Formalisme matematik

Diberi tugas mempelajari hingar Pauli bagi satu set gate Clifford, teknik analisis yang lazim ialah menjejak bagaimana pengendali Pauli individu diubah melalui satu jujukan penggunaan gate (dengan andaian bahawa gate tersebut ialah Clifford dan hingar ialah saluran Pauli, satu Pauli akan sentiasa dipetakan kepada Pauli lain sehingga satu skalar yang merupakan fungsi hingar). Jelas sekali, evolusi sebarang keadaan di bawah jujukan sedemikian boleh ditangkap oleh gabungan linear trajektori sedemikian, tetapi di bawah andaian bahawa kita sentiasa menyediakan keadaan dalam keadaan eigen Pauli, dan sentiasa mengukur serta memproses pasca keputusan untuk mengira nilai jangkaan pengendali Pauli, hubungan antara nilai jangkaan dan parameter model hingar akan sentiasa bergantung pada hanya satu trajektori sedemikian. Ini terhasil daripada fakta mudah bahawa keadaan awal ialah gabungan linear pengendali Pauli, setiap gate dan model hingar memetakan Pauli kepada Pauli serta mengekalkan ortogonaliti mereka, dan nilai jangkaan akhir “memilih” hanya satu daripada Pauli dalam penguraian akhir sebelum pengukuran.

Jenis penaakulan ini muncul dalam banyak laluan penyelidikan selari dalam pembelajaran hingar, termasuk dalam literatur pembelajaran set gate Pauli [1, 2], literatur ACES [3], dan literatur penanda aras kitaran [4]. Penaakulan ini telah digeneralisasikan lagi dalam [5] untuk merangkumi gate Clifford-MCM (gate Clifford diikuti pengukuran unjuran pertengahan litar). Pakej ini paling hampir mengikuti [1, 5]. Walaupun tidak dinamakan secara jelas, kami menggunakan formalisme Pattern Transfer Graph (PTG) untuk menerangkan bagaimana pengendali Pauli berevolusi melalui litar pembelajaran, yang menyediakan perwakilan data langsung bagi laluan melalui graf tersebut.

Berikut ialah ulasan beberapa konsep matematik teras daripada literatur. Ia terutamanya bertujuan untuk menyatukan tatatanda, dan berfungsi sebagai rujukan dokumentasi konseptual untuk bahagian pakej yang lain.

1. Latar belakang

1.1 Tatatanda

Untuk $K \in \mathbb{N}$, biarkan $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Untuk set terhingga $S \subset \mathbb{N}$ bagi indeks qubit, biarkan $\mathcal{P}^S$ menandakan set pengendali Pauli tanpa fasa yang bertindak pada qubit tersebut. Perhatikan bahawa kita menganggap unsur $\mathcal{P}^S$ sebagai fungsi yang memetakan $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, supaya bagi sebarang $P \in \mathcal{P}^S$ dan $T \subseteq S$, $P|_T$ menandakan sekatan $P$ kepada subset qubit $T$. Selaras dengan itu, bagi set tak bersilang $S, T$, dan $P \in \mathcal{P}^S$ serta $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ menandakan unsur $\mathcal{P}^{S \cup T}$ sedemikian rupa sehingga $P \otimes Q |_S = P$ dan $P \otimes Q |_T = Q$. Tatatanda ini berguna untuk mengelakkan pengendalian secara jelas susunan subsistem, dan memudahkan penerangan sekatan.

Bagi subset terhingga $M \subset \mathbb{N}$, kita menandakan $\mathbb{Z}_2^M$ sebagai set rentetan bit yang unsurnya diindeks oleh $M$. Sama seperti di atas, kita menganggap unsur sebagai fungsi yang memetakan $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, supaya kita dapat menerangkan subrentetan dengan mudah dari segi sekatan set indeks.

Akhir sekali, bagi matriks $X$, kita menggunakan $| X \rangle\!\rangle$ untuk menandakan pemvektorannya. Berdasarkan cara terhad kita menggunakan tatatanda ini, sebenarnya tidak perlu memilih konvensyen pemvektoran tertentu. Bagi rentetan bit klasik $m$, kita menggunakan singkatan $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumen kuantum

Operasi kuantum yang menghasilkan bit klasik $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (contohnya, hasil pengukuran) secara amnya dimodelkan sebagai peta linear berbentuk:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

di mana set $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ adalah positif sepenuhnya, dan $\sum_m \mathcal{E}_m$ mengekalkan surih. Satu set peta positif sepenuhnya $\{\mathcal{E}_m\}$ yang memenuhi sifat ini dipanggil instrumen kuantum. Gate uniter ialah kes khas instrumen dengan hanya satu unsur yang merupakan operasi uniter.

2. Gate Clifford-MCM-reset yang bising

Formalisme yang digunakan dalam pakej ini mengandaikan setiap gate dalam set gate yang hendak dicirikan terdiri daripada jujukan operasi berikut pada $K$ qubit:

1. Operasi Clifford pada semua qubit.

2. Pengukuran unjuran pertengahan litar sepanjang $Z$ pada sesetengah subset qubit $M \subseteq [K]$.

3. Set semula pertengahan litar kepada keadaan dasar $Z$ pada sesetengah subset qubit $R \subseteq [K]$.

Ini ialah kelas operasi am yang merangkumi gate Clifford uniter, pengukuran, penyediaan keadaan, dan sebarang gabungan di atas. Perhatikan bahawa kita mengandaikan pengukuran dan set semula sentiasa sepanjang paksi $Z$ bagi setiap qubit. Walaupun ini tidak diwajibkan secara ketat, ia ialah ciri lazim bagi banyak modaliti pengkomputeran kuantum, dan membolehkan perwakilan serta analisis yang dipermudah.

Seperti yang digariskan dalam [5, 6] bagi kes tanpa set semula, jika strategi twirling tertentu dikenakan pada satu instans gate sedemikian yang bising, maka tindakan operasi yang terhasil boleh dimodelkan secara matematik sebagai instrumen Pauli seragam. Iaitu, dalam tatatanda instrumen kuantum, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, di mana $G$ ialah uniter Clifford, dan:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

di mana setiap $\Lambda_{a,b}$ ialah saluran Pauli sub-ternormal pada qubit yang tidak diukur $N = [K] \setminus M$. Ia tersirat daripada ini sebagai instrumen kuantum bahawa $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ juga mengekalkan surih. Beberapa nota:

• Hingar awal yang tidak di-twirl dimodelkan merangkumi ralat “kuantum” dan “klasik”: operasi yang salah pada daftar kuantum, serta kesilapan dalam pelaporan nilai pengukuran.

• Peta hingar $\Lambda_{a,b}$ tidak bergantung pada hasil pengukuran $m$.

Dengan kata lain, satu sebutan dalam hasil tambah di atas mewakili pemerhatian hasil pengukuran $m$ apabila keadaan yang diukur ialah $| m + b \rangle$ (salah klasifikasi jika $b \neq 0$), dan apabila keadaan output pada daftar pengukuran ialah $| m + a \rangle$ (keadaan yang “salah” apabila $a \neq 0$). Peta $\Lambda_{a,b}$ secara serentak mengekod tindakan pada qubit yang tidak diukur (bersyarat pada tingkah laku pengukuran) dan kebarangkalian tingkah laku pengukuran tertentu (melalui penormalan).

Perhatikan bahawa kita tidak mengambil kira butiran strategi twirling di sini: cukuplah bahawa strategi sedemikian wujud untuk meletakkan saluran dalam bentuk di atas. Perhatikan bahawa strategi twirling yang “lebih halus” wujud yang dapat mengehadkan lagi bentuk saluran Pauli [7]; namun, kita mengambil bentuk di atas sebagai perwakilan matematik paling am yang dipertimbangkan.

Dalam Lemma 1 [5], ditunjukkan bahawa $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ boleh ditulis semula sebagai:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

untuk sesetengah nombor nyata $\lambda_{x,y}^Q$, yang dipanggil fidelity instrumen tersebut.

Menambahkan set semula pada gambaran ini agak mudah. Operasi set semula yang bising pada qubit $R \subset [K]$ boleh dimodelkan mengikut penguraian:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Bentuk di atas secara jelas menggunakan andaian bahawa set semula adalah sepanjang paksi $Z$ bagi setiap qubit. Hingar dalam operasi dikodkan dalam fidelity set semula $\lambda_r$, yang hanya diindeks oleh subset qubit.

Analog kepada Persamaan (1) yang merangkumi operasi set semula di hujung boleh diperoleh dengan hanya mengkomposisikannya dengan Persamaan (2). Komposisi ini, selepas sedikit permudahan, menghasilkan:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Penguraian ini menunjukkan bahawa bilangan fidelity $\lambda^Q_{x, y}$ ialah

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Pertimbangkan kes-kes had: (1) Bagi tiada pengukuran atau set semula, $M = R = \emptyset$, dan ungkapan menghasilkan $4^K$, bilangan pengendali Pauli tanpa fasa pada $K$ qubit. (2) Bagi $M = \emptyset$ dan $R=[K]$, ini menghasilkan $2^K$, iaitu bilangan subset $[K]$. Akhir sekali, (3) bagi $M = [K]$ dan $R = \emptyset$, ini menghasilkan $4^K$. Perhatikan bahawa ini pada mulanya mungkin mengejutkan: bagi pembelajaran piawai, pengukuran dan set semula lazimnya dianggap mempunyai bilangan fidelity yang sama: $2^K$. Walau bagaimanapun, di sini gate semua-pengukuran dalam konteks ini difahami bukan sebagai pengukuran terminal, tetapi sebagai MCM, dan oleh itu fidelity yang sepadan dengan output pengukuran bukan identiti juga disertakan (seperti $y \neq 0$ dalam Persamaan (3)).

Akhir sekali, penting untuk diperhatikan bahawa sebarang strategi twirling yang menghasilkan bentuk dalam Persamaan (1) dalam kes tanpa set semula masih terpakai sama baik pada kes set semula yang tidak remeh dengan pengubahsuaian mudah. Masalah yang berpotensi ialah strategi twirling sedemikian mungkin memerlukan operasi pada qubit yang diukur selepas pengukuran. Oleh itu, jika qubit diukur dan di-set semula, pelaksanaan strategi tersebut nampaknya memerlukan pemasukan operasi di dalam gate antara pengukuran dan set semula. Walau bagaimanapun, memandangkan sifat set semula, sebarang operasi sedemikian tidak memberi kesan, dan boleh dilangkau sambil masih menghasilkan struktur yang dikehendaki.

3. Formalisme laluan

Seperti yang diterangkan dalam pengenalan, semua algoritma pembelajaran bagi hingar jenis Pauli pada gate Clifford berasaskan penjejakan bagaimana Pauli individu berevolusi melalui litar, sambil mengumpul faktor fidelity hingar di sepanjang jalan. Nilai jangkaan bagi litar yang terdiri daripada gate sedemikian oleh itu berkait secara mudah dengan hasil darab fidelity asas bagi gate individu, dan dengan cara ini parameter model boleh disimpulkan dengan menyongsangkan apa-apa pemetaan parameter-ke-fidelity jarang yang diandaikan.

Dalam [1], dalam konteks set gate uniter, ini diformalkan menjadi Pattern Transfer Graph (PTG): graf terarah yang menerangkan semua eksperimen yang mungkin yang terdiri daripada unsur set gate dan lapisan gate Clifford qubit tunggal (dianggap operasi yang sempurna, atau “percuma”). Ini telah digeneralisasikan dalam [5] untuk merangkumi set gate dengan pengukuran pertengahan litar. Dalam kedua-dua kes, setiap eksperimen diterangkan dengan menjejak satu pengendali Pauli melalui litar, di bawah andaian satu observabel tertentu dikira pada setiap tapak pengukuran. Di sini kami tidak mengulas secara langsung pembinaan graf atau laluan; namun, kami membentangkan fakta yang diperlukan untuk mewajarkannya dalam tatatanda kami sendiri dan dengan set semula disertakan.

Walaupun penjejakan satu pengendali Pauli melalui litar mungkin intuitif dalam kes set gate uniter, ia tidak semestinya jelas berlaku dalam kes Clifford-MCM-reset yang lebih am, disebabkan sifat pengukuran yang tidak deterministik. Proposisi berikut memulihkan gambaran ini walaupun dalam kes yang lebih am [5]:

Proposisi 1

Bagi sebarang $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$, dan $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, berlaku bahawa:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Dengan kata lain, jika kita mengira nilai jangkaan $Z^{x + y|_M}$ pada daftar klasik yang dikeluarkan oleh MCM, maka evolusi “gambaran Heisenberg” suatu observabel melalui gate Clifford-MCM-reset memetakan $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Fakta ini sahaja membolehkan pemulihan analisis seperti PTG melangkaui kes set gate uniter: dengan pemprosesan pasca tertentu bagi keputusan pengukuran, malah gate dengan pengukuran dan set semula boleh dilihat sebagai memetakan satu pengendali Pauli kepada yang lain secara deterministik.

Sebelum membuktikan ini, kita menulis Persamaan (3) dengan cara yang lebih mencadangkan. Perhatikan bahawa bagi $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, berlaku $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, dan oleh itu (dalam tatatanda superpengendali) kita mempunyai:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

di mana kita telah menggunakan Persamaan (3) dan mengumpulkan sebutan, dan kita menggunakan subskrip $M$ untuk menandakan daftar hasil pengukuran klasik, yang kita layan di atas dalam tatatanda yang serupa dengan daftar kuantum.

Bukti. Berlaku bahawa:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Akhir sekali, perhatikan bahawa $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, dan oleh itu sebutan akhir di atas runtuh menjadi satu sebutan $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, menghasilkan keputusan yang dikehendaki.

Lihat [5] untuk perkembangan selepas ini: takrifan PTG, laluan melalui PTG, dan bukti bahawa mana-mana laluan yang ditakrifkan dengan betul sepadan dengan satu eksperimen.

Rujukan

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.