Asas mekanik kuantum

Pengenalan

Dalam video berikut, Olivia Lanes membimbing kamu melalui kandungan dalam pelajaran ini. Sebagai alternatif, kamu boleh buka video YouTube untuk pelajaran ini dalam tetingkap berasingan.

Dalam pelajaran sebelumnya, kita belajar cara menghasilkan keadaan terbelit dua qubit, yang dikenali sebagai "Bell state." Semasa kita mengukur keadaan tersebut, kita melihat bahawa ukuran dua qubit itu berkorelasi: apabila satu diukur sebagai 0 maka yang satu lagi juga diukur 0 dan apabila satu 1 yang lain juga diukur 1. Kita melihat bahawa ini adalah ciri khas keterbelitan kuantum. Hari ini kita akan menggali lebih dalam keadaan ini dan apa yang ia dedahkan tentang fizik kuantum yang menjadi asas kepada pengkomputeran kuantum.

Bell state

Banyak fenomena kuantum yang menyebabkan komputer kuantum berkelakuan berbeza daripada komputer klasik sudah pun terdapat dalam Bell state yang kelihatan mudah tetapi penuh misteri yang kita hasilkan dalam pelajaran sebelumnya. Jom bawa balik Circuit Bell state itu:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

Imej di atas mewakili Circuit kuantum untuk membuat Bell state $\vert\Phi^+\rangle$. Dua garisan mendatar hitam mewakili dua qubit kita, dan kotak serta simbol lain pada garisan tersebut mewakili Gate atau operasi yang dilakukan ke atas qubit yang berkenaan. Garisan berganda kelabu ialah bas maklumat klasik yang membolehkan kita menyimpan maklumat klasik yang kita perolehi dengan mengukur dua qubit. Kita akan menggali butiran Circuit ini dan Bell state yang terhasil untuk memahami asas-asas pengkomputeran kuantum.

Matematik pengkomputeran kuantum

Perwakilan keadaan kuantum

Pertama, kita perlukan bahasa yang sama untuk membincangkan keadaan kuantum dan Circuit. Terdapat beberapa cara berbeza untuk mewakili keadaan kuantum. Cara pertama ialah dengan notasi Dirac. Dalam notasi Dirac, keadaan kelihatan seperti ini:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Di sini, keadaan ditulis di dalam kurungan sudut dan bar menegak. Dua sebutan masing-masing mewakili dua kemungkinan hasil ukuran keadaan. Jadi apabila kita mengukur keadaan ini, kita akan mendapati sama ada kedua-dua qubit berada dalam keadaan 0 atau kedua-duanya dalam keadaan 1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dipanggil "pemalar penormalan." Ia ada untuk memastikan bahawa jumlah kuasa dua setiap pekali dalam keadaan itu berjumlah $1$. Kita akan bincangkan sebab ini berlaku kemudian, dalam bahagian tentang ukuran.

Cara kedua untuk mewakili keadaan ialah dalam bahasa algebra linear standard: sebagai vektor, di mana setiap entri vektor mewakili kemungkinan hasil ukuran yang berbeza. Dalam notasi ini, Bell state kita akan ditulis seperti ini:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Mengikut konvensyen, entri vektor disusun seperti berikut:

• Entri pertama sepadan dengan keadaan dua qubit $\vert00\rangle$
• Entri kedua dengan $\vert01\rangle$
• Entri ketiga dengan $\vert10\rangle$
• Entri keempat dengan $\vert11\rangle$

Seperti yang dijangka, dalam vektor Bell state $\vert\Phi^+\rangle$, entri pertama dan keempat adalah bukan sifar, manakala entri kedua dan ketiga adalah sifar. Pemalar penormalan $1/\sqrt{2}$ memastikan panjang vektor adalah $1$.

Nota tentang susunan qubit

Qiskit menggunakan susunan little endian. Ini bermakna qubit paling kanan dianggap sebagai qubit pertama (atau paling tidak bererti), dan qubit paling kiri adalah qubit paling bererti. Jadi, apabila kita menulis keadaan seperti $\vert01\rangle$:

• bit paling kanan sepadan dengan qubit $0$, dan berada dalam keadaan $\vert1\rangle$.
• bit paling kiri sepadan dengan qubit $1$, dan berada dalam keadaan $\vert0\rangle$.

Perwakilan Gate

Sama seperti keadaan boleh diwakili sebagai vektor, Gate boleh diwakili sebagai matriks. Gate bertindak ke atas keadaan dengan mengubah vektornya kepada vektor baru.

Setiap Gate sepadan dengan matriks tertentu yang menentukan bagaimana keadaan akan diubah. Kita menggunakan transformasi ini dengan mendarabkan matriks Gate dan vektor keadaan asal, dengan matriks Gate di sebelah kiri vektor keadaan, seperti ini:

$$U |\psi\rangle$$

di mana $U$ mewakili matriks Gate dan $|\psi\rangle$ mewakili vektor keadaan.

Jom tengok Gate Hadamard sebagai contoh. Gate Hadamard ialah Gate satu qubit (kotak merah berlabel "H" dalam rajah Circuit di atas) yang mengubah keadaan $\vert0\rangle$ kepada $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ dan keadaan $\vert1\rangle$ kepada $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. Dalam notasi matriks, Hadamard kelihatan seperti:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Semak pemahaman kamu

Gunakan pendaraban matriks untuk menunjukkan bahawa matriks Hadamard mengubah keadaan seperti yang dijangkakan. (Jika perlu, kamu boleh belajar cara melakukan pendaraban matriks.)

Jawapan

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Terdapat beberapa perkara yang perlu diingat tentang matriks Gate:

1. Ia sentiasa matriks segi empat sama, $N \times N$, di mana $N$ juga adalah dimensi vektor keadaan yang ia dikenakan. Sebagai contoh, apabila kamu hanya mempunyai satu qubit, vektor keadaan adalah dua dimensi, mewakili dua kemungkinan keadaan 0 dan 1 qubit. Dalam kes ini, dimensi matriks Gate yang dikenakan pada sistem ini adalah $2\times 2$.
2. Gate kuantum adalah boleh diterbalikkan. Dengan kata lain, kamu boleh mencari matriks lain yang merupakan songsang Gate, yang membatalkan tindakan Gate dan mengubah qubit kembali ke keadaan asalnya.
3. Gate kuantum juga memelihara panjang vektor yang mereka ubah. Vektor keadaan kuantum akan sentiasa mempunyai panjang $1$ (dijamin oleh pemalar penormalan yang kita bincangkan tadi). Gate tidak memanjangkan atau memendekkan vektor tersebut, tetapi hanya memutarnya.

Semua ini adalah sifat matriks uniter. Jika kamu ingin tahu lebih lanjut tentang sifat matematik matriks uniter, kamu boleh membaca lebih lanjut mengenainya dalam pelajaran John Watrous tentang pelbagai sistem dalam kursus Basics of Quantum Information.

Bagaimana ukuran berfungsi

Apabila kita mengukur keadaan kuantum, hasilnya sentiasa salah satu daripada kemungkinan hasil (untuk satu qubit, sama ada 0 atau 1). Hasil mana yang kita dapat adalah rawak, tetapi keadaan kuantum memberitahu kita kebarangkalian setiap hasil.

Entri dalam vektor keadaan menentukan kebarangkalian ini. Untuk mendapatkan kebarangkalian hasil tertentu, kita mengambil kuasa dua entri yang sepadan dengan hasil tersebut. Sebagai contoh, jika qubit berada dalam keadaan:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

entri pertama (sepadan dengan 0) adalah $1/\sqrt{2}$, dan entri kedua (sepadan dengan 1) juga $1/\sqrt{2}$. Mengkuasaduakan nombor-nombor ini memberikan

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

yang bermaksud ada 50% peluang untuk mengukur 0 dan 50% peluang untuk mengukur 1.

Ingat bahawa jumlah semua entri yang dikuasaduakan sentiasa berjumlah 1. Ini masuk akal kerana apabila kita mengukur, kita dijamin mendapat sesuatu hasil, jadi kebarangkalian semua kemungkinan hasil mesti berjumlah 100%.

Selepas ukuran, qubit runtuh kepada hasil yang diperhatikan, dan sebarang superposisi sebelumnya hilang. Qubit kini berkelakuan seperti bit klasik. Ukuran pada dasarnya berbeza daripada Gate kuantum. Sementara Gate mengubah keadaan kuantum secara deterministik dan boleh diterbalikkan, ukuran adalah secara asasnya rawak dan tidak boleh diterbalikkan.

Ukuran dalam asas berbeza

Secara lalai, apabila kamu mengukur qubit dalam Circuit kuantum, kamu mengukur keadaan qubit hanya sepanjang satu paksi. Ini dipanggil asas komputasi, atau asas $Z$, yang ditakrifkan oleh keadaan $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$. Kamu boleh bayangkan keadaan $\vert 0\rangle$ sebagai vektor yang menunjuk terus ke atas, dan keadaan $\vert 1\rangle$ sebagai vektor yang menunjuk terus ke bawah. Jadi, ukuran dalam asas $Z$ menjawab soalan, "Adakah keadaan qubit menunjuk ke atas atau ke bawah?"

Tetapi ini bukan satu-satunya jenis soalan yang boleh kita tanya kepada qubit. Vektor keadaan qubit tidak hanya menunjuk ke atas atau ke bawah sahaja. Superposisi $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$ akan menghasilkan vektor keadaan yang menunjuk ke mana-mana arah dalam ruang tiga dimensi — arah tepat bergantung pada amplitud dan fasa relatif dua bahagian superposisi. Jadi, walaupun ukuran asas $Z$ standard bertanya "atas atau bawah?" kamu juga boleh bertanya "kiri atau kanan?" atau "ke hadapan atau ke belakang?"

Soalan-soalan ini sepadan dengan ukuran dalam asas berbeza. Setiap asas mempunyai set dua vektor asas sendiri, yang menentukan dua kemungkinan hasil ukuran dalam asas tersebut (seperti $\vert 0\rangle$ atau $\vert 1\rangle$ untuk asas $Z$).

• Hasil ukuran asas Z runtuh kepada $\vert 0\rangle$ atau $\vert 1\rangle$
• Hasil ukuran asas X runtuh kepada $\vert +\rangle$ atau $\vert -\rangle$
• Hasil ukuran asas Y runtuh kepada $\vert i\rangle$ atau $\vert -i\rangle$

di mana

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

di mana $i=\sqrt{−1}$ adalah unit khayalan. Di sini kita melihat buat pertama kalinya superposisi dengan perbezaan fasa antara dua bahagian. Fasa biasanya ditulis sebagai $e^{i\theta}$, di mana $\theta$ ialah sudut amplitud keadaan kuantum dalam satah kompleks — satah dua dimensi di mana paksi mendatar mewakili nombor nyata dan paksi menegak mewakili nombor khayalan. Kamu boleh bayangkannya secara lebih intuitif sebagai sejauh mana satu gelombang beralih berbanding yang lain: adakah puncak mereka sejajar, atau adakah satu gelombang beralih sehingga puncaknya bertemu dengan lembah gelombang yang lain?

Matriks Pauli dan boleh ukur

Terdapat tiga matriks, yang dikenali sebagai matriks Pauli, yang berkaitan dengan tiga pilihan asas berbeza $X$, $Y$, dan $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Bagaimana sebenarnya ia berkaitan dengan asas ukuran? Pada pandangan pertama, ini kelihatan seperti matriks Gate biasa — dan memang begitulah. Setiap matriks Pauli boleh bertindak ke atas qubit dan mengubah keadaannya:

• Pauli-X membalikkan $|0\rangle$ dan $|1\rangle$, seperti Gate NOT klasik.
• Pauli-Z membiarkan $|0\rangle$ tidak berubah tetapi mendarab $|1\rangle$ dengan $-1$, mengubah fasa relatif.
• Pauli-Y membalikkan qubit dan memperkenalkan fasa.

Tetapi matriks Pauli mempunyai tafsiran kedua yang sama pentingnya. Dalam mekanik kuantum, sebarang kuantiti yang boleh diukur dipanggil boleh ukur, dan boleh ukur diwakili oleh matriks. Matriks Pauli sepadan dengan ukuran sepanjang tiga paksi berbeza, dan keadaan eigen mereka sepadan dengan dua kemungkinan hasil ukuran sepanjang setiap paksi. (Jika kamu tidak biasa dengan istilah keadaan eigen, tak apa — ia hanyalah vektor istimewa yang dikaitkan dengan matriks tertentu.)

• $Z$ → ukuran dalam asas Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → ukuran dalam asas X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → ukuran dalam asas Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Ini menjelaskan mengapa matriks Pauli nampak melakukan dua tugas. Ia bertindak ke atas keadaan (sebagai Gate) dan mentakrifkan arah ukuran (sebagai boleh ukur). Kedua-dua peranan datang daripada matematik asas yang sama.

Jadi bagaimana, dalam praktiknya, kamu mengukur dalam asas X atau Y? Secara lalai, komputer kuantum kita hanya disediakan untuk mengukur dalam asas Z. Jadi, kamu perlu menukar asas dengan memutar vektor keadaan qubit sedemikian rupa sehingga maklumat yang kamu minati, sama ada X atau Y, kini menunjuk ke arah Z. Kemudian, kamu hanya lakukan ukuran Z seperti biasa.

Sebagai contoh, mengukur dalam asas X boleh dilakukan dengan menerapkan Gate Hadamard, kemudian mengukur dalam asas Z. Hadamard memutar keadaan supaya "maklumat-X" menjadi "maklumat-Z." Selepas itu, ukuran biasa boleh dilakukan.

Kamu akan melihat lebih banyak tentang matriks Pauli dalam pelajaran seterusnya, apabila kita menerapkan kemahiran menulis Circuit kuantum yang baru ini pada masalah sebenar dalam fizik kuantum.

Circuit Bell state

Sekarang setelah kita mempunyai titik permulaan — kita tahu bahawa keadaan boleh diwakili oleh vektor, Gate boleh diwakili oleh matriks, dan ukuran menyebabkan keadaan "runtuh" — jom kita ikuti Circuit yang mencipta dan mengukur Bell state di atas.

Kita mulakan dengan keadaan awal dua qubit dalam $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Cipta superposisi

Circuit bermula dengan menerapkan Gate Hadamard kepada qubit 0. Seperti yang kita lihat dalam bahagian sebelumnya, Hadamard membawa qubit daripada keadaan tertentu, sama ada $|0\rangle$ atau $|1\rangle$, kepada gabungan kedua-dua keadaan tersebut. Ingat bahawa Gate Hadamard ialah:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Untuk menerapkannya pada qubit pertama dalam sistem dua qubit, kita menggunakan matriks 4x4 yang diperluas yang menerapkan $H$ pada qubit 0 sambil membiarkan qubit 1 tidak berubah. Bayangkan ia sebagai "terapkan $H$ pada qubit pertama dan jangan sentuh qubit kedua":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Kemudian kita darabkan ini dengan vektor keadaan awal:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Kini qubit 0 berada dalam keadaan superposisi.

Lebih lanjut tentang superposisi kuantum

Superposisi kuantum seperti di atas sering digambarkan sebagai qubit berada dalam kedua-dua keadaan pada masa yang sama. Walau bagaimanapun, apabila kita mengukur keadaan superposisi ini, hasilnya sentiasa $0$ atau $1$ — kita tidak pernah boleh memerhatikan superposisi itu secara langsung. Sebenarnya, ungkapan "qubit berada dalam kedua-dua keadaan pada masa yang sama" boleh mengelirukan. Cara yang lebih tepat untuk menggambarkannya ialah superposisi adalah penerangan matematik keadaan kuantum yang membolehkan kita mengira kebarangkalian hasil ukuran yang berbeza. Sesetengah orang berfikir superposisi adalah nyata secara fizikal, tetapi ini adalah tafsiran falsafah yang tidak boleh diuji; mekanik kuantum hanya meramalkan kebarangkalian hasil ukuran.

Tidak seperti taburan kebarangkalian klasik, superposisi kuantum juga membolehkan komponen berbeza saling berinterferensi antara satu sama lain, seperti gelombang bertindih yang boleh menguatkan atau membatalkan satu sama lain. Interferens inilah yang membolehkan algoritma kuantum menghasilkan corak hasil ukuran yang mustahil dengan kerawakan klasik semata-mata.

---

Belitkan qubit

Seterusnya, Gate controlled-NOT (CNOT) (ditunjukkan sebagai titik biru, garisan menegak, dan bulatan dengan tanda tambah yang menghubungkan dua qubit) diterapkan. Gate ini membelitkan dua qubit bersama. Selepas langkah ini, keadaan satu qubit tidak boleh dihuraikan secara bebas daripada yang lain.

Gate CNOT membalikkan qubit 1 (dipanggil qubit sasaran) hanya jika qubit 0 (dipanggil qubit kawalan) berada dalam keadaan $\vert 1\rangle$. Matriksnya ialah:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Terapkan ia kepada keadaan dari Langkah 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Kini qubit-qubit itu terbelit: mengukur satu terus menentukan yang lain.

Lebih lanjut tentang keterbelitan kuantum

Keterbelitan, seperti superposisi, adalah fenomena kuantum yang tiada analog klasik. Dalam sistem klasik, dua bit yang berkorelasi boleh mempunyai nilai yang terpaut, tetapi setiap bit masih mempunyai nilai yang pasti — walaupun kita tidak tahu nilai tersebut. Sebagai contoh, jika dua syiling dilekatkan bersama supaya sentiasa mendarat dengan cara yang sama, satu syiling yang menunjukkan kepala terus memberitahu kamu yang satu lagi juga menunjukkan kepala. Tetapi sebelum kita tengok, setiap syiling sudah pun berada dalam keadaan yang pasti.

Dengan qubit yang terbelit, situasinya secara asasnya berbeza. Sebelum ukuran, tiada satu qubit pun mempunyai nilai yang pasti dengan sendirinya. Hanya pasangan itu mempunyai keadaan yang terdefinisi dengan baik. Mengukur satu qubit serta-merta mempengaruhi kebarangkalian untuk yang lain, tidak kira betapa jauh jaraknya. Ini adalah kesan kuantum semata-mata: ia tidak boleh dijelaskan oleh statistik klasik atau maklumat tersembunyi tentang qubit-qubit individu.

Ukur keadaan

Akhirnya, kedua-dua qubit diukur. Apabila kita mengukur, keadaan kuantum runtuh kepada salah satu keadaan yang dibenarkan secara klasik:

• 00 dengan kebarangkalian $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 dengan kebarangkalian $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Ini menghasilkan semula hasil ukuran yang berkorelasi yang kita perhatikan dalam Circuit dalam Pelajaran 1.

Kesimpulan

Dalam pelajaran ini, kita telah menjalani lawatan pantas konsep mekanik kuantum dan alat matematik yang diperlukan untuk menjalankan Circuit kuantum secara yakin dan berdikari pada komputer kuantum. Kita memperkenalkan cara keadaan kuantum diwakili, cara Gate mengubah keadaan tersebut, cara ukuran berfungsi, dan cara superposisi serta keterbelitan timbul secara semula jadi daripada Circuit yang mudah.

Dalam Pelajaran 3, kita akan mempraktikkan idea-idea ini dengan menjalani aliran kerja penuh untuk menyelesaikan masalah kecil pada komputer kuantum dan mentafsirkan hasilnya.

Objektif pembelajaran

Ingat semula objektif pembelajaran dari Pelajaran 1, di mana kita mencabar kamu untuk mengubah Circuit bagi mencipta Bell state $\Psi^-$. Sekarang, menggunakan Circuit tersebut, lalui algebra matriks dan sahkan bahawa Circuit kamu menghasilkan keadaan yang dikehendaki. (Petua: kamu perlu mengetahui bentuk matriks Gate NOT atau X.)