Algoritma variasional

Kursus ini merangkumi spesifik algoritma variasional dan algoritma kuantum-klasik hibrid jangka pendek berdasarkan teorem variasional mekanik kuantum. Algoritma-algoritma ini boleh memanfaatkan utiliti yang disediakan oleh komputer kuantum bukan toleran kesalahan masa kini, menjadikannya calon yang ideal untuk mencapai kelebihan kuantum.

Sepanjang kursus ini, kita akan meneroka:

• Setiap langkah dalam aliran kerja reka bentuk algoritma variasional

• Tukar ganti yang berkaitan dengan setiap langkah

• Cara menggunakan primitif IBM Quantum untuk mengoptimumkan kelajuan dan ketepatan

Walaupun kursus ini dimaksudkan sebagai titik permulaan bagi penyelidik dan pembangun untuk meneroka utiliti komputer kuantum, jangan ragu untuk meneroka pengetahuan teori dan asas tentang pengkomputeran kuantum secara umum dalam Asas Maklumat dan Pengkomputeran Kuantum (juga tersedia sebagai siri video YouTube).

Aliran kerja hibrid yang dipermudahkan

Algoritma variasional merangkumi beberapa komponen modular yang boleh digabungkan dan dioptimumkan berdasarkan kemajuan algoritma, perisian, dan perkakasan. Ini termasuk fungsi kos yang menerangkan masalah tertentu dengan satu set parameter, ansatz untuk menyatakan ruang carian dengan parameter ini, dan pengoptimum untuk meneroka ruang carian secara berulang. Semasa setiap lelaran, pengoptimum menilai fungsi kos dengan parameter semasa dan memilih parameter lelaran seterusnya sehingga ia menumpu pada penyelesaian optimum. Sifat hibrid keluarga algoritma ini berpunca daripada fakta bahawa fungsi kos dinilai menggunakan sumber kuantum dan dioptimumkan melalui sumber klasik.

1. Mulakan masalah: Algoritma variasional bermula dengan memulakan komputer kuantum dalam keadaan lalai $|0\rangle$, kemudian mengubahnya kepada keadaan yang diingini (tidak berparameter) $|\rho\rangle$, yang kita akan panggil keadaan rujukan.

   Transformasi ini diwakili oleh penerapan operator rujukan unitari $U_R$ pada keadaan lalai, supaya $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. Sediakan ansatz: Untuk mula mengoptimumkan secara berulang dari keadaan lalai $|0\rangle$ ke keadaan sasaran $|\psi(\vec\theta)\rangle$, kita mesti mentakrifkan bentuk variasional $U_V(\vec\theta)$ untuk mewakili koleksi keadaan berparameter bagi algoritma variasional kita untuk diterokai.

   Kita merujuk mana-mana kombinasi tertentu keadaan rujukan dan bentuk variasional sebagai ansatz, supaya: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. Ansatze akhirnya akan mengambil bentuk litar kuantum berparameter yang mampu membawa keadaan lalai $|0\rangle$ ke keadaan sasaran $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   Secara keseluruhannya kita akan mempunyai:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. Nilai fungsi kos: Kita boleh mengekod masalah kita ke dalam fungsi kos $C(\vec\theta)$ sebagai gabungan linear operator Pauli, yang dijalankan pada sistem kuantum. Walaupun ini boleh menjadi maklumat tentang sistem fizikal, seperti tenaga atau spin, kita juga boleh mengekod masalah bukan fizikal. Kita boleh memanfaatkan primitif IBM Quantum untuk menangani hingar dengan penindasan dan pengurangan ralat semasa menilai fungsi kos kita.

4. Optimumkan parameter: Penilaian dibawa ke komputer klasik, di mana pengoptimum klasik menganalisisnya dan memilih set nilai seterusnya untuk parameter variasional. Jika kita mempunyai penyelesaian optimum yang sedia ada, kita boleh menetapkannya sebagai titik awal $\vec\theta_0$ untuk memulakan pengoptimuman kita. Menggunakan keadaan awal $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ ini boleh membantu pengoptimum kita mencari penyelesaian yang sah dengan lebih pantas.

5. Laraskan parameter ansatz dengan keputusan, dan jalankan semula: Keseluruhan proses diulang sehingga kriteria penamatan pengoptimum klasik dipenuhi, dan set nilai parameter optimum $\vec\theta^*$ dikembalikan. Keadaan penyelesaian yang dicadangkan untuk masalah kita kemudian akan menjadi $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

Teorem variasional

Matlamat umum algoritma variasional adalah untuk mencari keadaan kuantum dengan nilai eigen terendah atau tertinggi bagi sesuatu boleh cerap. Pandangan utama yang akan kita gunakan ialah teorem variasional mekanik kuantum. Sebelum masuk ke pernyataan penuhnya, mari kita terokai beberapa intuisi matematik di sebaliknya.

Intuisi matematik untuk tenaga dan keadaan dasar

Dalam mekanik kuantum, tenaga hadir dalam bentuk boleh cerap kuantum yang biasanya dirujuk sebagai Hamiltonian, yang kita tandakan dengan $\hat{\mathcal{H}}$. Mari kita pertimbangkan penguraian spektralnya:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

di mana $N$ ialah dimensi ruang keadaan, $\lambda_{k}$ ialah nilai eigen ke-$k$ atau, secara fizikal, aras tenaga ke-$k$, dan $|\phi_k\rangle$ ialah keadaan eigen yang sepadan: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$, jangkaan tenaga sistem dalam keadaan (ternormal) $|\psi\rangle$ akan menjadi:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

Jika kita mengambil kira bahawa $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$, kita mempunyai:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

Oleh kerana $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ adalah asas ortonormal, kebarangkalian mengukur $|\phi_{k} \rangle$ ialah $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$, dan jumlah semua kebarangkalian adalah seperti $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. Ringkasnya, jangkaan tenaga mana-mana sistem adalah lebih tinggi daripada tenaga terendah atau tenaga keadaan dasar:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

Hujah di atas terpakai untuk mana-mana keadaan kuantum (ternormal) $|\psi\rangle$ yang sah, jadi adalah sangat mungkin untuk mempertimbangkan keadaan berparameter $|\psi(\vec\theta)\rangle$ yang bergantung pada vektor parameter $\vec\theta$. Di sinilah bahagian "variasional" muncul. Jika kita mempertimbangkan fungsi kos yang diberikan oleh $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ dan ingin meminimumkannya, minimum akan sentiasa memenuhi:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

Nilai minimum $C(\vec\theta)$ ialah nilai yang paling hampir dengan $\lambda_0$ yang boleh dicapai menggunakan keadaan berparameter $|\psi(\vec\theta)\rangle$, dan kesamaan hanya akan dicapai jika wujud vektor parameter $\vec\theta^*$ sedemikian rupa sehingga $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$.

Teorem variasional Mekanik Kuantum

Jika keadaan (ternormal) $|\psi\rangle$ sistem kuantum bergantung pada vektor parameter $\vec\theta$, maka penghampiran optimum keadaan dasar (iaitu, keadaan eigen $|\phi_0\rangle$ dengan nilai eigen minimum $\lambda_0$) ialah yang meminimumkan nilai jangkaan Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

Sebab mengapa teorem variasional dinyatakan dalam terma minimum tenaga adalah kerana ia merangkumi beberapa andaian matematik:

• Atas sebab fizikal, sempadan bawah terhingga untuk tenaga $E \geq \lambda_0 > -\infty$ perlu wujud, walaupun untuk $N\rightarrow\infty$.

• Sempadan atas umumnya tidak wujud.

Walau bagaimanapun, secara matematik, tiada yang istimewa tentang Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$ selain andaian-andaian ini, jadi teorem boleh digeneralisasikan kepada boleh cerap kuantum lain dan keadaan eigennya asalkan mereka mengikuti kekangan yang sama. Juga, perhatikan bahawa jika sempadan atas terhingga wujud, hujah matematik yang sama boleh dibuat untuk memaksimumkan nilai eigen dengan menukar sempadan bawah kepada sempadan atas.

Ringkasan

Dengan pelajaran ini, anda telah mempelajari pandangan peringkat tinggi tentang algoritma variasional. Sepanjang pelajaran-pelajaran berikut, kita akan meneroka setiap langkah dengan lebih terperinci, dan tukar ganti yang berkaitan dengannya.