dan jika $d=0$ dia tidak melakukan apa-apa).

2. Jika $c=1,$ Alice melakukan get $X$ pada Qubitnya $\mathsf{A}$ (dan jika $c=0$ dia tidak melakukan apa-apa).

Alice kemudian menghantar Qubitnya $\mathsf{A}$ kepada Bob.

Apa yang Bob lakukan apabila dia menerima Qubit $\mathsf{A}$ ialah pertama melakukan get NOT-terkawal, dengan $\mathsf{A}$ sebagai kawalan dan $\mathsf{B}$ sebagai sasaran, kemudian dia menggunakan get Hadamard pada $\mathsf{A}.$ Kemudian dia mengukur $\mathsf{B}$ untuk mendapatkan $c$ dan $\mathsf{A}$ untuk mendapatkan $d,$ dengan pengukuran asas standard dalam kedua-dua kes.

Analisis

Idea di sebalik protokol ini agak mudah: Alice secara efektif memilih keadaan Bell mana yang dia ingin kongsi dengan Bob, dia menghantar Qubitnya kepada Bob, dan Bob mengukur untuk menentukan keadaan Bell yang Alice pilih.

Iaitu, mereka pada awalnya berkongsi $\vert\phi^+\rangle,$ dan bergantung pada bit $c$ dan $d,$ Alice sama ada membiarkan keadaan ini atau menukarnya kepada salah satu keadaan Bell yang lain dengan menggunakan $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ atau $XZ$ pada Qubitnya $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Tindakan Bob mempunyai kesan berikut pada empat keadaan Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Ini boleh diperiksa secara langsung, dengan mengira keputusan operasi Bob pada keadaan-keadaan ini satu persatu.

Jadi, apabila Bob melakukan pengukurannya, dia dapat menentukan keadaan Bell yang Alice pilih. Untuk mengesahkan bahawa protokol berfungsi dengan betul adalah soal memeriksa setiap kes:

• Jika $cd = 00,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ apabila Bob menerima $\mathsf{A}$ ialah $\vert \phi^+\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini kepada $\vert 00\rangle$ dan mendapat $cd = 00.$

• Jika $cd = 01,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ apabila Bob menerima $\mathsf{A}$ ialah $\vert \phi^-\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini kepada $\vert 01\rangle$ dan mendapat $cd = 01.$

• Jika $cd = 10,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ apabila Bob menerima $\mathsf{A}$ ialah $\vert \psi^+\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini kepada $\vert 10\rangle$ dan mendapat $cd = 10.$

• Jika $cd = 11,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ apabila Bob menerima $\mathsf{A}$ ialah $\vert \psi^-\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini kepada $-\vert 11\rangle$ dan mendapat $cd = 11.$ (Faktor fasa negatif satu tidak memberi kesan di sini.)